Разрезание правды

Первое издание

Slicing the Truth: On the Computability Theoretic and Reverse Mathematical Analysis of Combinatori Principles — книга по обратной математике в комбинаторике , изучению аксиом , необходимых для доказательства комбинаторных теорем. Она была написана Денисом Р. Хиршфельдтом на основе курса, прочитанного Хиршфельдтом в Национальном университете Сингапура в 2010 году [1] и опубликована в 2014 году издательством World Scientific в качестве 28-го тома серии Lecture Notes Института математических наук Национального университета Сингапура.

Темы

Книга начинается с пяти глав, в которых обсуждается область обратной математики , целью которой является классификация математических теорем по схемам аксиом, необходимым для их доказательства, и пять больших подсистем арифметики второго порядка , в которые были классифицированы многие теоремы математики. [2] [3] В этих главах также рассматриваются некоторые инструменты, необходимые в этом исследовании, включая теорию вычислимости , форсинг и теорему о низком базисе . [4]

Глава шестая, «настоящее сердце книги», [2] применяет этот метод к бесконечной форме теоремы Рамсея : каждая раскраска ребер счетно бесконечного полного графа или полного однородного гиперграфа , использующая конечное число цветов, содержит одноцветный бесконечный индуцированный подграф . Стандартное доказательство этой теоремы использует аксиому арифметического понимания , попадающую в одну из пяти больших подсистем, ACA 0 . Однако, как первоначально доказал Дэвид Ситапан , версия теоремы для графов слабее, чем ACA 0 , и она оказывается неэквивалентной любой из пяти больших подсистем. Версия для однородных гиперграфов фиксированного порядка, большего двух, эквивалентна ACA 0 , а версия теоремы, сформулированная для всех количеств цветов и всех порядков гиперграфов одновременно, сильнее, чем ACA 0 . [2]

В седьмой главе обсуждаются консервативные расширения теорий, в которых утверждения мощной теории (например, одной из форм арифметики второго порядка), которые одновременно доказуемы в этой теории и выразимы в более слабой теории (например, арифметике Пеано ), являются только теми, которые уже доказуемы в более слабой теории. В восьмой главе суммируются полученные на данный момент результаты в диаграммной форме. В девятой главе обсуждаются способы ослабления теоремы Рамсея [2] , а в последней главе обсуждаются более сильные теоремы в комбинаторике, включая теорему Душника–Миллера о самовложении бесконечных линейных порядков, теорему Краскала о дереве , теорему Лейвера о порядковом вложении счетных линейных порядков и теорему Хиндмана об IP-множествах . [3] В приложении приводится доказательство теоремы Цзяи Лю, часть коллекции результатов, показывающих, что теорема Рамсея о графе не попадает в большую пятерку подсистем. [1] [3] [4]

Аудитория и прием

Это техническая монография, требующая от читателей некоторого знакомства с теорией вычислимости и теорией Рамсея. Предварительные знания обратной математики не требуются. [2] Она написана в несколько неформальном стиле и включает в себя множество упражнений, что делает ее пригодной для использования в качестве учебника для выпускников или для начала работы по обратной математике; [3] [4] рецензент Франсуа Доре пишет, что это «превосходное введение в обратную математику и теорию вычислимости комбинаторных принципов», а также пример методов, доступных для доказательства результатов в обратной математике. [3]

Рецензент Уильям Гасарч жалуется на две отсутствующие темы: работу Джо Милети по обратной математике канонических версий теоремы Рамсея и работу Джеймса Шмерла по обратной математике раскраски графов . Тем не менее, он рекомендует эту книгу всем, кто интересуется обратной математикой и теорией Рамсея. [2] А рецензент Бенедикт Исто называет ее «желанным дополнением... дающим свежий и доступный взгляд на центральный аспект современных исследований обратной математики». [4]

«Классическим справочником» по обратной математике является книга «Подсистемы арифметики второго порядка » (2009) Стивена Симпсона ; [4] она сосредоточена вокруг пяти больших подсистем и содержит гораздо больше примеров результатов, эквивалентных по силе одной из этих пяти. [2] Дорайс предлагает использовать эти две книги вместе в качестве сопутствующих томов. [3]

Рецензент Джеффри Херст рекомендует «Теорию вычислимости» Ребекки Вебер в качестве хорошего источника информации, необходимой для прочтения этой книги. [1]

Ссылки

  1. ^ abc Hirst, Jeffry L. (сентябрь 2015 г.), «Обзор Slicing the Truth », Bulletin of Symbolic Logic , 21 (3): 338– 339, doi :10.1017/bsl.2015.18, S2CID  61188908; см. также краткий обзор Хёрста для zbMATH , Zbl  1304.03001
  2. ^ abcdefg Гасарч, Уильям (март 2016 г.), «Обзор книги Slicing the Truth» (PDF) , ACM SIGACT News , 47 (1): 21– 24, doi : 10.1145/2902945.2902952, S2CID  19457072
  3. ^ abcdef Доре, Франсуа Г., «Обзор книги Slicing the Truth », Mathematical Reviews , MR  3244278
  4. ^ abcde Исто, Бенедикт (июль 2017 г.), «Обзор книги Slicing the Truth», Studia Logica , 105 (4): 873– 879, doi : 10.1007/s11225-017-9740-1, hdl : 1983/1ed76e2d-9bc7-4529-b628-92791f631317 , S2CID  1667765
  • «Slicing the Truth», веб-сайт Хиршфельдта, включающий препринтную версию книги.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Рассечение_истины&oldid=1188134819"