IP-набор
Множество натуральных чисел

В математике множество IP — это множество натуральных чисел , которое содержит все конечные суммы некоторого бесконечного множества .

Конечные суммы множества D натуральных чисел — это все те числа, которые можно получить сложением элементов некоторого конечного непустого подмножества D. Множество всех конечных сумм по D часто обозначается как FS( D ). Немного более общо, для последовательности натуральных чисел ( n i ) можно рассмотреть множество конечных сумм FS(( n i )), состоящее из сумм всех подпоследовательностей конечной длины ( n i ).

Множество A натуральных чисел является множеством IP, если существует бесконечное множество D , такое что FS( D ) является подмножеством A. Эквивалентно, можно потребовать, чтобы A содержало все конечные суммы FS(( n i )) последовательности ( n i ).

Некоторые авторы дают несколько иное определение IP-наборов: они требуют, чтобы FS( D ) было равно A, а не было просто подмножеством.

Термин IP-множество был придуман Хиллелем Фюрстенбергом и Бенджамином Вайсом [1] [2] для сокращения « бесконечномерного параллелепипеда » . По счастливой случайности, сокращение IP также может быть расширено до « идемпотентного » [ 3 ] (множество является IP тогда и только тогда, когда оно является членом идемпотентного ультрафильтра ).

Теорема Хиндмана

Если — IP-множество и , то по крайней мере одно из них — IP-множество. Это известно как теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах . [4] [5] В других терминах теорема Хиндмана утверждает, что класс IP-множеств является регулярно разбиением . С {\displaystyle S} С = С 1 ∪ С 2 ∪ ⋯ ∪ С н {\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}} С я {\displaystyle C_{i}}

Поскольку множество натуральных чисел само по себе является множеством IP, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа «раскрашены» в n различных цветов; каждое натуральное число получает один и только один цвет. Тогда существует цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, все раскрашенные в c , такие, что каждая конечная сумма по D также имеет цвет c .

Теорема Хиндмана названа в честь математика Нила Хиндмана , который доказал ее в 1974 году. [4] Теорема Милликена –Тейлора является общим обобщением теоремы Хиндмана и теоремы Рамсея .

Полугруппы

Определение быть IP было расширено от подмножеств специальной полугруппы натуральных чисел с добавлением подмножеств полугрупп и частичных полугрупп в целом. Вариант теоремы Хиндмана верен для произвольных полугрупп. [6] [7]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Фюрстенберг, Х.; Вайс , Б. (1978). «Топологическая динамика и комбинаторная теория чисел». Journal d'Analyse Mathématique . 34 : 61–85. doi : 10.1007/BF02790008 .
  2. ^ Гарри, Фюрстенберг (июль 2014). Повторяемость в эргодической теории и комбинаторной теории чисел . Принстон, Нью-Джерси. ISBN 9780691615363. OCLC  889248822.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  3. ^ Бергельсон, В.; Лейбман, А. (2016). «Наборы больших значений корреляционных функций для полиномиальных кубических конфигураций». Эргодическая теория и динамические системы . 38 (2): 499–522. doi :10.1017/etds.2016.49. ISSN  0143-3857. S2CID  31083478.
  4. ^ ab Hindman, Neil (1974). "Конечные суммы последовательностей внутри ячеек разбиения N". Журнал комбинаторной теории . Серия A. 17 (1): 1–11. doi : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . hdl : 10338.dmlcz/127803 .
  5. ^ Баумгартнер, Джеймс Э. (1974). «Краткое доказательство теоремы Хиндмана». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 17 (3): 384–386. doi : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 .
  6. ^ Голаны, Гили; Цабан, Вооз (2013). «Теорема Хиндмана о раскраске в произвольных полугруппах». Журнал алгебры . 395 : 111–120. arXiv : 1303.3600 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2013.08.007 . S2CID  11437903.
  7. ^ Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998). Алгебра в компактификации Стоуна-Чеха: теория и приложения . Нью-Йорк: Walter de Gruyter. ISBN 311015420X. OCLC  39368501.

Дальнейшее чтение

  • Виталий Бергельсон , И. Дж. Х. Кнутсон, Р. Маккатчеон «Одновременные диофантовы приближения и VIP-системы. Архивировано 18 июля 2006 г. в Wayback Machine » . Acta Arith. 116 , Academia Scientiarum Polona, ​​(2005), 13–23
  • Виталий Бергельсон , «Минимальные идемпотенты и эргодическая теория Рамсея» Темы по динамике и эргодической теории 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310 , Cambridge Univ. Press, Кембридж, (2003)
  • Bergelson, Vitaly ; Hindman, Neil (2001). "Partition regular structures contain in large sets are plenty" (PDF) . Journal of Combinatori Theory . Series A. 93 (1): 18–36. doi : 10.1006/jcta.2000.3061 . Получено 18 сентября 2022 г. .
  • Дж. Маклеод, «Некоторые понятия размера в частичных полугруппах», Топологические труды , т. 25 (2000), стр. 317–332
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=IP_set&oldid=1252919408"