Решение треугольников

Решение треугольников ( лат . solutio triangulorum ) — основная тригонометрическая задача нахождения характеристик треугольника ( углов и длин сторон), когда некоторые из них известны. Треугольник может быть расположен на плоскости или на сфере . Приложения, требующие решения треугольников, включают геодезию , астрономию , строительство и навигацию .

Треугольник общего вида имеет шесть основных характеристик (см. рисунок): три линейные (длины сторон a, b, c ) и три угловые ( α, β, γ ). Классическая задача плоской тригонометрии состоит в том, чтобы указать три из шести характеристик и определить остальные три. Треугольник может быть однозначно определен в этом смысле, если задано любое из следующих: ^{[1] [2]}

• Три стороны ( SSS )
• Две стороны и прилежащий угол ( SAS , сторона-угол-сторона)
• Две стороны и угол между ними, не заключенный между ними ( SSA ), если длина стороны, прилегающей к углу, короче длины другой стороны.
• Сторона и два угла, примыкающие к ней ( ASA )
• Сторона, противолежащий ей угол и прилежащий к ней угол ( AAS ).

Для всех случаев на плоскости необходимо указать хотя бы одну из длин сторон. Если даны только углы, то длины сторон определить невозможно, поскольку любой подобный треугольник является решением.

Стандартный метод решения задачи — использование фундаментальных соотношений.

Закон косинусов$${\displaystyle {\begin{align}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{align}}}$$

Закон синусов$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$$

Сумма углов

$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$$

Закон касательных$${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

Существуют и другие (иногда практически полезные) универсальные соотношения: закон котангенсов и формула Мольвейде .

1. Чтобы найти неизвестный угол, закон косинусов надежнее, чем закон синусов . Причина в том, что значение синуса для угла треугольника не определяет этот угол однозначно. Например, если sin β = 0,5 , угол β может быть равен как 30°, так и 150°. Использование закона косинусов позволяет избежать этой проблемы: в интервале от 0° до 180° значение косинуса однозначно определяет его угол. С другой стороны, если угол мал (или близок к 180°), то более надежно численно определить его по синусу, чем по косинусу, поскольку функция арккосинуса имеет расходящуюся производную в точке 1 (или −1).
2. Мы предполагаем, что относительное положение указанных характеристик известно. Если нет, то зеркальное отражение треугольника также будет решением. Например, три длины сторон однозначно определяют либо треугольник, либо его отражение.

Пусть заданы три длины сторон a, b, c . Чтобы найти углы α, β , можно воспользоваться теоремой косинусов : ^[3]$${\displaystyle {\begin{align}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{align}}}$$

Тогда угол γ = 180° − α − β .

Некоторые источники рекомендуют находить угол β из теоремы синусов , но (как указано в примечании 1 выше) существует риск перепутать значение острого угла с тупым.

Другой метод вычисления углов по известным сторонам — применение закона котангенсов .

Площадь по формуле Герона : где${\displaystyle A={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Формула Герона без использования полупериметра:${\displaystyle A={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc)}}{4}}}$

Здесь известны длины сторон a, b и угол γ между этими сторонами. Третью сторону можно определить из теоремы косинусов: ^[4] Теперь используем теорему косинусов, чтобы найти второй угол: Наконец, β = 180° − α − γ .$${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$$${\displaystyle \альфа =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$

Этот случай не разрешим во всех случаях; решение гарантированно единственно, только если длина стороны, прилегающей к углу, короче длины другой стороны. Предположим, что известны две стороны b, c и угол β . Уравнение для угла γ можно вывести из закона синусов : ^[5] Обозначим далее D = ⁠$${\displaystyle \sin \gamma = {\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$с/б⁠ sin β (правая часть уравнения). Возможны четыре случая:

1. Если D > 1 , такого треугольника не существует, поскольку сторона b не достигает прямой BC . По той же причине решения не существует, если угол β ≥ 90° и b ≤ c .
2. Если D = 1 , то существует единственное решение: γ = 90° , т.е. треугольник прямоугольный .
3. Если D < 1, возможны две альтернативы.
   1. Если b ≥ c , то β ≥ γ (большая сторона соответствует большему углу). Поскольку ни один треугольник не может иметь два тупых угла, γ является острым углом и решение γ = arcsin D единственно.
   2. Если b < c , угол γ может быть острым: γ = arcsin D или тупым: γ ′ = 180° − γ . На рисунке справа показаны точка C , сторона b и угол γ как первое решение, и точка C ′ , сторона b ′ и угол γ ′ как второе решение.

После того, как γ получен, третий угол α = 180° − β − ​​γ .

Третью сторону можно найти из теоремы синусов:$${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

или из закона косинусов:$${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$$

Известные характеристики — сторона c и углы α, β . Третий угол γ = 180° − α − β .

Две неизвестные стороны можно вычислить по теореме синусов: ^[6]$${\displaystyle {\begin{align}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\end{align}}}$$

Процедура решения треугольника AAS такая же, как и для треугольника ASA: сначала найдите третий угол, используя свойство суммы углов треугольника, затем найдите две другие стороны, используя теорему синусов .

Во многих случаях треугольники можно решить, имея три вида информации, некоторые из которых — это длины медиан треугольника , высоты или биссектрисы . Посаментье и Леманн ^[7] перечисляют результаты по вопросу разрешимости с использованием не более чем квадратных корней (т.е. конструктивности ) для каждого из 95 различных случаев; 63 из них конструктивны.

Общий сферический треугольник полностью определяется тремя из шести его характеристик (3 стороны и 3 угла). Длины сторон a, b, c сферического треугольника являются их центральными углами , измеряемыми в угловых, а не в линейных единицах. (На единичной сфере угол (в радианах ) и длина вокруг сферы численно одинаковы. На других сферах угол (в радианах) равен длине вокруг сферы, деленной на радиус.)

