Курвелет

This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: poor math and text formatting. Please help improve this article if you can. (May 2013) (Learn how and when to remove this message)

Curvelets — это неадаптивный метод представления многомасштабных объектов . Будучи расширением концепции вейвлетов , они становятся популярными в схожих областях, а именно в обработке изображений и научных вычислениях .

Вейвлеты обобщают преобразование Фурье , используя базис, который представляет как местоположение, так и пространственную частоту. Для 2D или 3D сигналов направленные вейвлет-преобразования идут дальше, используя базисные функции, которые также локализованы в ориентации . Преобразование курвлет отличается от других направленных вейвлет-преобразований тем, что степень локализации в ориентации меняется в зависимости от масштаба. В частности, мелкомасштабные базисные функции представляют собой длинные гребни; форма базисных функций в масштабе j такова , что мелкомасштабные основания представляют собой тонкие гребни с точно определенной ориентацией.${\displaystyle 2^{-j}}$${\displaystyle 2^{-j/2}}$

Curvelets являются подходящей основой для представления изображений (или других функций), которые являются гладкими, за исключением сингулярностей вдоль гладких кривых, где кривые имеют ограниченную кривизну , т. е. где объекты на изображении имеют минимальный масштаб длины. Это свойство справедливо для мультфильмов, геометрических диаграмм и текста. При увеличении масштаба таких изображений содержащиеся в них края кажутся все более прямыми. Curvelets используют это свойство, определяя curvelets с более высоким разрешением как более вытянутые, чем curvelets с более низким разрешением. Однако естественные изображения (фотографии) не обладают этим свойством; они имеют детали в каждом масштабе. Поэтому для естественных изображений предпочтительнее использовать некое направленное вейвлет-преобразование, вейвлеты которого имеют одинаковое соотношение сторон в каждом масштабе.

Когда изображение имеет правильный тип, курвлеты обеспечивают представление, которое значительно разрежено, чем другие вейвлет-преобразования. Это можно количественно оценить, рассмотрев наилучшее приближение геометрического тестового изображения, которое может быть представлено с использованием только вейвлетов, и проанализировав ошибку приближения как функцию . Для преобразования Фурье квадратичная ошибка уменьшается только как . Для широкого спектра вейвлет-преобразований, включая как направленные, так и ненаправленные варианты, квадратичная ошибка уменьшается как . Дополнительное предположение, лежащее в основе курвлет-преобразования, позволяет достичь .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(1/{\sqrt {n}})}$${\displaystyle O(1/n)}$${\displaystyle O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})}$

Существуют эффективные численные алгоритмы для вычисления преобразования курвлета дискретных данных. Вычислительная стоимость дискретных преобразований курвлета, предложенных Кандесом и др. (дискретное преобразование курвлета, основанное на неравномерно разнесенных быстрых преобразованиях Фурье и основанное на обертывании специально отобранных выборок Фурье), примерно в 6–10 раз больше, чем у БПФ, и имеет ту же зависимость для изображения размером . ^[1]${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$${\displaystyle n\times n}$

Чтобы построить базовый курвлет и обеспечить разбиение двумерного частотного пространства, следует придерживаться двух основных идей:${\displaystyle \phi }$

1. Рассмотрим полярные координаты в частотной области.
2. Построить элементы Curvelet, имеющие локальную поддержку вблизи клиньев

Число клиньев равно , т.е. оно удваивается в каждом втором круговом кольце.${\displaystyle N_{j}=4\cdot 2^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }}$${\displaystyle 2^{-j}}$

Пусть — переменная в частотной области, а — полярные координаты в частотной области.${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=\left(\xi _{1},\xi _{2}\right)^{T}}$${\displaystyle r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}},\omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}}$

Мы используем анзац для расширенных базовых курвлетов в полярных координатах:
${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}}$

Чтобы построить базовый курлет с компактной поддержкой около ″базового клина″, два окна и должны иметь компактную поддержку. Здесь мы можем просто взять для покрытия расширенными курлетами и такими, что каждое круговое кольцо покрывается переносами .${\displaystyle W}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$${\displaystyle W(r)}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$

Тогда допустимость дает _{см. Оконные функции для получения дополнительной информации} Для разбиения кругового кольца на клинья, где — произвольное положительное целое число, нам нужно -периодическое неотрицательное окно с носителем внутри , такое что для всех , может быть просто построено как -периодизации масштабированного окна . Тогда следует, что
${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).}$

${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$${\displaystyle \left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]}$
${\displaystyle \sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}\left(\omega -{\frac {2\pi l}{N}}\right)=1}$
${\displaystyle \omega \in \left[0,2\pi \right)}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle V\left({\frac {N\omega }{2\pi }}\right)}$


${\displaystyle \sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}\left(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}}\right)\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}\left(\omega -{\frac {2\pi l}{N}}\right)=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}}$

Для полного покрытия плоскости частот, включая область вокруг нуля, нам необходимо определить элемент нижних частот , который поддерживается на единичной окружности и где мы не рассматриваем какое-либо вращение.
${\displaystyle {\hat {\phi }}_{-1}:=W_{0}(\left|\xi \right|)}$
${\displaystyle W_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum _{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}}$

• Обработка изображений
• Сейсмическая разведка
• Механика жидкости
• Решение уравнений в частных производных
• Сжатое зондирование

• Преобразование Банделе
• Преобразование Chirplet
• Контурлетное преобразование
• Преобразование Френеля
• Шумовое преобразование
• Масштаб пространства
• Преобразование Ширлета

• E. Candès и D. Donoho, «Curvelets – удивительно эффективное неадаптивное представление для объектов с краями». В: A. Cohen, C. Rabut и L. Schumaker, Editors, Curves and Surface Fitting : Saint-Malo 1999, Vanderbilt University Press, Nashville (2000), стр. 105–120.
• Маджумдар Ангшул Бангла Базовое распознавание символов с использованием цифрового преобразования кривых Журнал исследований распознавания образов (JPRR), том 2. (1) 2007 г., стр. 17-26
• Эммануэль Кандес, Лоран Демане, Дэвид Донохо и Лексинг Ин. Быстрые дискретные преобразования Curvelet
• Цзяньвэй Ма, Герлинд Плонка , Преобразование Курвелет : Журнал обработки сигналов IEEE, 2010, 27 (2), 118-133.
• Жан-Люк Старк, Эммануэль Ж. Кандес и Дэвид Л. Донохо, Преобразование Curvelet для шумоподавления изображений, : Труды IEEE по обработке изображений, том 11, № 6, июнь 2002 г.

• Домашняя страница Curvelet.org