коллектор Финслера

Обобщение римановых многообразий

В математике , в частности в дифференциальной геометрии , многообразие Финслера — это дифференцируемое многообразие $M$ , в котором на каждом касательном пространстве $T$ $x$ $M$ задана (возможно, асимметричная ) норма Минковского $F (x, - )$ , что позволяет определить длину любой гладкой кривой $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $M$ как

L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t.

Финслеровы многообразия являются более общими, чем римановы многообразия, поскольку касательные нормы не обязательно должны индуцироваться скалярными произведениями .

Каждое финслерово многообразие становится внутренним квазиметрическим пространством , если расстояние между двумя точками определяется как нижняя грань длины соединяющих их кривых.

Эли Картан (1933) назвал многообразия Финслера в честь Пауля Финслера , который изучал эту геометрию в своей диссертации (Финслер, 1918).

Определение

Финслерово многообразие — это дифференцируемое многообразие $M$ вместе с финслеровой метрикой , которая является непрерывной неотрицательной функцией $F : T M \to [0, +\infty),$ определенной на касательном расслоении таким образом, что для каждой точки $x$ из $M$

$F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ для любых двух векторов $v, w ,$ касающихся $M$ в точке $x$ ( субаддитивность ).
$F (λ v) = λ F (v)$ для всех $λ \geq 0$ (но не обязательно для $λ < 0)$ ( положительная однородность ).
$F (v) > 0,$ если только $v = 0$ ( положительная определенность ).

Другими словами, $F (x, -)$ является асимметричной нормой на каждом касательном пространстве $T x M$ . Финслерова метрика $F$ также должна быть гладкой , точнее:

$F$ является гладкой на дополнении нулевого сечения $T M$ .

Аксиому субаддитивности можно тогда заменить следующим сильным условием выпуклости :

Для каждого касательного вектора $v \neq 0$ матрица Гессе F $2$ $в$ точке $v$ положительно определена .

Здесь гессиан $F 2$ в точке $v$ представляет собой симметричную билинейную форму

\mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},

также известный как фундаментальный тензор F в точке $v$ $.$ Сильная выпуклость $F$ влечет субаддитивность со строгим неравенством, если $u$ $⁄$ $F$ $($ $u$ $)$ $\neq$ $v$ $⁄$ $F$ $($ $v$ $)$ . Если $F$ сильно выпукло, то это норма Минковского на каждом касательном пространстве.

Финслерова метрика обратима, если, кроме того,

$F (- v) = F (v)$ для всех касательных векторов v .

Обратимая финслерова метрика определяет норму (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.

Примеры

Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированного векторного пространства конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
Римановы многообразия (но не псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.

Коллекторы Randers

Пусть — риманово многообразие и b — дифференциальная форма на M с $(М,а)$

\|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,

где — обратная матрица и используется обозначение Эйнштейна . Тогда $\left(a^{ij}\right)$ $(a_{ij})$

F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}

определяет метрику Рандерса на M и является многообразием Рандерса , частным случаем необратимого многообразия Финслера. ^[1] $(М,Ж)$

Гладкие квазиметрические пространства

Пусть ( M , d ) — квазиметрика , так что M также является дифференцируемым многообразием , а d совместимо с дифференциальной структурой M в следующем смысле:

Вокруг любой точки z на M существует гладкая карта ( U , φ) M и константа C ≥ 1 такие, что для любых x , y ∈ U
${\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi ( х)\|.$
Функция d : M × M → [0, ∞] является гладкой в некоторой проколотой окрестности диагонали.

Тогда можно определить функцию Финслера F : TM →[0, ∞] следующим образом:

F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},

где γ — любая кривая в M с γ (0) = x и γ' (0) = v. Функция Финслера F, полученная таким образом, ограничивается асимметричной (обычно не-Минковской) нормой на каждом касательном пространстве M. Индуцированная внутренняя метрика d _L : M × M → [0, ∞] исходной квазиметрики может быть восстановлена из

d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},

и фактически любая функция Финслера F : T M → [0, ∞) определяет внутреннюю квазиметрику d _L на M по этой формуле.

Геодезические

Ввиду однородности F длина

L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt

дифференцируемой кривой γ : [ a , b ] → M в M инвариантна относительно положительно ориентированных репараметризаций . Кривая постоянной скорости γ является геодезической финслерова многообразия, если ее достаточно короткие сегменты γ | _{[ c , d ]} минимизируют длину в M от γ ( c ) до γ ( d ). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии

E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt

в том смысле, что ее функциональная производная обращается в нуль среди дифференцируемых кривых γ : [ a , b ] → M с фиксированными конечными точками γ ( a ) = x и γ ( b ) = y .

