Синусоидальная модель

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Sinusoidal model" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В статистике , обработке сигналов и анализе временных рядов синусоидальная модель используется для аппроксимации последовательности Y _i к синусоидальной функции:

${\displaystyle Y_{i}=C+\alpha \sin(\omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

где C — константа , определяющая средний уровень, α — амплитуда синуса , ω — угловая частота , T _i — временная переменная, φ — фазовый сдвиг , а E _i — последовательность ошибок.

Эту синусоидальную модель можно подогнать с помощью нелинейного метода наименьших квадратов ; для получения хорошего соответствия процедуры могут потребовать хороших начальных значений для неизвестных параметров. Подгонка модели с помощью одной синусоиды является особым случаем оценки спектральной плотности и спектрального анализа наименьших квадратов .

Хорошее начальное значение для C можно получить, вычислив среднее значение данных. Если данные показывают тенденцию , т. е. предположение о постоянном местоположении нарушается, можно заменить C линейным или квадратичным наименьшим квадратом . То есть модель становится

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

или

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i}+B_{2}T_{i}^{2})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

Начальное значение частоты может быть получено из доминирующей частоты в периодограмме . Для уточнения этой начальной оценки частоты можно использовать сложный график фазы демодуляции. ^{[ необходима цитата ]}

Среднеквадратичное значение данных с исключенным трендом можно масштабировать с помощью квадратного корня из двух, чтобы получить оценку амплитуды синусоиды. График комплексной демодуляционной амплитуды можно использовать для поиска хорошего начального значения амплитуды. Кроме того, этот график может указывать, является ли амплитуда постоянной во всем диапазоне данных или она меняется. Если график по существу плоский, т. е. имеет нулевой наклон, то разумно предположить постоянную амплитуду в нелинейной модели. Однако, если наклон меняется в диапазоне графика, может потребоваться скорректировать модель, чтобы она была:

${\displaystyle Y_{i}=C+(B_{0}+B_{1}T_{i})\sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

То есть, можно заменить α функцией времени. В модели выше указана линейная подгонка, но при необходимости ее можно заменить более сложной функцией.

Как и в случае с любой статистической моделью , соответствие должно быть подвергнуто графическим и количественным методам проверки модели . Например, график последовательности запуска для проверки значительных сдвигов в местоположении, масштабе, эффектах запуска и выбросах . График задержек может использоваться для проверки независимости остатков . Выбросы также отображаются на графике задержек, а гистограмма и график нормальной вероятности для проверки асимметрии или другой ненормальности остатков .

Другой метод заключается в преобразовании нелинейной регрессии в линейную регрессию благодаря удобному интегральному уравнению. Тогда нет необходимости в начальном предположении и нет необходимости в итеративном процессе: подгонка получается напрямую. ^[1]

• Алгоритм определения высоты тона
• Оценка спектральной плотности § Одиночный тон

• Исследование случая отклонения луча

 В статье использованы материалы, являющиеся общественным достоянием Национального института стандартов и технологий.