Сферическая геометрия отличается от плоской евклидовой геометрии , поэтому решение сферических треугольников строится по другим правилам. Например, сумма трех углов α + β + γ зависит от размеров треугольника. Кроме того, подобные треугольники не могут быть неравными, поэтому задача построения треугольника с заданными тремя углами имеет единственное решение. Основные соотношения, используемые для решения задачи, аналогичны соотношениям плоского случая: см. Сферический закон косинусов и Сферический закон синусов .

Среди других соотношений, которые могут быть полезны, можно назвать формулу половины стороны и аналогии Непера : ^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a+\,b)\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \ \!\cos {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\sin {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b).\end{aligned}}}$$

Известны: стороны a , b , c (в угловых единицах). Углы треугольника вычисляются с помощью сферического закона косинусов :$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}}$$

Известны: стороны a, b и угол γ между ними. Сторону c можно найти из сферического закона косинусов :$${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

Углы α, β можно рассчитать, как указано выше, или используя аналогии Непера:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b-a)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a-b)}}.\end{aligned}}}$$

Эта проблема возникает в навигационной задаче нахождения большого круга между двумя точками на Земле, указанными их широтой и долготой; в этом приложении важно использовать формулы, которые не подвержены ошибкам округления. Для этой цели могут быть использованы следующие формулы (которые могут быть выведены с помощью векторной алгебры): где знаки числителей и знаменателей в этих выражениях должны использоваться для определения квадранта арктангенса.$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$

Эта задача не разрешима во всех случаях; решение гарантированно единственно, только если длина стороны, прилегающей к углу, короче длины другой стороны. Известны: стороны b, c и угол β между ними не находится. Решение существует, если выполняется следующее условие: Угол γ можно найти из сферического закона синусов : Что касается плоского случая, если b < c , то существует два решения: γ и 180° - γ .$${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$$${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Нейпира:$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

Известны: сторона c и углы α, β . Сначала определим угол γ с помощью сферической теоремы косинусов :$${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

Две неизвестные стороны можно найти из сферической теоремы косинусов (используя вычисленный угол γ ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

или используя аналогии Нейпира:$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

Известны: сторона a и углы α, β . Сторону b можно найти из сферического закона синусов :$${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Если угол для стороны a острый и α > β , существует другое решение:$${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Нейпира:$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

Известны: углы α, β, γ . Из сферического закона косинусов следует:$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

Вышеприведенные алгоритмы значительно упрощаются, если один из углов треугольника (например, угол C ) является прямым. Такой сферический треугольник полностью определяется своими двумя элементами, а остальные три могут быть вычислены с помощью пятиугольника Непера или следующих соотношений.

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$(из сферического закона синусов )

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$(из сферического закона косинусов )

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$(также из сферического закона косинусов)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

Если нужно измерить расстояние d от берега до удаленного корабля с помощью триангуляции, то на берегу отмечают две точки с известным расстоянием l между ними (базовая линия). Пусть α, β будут углами между базовой линией и направлением на корабль.

Из приведенных выше формул (случай ASA, предполагающий плоскую геометрию) можно вычислить расстояние как высоту треугольника :$${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

Для сферического случая можно сначала вычислить длину стороны от точки α до корабля (т.е. стороны, противоположной β ) с помощью формулы ASA и подставить ее в формулу AAS для прямоугольного подтреугольника, содержащего угол α и стороны b и d : (Плоская формула на самом деле является первым членом разложения Тейлора d сферического решения по степеням ℓ .)$${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$$${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$

Этот метод используется в каботаже . Углы α, β определяются путем наблюдения за знакомыми ориентирами с судна.

В качестве другого примера, если требуется измерить высоту h горы или высокого здания, то указываются углы α, β от двух точек на земле до вершины. Пусть ℓ — расстояние между этими точками. Из тех же формул случая ASA получаем:$${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$$

Чтобы рассчитать расстояние между двумя точками на земном шаре,

Точка A: широта λ _A , долгота L _A , и

Точка B: широта λ _B , долгота L _B

Рассмотрим сферический треугольник ABC , где C — Северный полюс. Некоторые характеристики: Если даны две стороны и угол между ними, то из формул получаем Здесь R — радиус Земли .$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$

• Конгруэнтность
• Проблема Хансена
• Теорема о шарнире
• сфера Ленарта
• Задача Снеллиуса–Потенота

• Евклид (1956) [1925]. Сэр Томас Хит (ред.). Тринадцать книг «Начал». Том I. Перевод с введением и комментариями. Дувр. ISBN 0-486-60088-2.

• «Тригонометрические наслаждения», Эли Маор , Princeton University Press, 1998. Электронная версия книги в формате PDF, представлен полный текст.
• Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луиса Ингольда, The Macmillan Company, 1914. В изображениях представлен полный текст. Google book.
• Сферическая тригонометрия на Math World.
• Введение в сферическую тригонометрию. Включает обсуждение круга Нейпира и правил Нейпира.
• Сферическая тригонометрия — для использования в колледжах и школах. Автор: И. Тодхантер, магистр наук, член Королевского Королевского общества. Монография по исторической математике, опубликованная библиотекой Корнелльского университета.
• Triangulator – Triangle Solver. Решает любую плоскую задачу с треугольником с минимумом входных данных. Рисунок решенного треугольника.
• TriSph – Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и настроенное для гномоники.
• Калькулятор сферических треугольников – решает сферические треугольники.
• TrianCal — программа для решения треугольников, автор: Джесус С.