Каноническая структура распыления на коллекторе Финслера

Уравнение Эйлера –Лагранжа для функционала энергии E [ γ ] в локальных координатах ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) T M записывается как

g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,

где k = 1, ..., n и g _ij — координатное представление фундаментального тензора, определяемое как

g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).

Предполагая сильную выпуклость F 2 ⁽ x , v ) относительно v ∈ T _x M , матрица g _ij ( x , v ) обратима и ее обратная обозначается как g ^ij ( x , v ). Тогда γ : [ a , b ] → M является геодезической для ( M , F ) тогда и только тогда, когда ее касательная кривая γ' : [ a , b ] → T M ∖{0} является интегральной кривой гладкого векторного поля H на T M ∖{0}, локально определенной формулой

\left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},

где локальные коэффициенты распыления G ⁱ определяются как

G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.

Вектор H на T M ∖{0} удовлетворяет JH = V и [ V , H ] = H , где J и V — канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на T M ∖{0}. Следовательно, по определению, H — распыление на M . Распыление H определяет нелинейную связность на расслоении T M ∖{0} → M через вертикальную проекцию

v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.

По аналогии с римановым случаем существует версия

D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0

уравнения Якоби для общей структуры распыления ( M , H ) в терминах кривизны Эресмана и нелинейной ковариантной производной .

Уникальность и минимизирующие свойства геодезических

По теореме Хопфа–Ринова всегда существуют кривые минимизации длины (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на ( M , F ). Кривые минимизации длины всегда могут быть положительно перепараметризованы в геодезические, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера–Лагранжа для E [ γ ]. Предполагая сильную выпуклость F2 ^, существует единственная максимальная геодезическая γ с γ (0) = x и γ' (0) = v для любого ( x , v ) ∈ T M ∖{0} в силу единственности интегральных кривых .

Если F ² сильно выпукло, геодезические γ : [0, b ] → M минимизируют длину среди соседних кривых до первой точки γ ( s ), сопряженной с γ (0) вдоль γ , и для t > s всегда существуют более короткие кривые от γ (0) до γ ( t ) вблизи γ , как в римановом случае.

Примечания

^ Рандерс, Г. (1941). «Об асимметричной метрике в четырехмерном пространстве общей теории относительности». Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi :10.1103/PhysRev.59.195. hdl : 10338.dmlcz/134230 .

Смотрите также

Банахово многообразие – Многообразие, смоделированное на основе банаховых пространств
Многообразие Фреше – топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше таким же образом, как многообразие смоделировано на основе евклидова пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
Глобальный анализ , который использует многообразия Гильберта и другие виды бесконечномерных многообразий.
Гильбертово многообразие – многообразие, смоделированное на основе гильбертовых пространств

Ссылки

Антонелли, Питер Л. , ред. (2003), Справочник по геометрии Финслера. Том 1, 2, Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, МР 2067663
Бао, Дэвид; Черн, Шиинг-Шен ; Шен, Чжунминь (2000). Введение в геометрию Римана–Финслера . Graduate Texts in Mathematics. Том 200. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. МР 1747675.
Картан, Эли (1933), «Sur les espaces de Finsler», CR Acad. наук. Париж , 196 : 582–586, Збл 0006.22501
Черн, Шиинг-Шен (1996), «Финслерова геометрия — это просто риманова геометрия без квадратичного ограничения» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 43 (9): 959–63, MR 1400859
Финслер, Пауль (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen , Диссертация, Геттинген, JFM 46.1131.02(Перепечатано Биркхойзером (1951))
Рунд, Ханно (1959). Дифференциальная геометрия финслеровых пространств . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 101. Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. МР 0105726.
Шен, Чжунминь (2001). Лекции по геометрии Финслера . Сингапур: World Scientific. doi :10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. МР 1845637.

Внешние ссылки

«Пространство Финслера, обобщенное», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
(Новый) информационный бюллетень Finsler

[1] Рандерс, Г. (1941). «Об асимметричной метрике в четырехмерном пространстве общей теории относительности». Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi :10.1103/PhysRev.59.195. hdl : 10338.dmlcz/134230 .