кости Зихермана

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Кости Сичермана / ˈ s ɪ k ər m ən / представляют собой пару 6-гранных костей с нестандартными числами — одна со сторонами 1, 2, 2, 3, 3, 4, а другая со сторонами 1, 3, 4, 5, 6, 8. Они примечательны как единственная пара 6-гранных костей , которые не являются обычными костями , несут только положительные целые числа и имеют такое же распределение вероятностей для суммы, как и обычные кости. Они были изобретены в 1978 году Джорджем Сичерманом из Буффало, штат Нью-Йорк.

Стандартное упражнение по элементарной комбинаторике — подсчитать количество способов выпадения любого заданного значения с помощью пары честных шестигранных игральных костей (путем подсчета суммы двух бросков). В таблице показано количество таких способов выпадения заданного значения : ${\displaystyle n}$

Сумасшедшие игральные кости — это математическое упражнение по элементарной комбинаторике , включающее перемаркировку граней пары шестигранных игральных костей для воспроизведения той же частоты сумм, что и при стандартной маркировке. Игральные кости Зихермана — это сумасшедшие игральные кости, которые перемаркированы только положительными целыми числами . (Если целые числа не обязательно должны быть положительными, чтобы получить то же распределение вероятностей, число на каждой грани одной игральной кости можно уменьшить на k , а число на другой — увеличить на k для любого натурального числа k , что даст бесконечно много решений.)

В таблице ниже перечислены все возможные суммы бросков кубиков со стандартными кубиками и кубиками Зихермана. Один кубик Зихермана окрашен для ясности: 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 , а другой полностью черный, 1–3–4–5–6–8.

Игральные кости Зихермана были обнаружены Джорджем Зихерманом из Буффало, штат Нью-Йорк , и первоначально о них сообщил Мартин Гарднер в статье 1978 года в журнале Scientific American .

Числа можно расположить так, чтобы все пары чисел на противоположных сторонах в сумме давали равные числа: 5 для первой и 9 для второй.

Позже, в письме к Зихерману, Гарднер упомянул, что знакомый ему фокусник предвосхитил открытие Зихермана. Обобщения игральных костей Зихермана на более чем две игральные кости и некубические игральные кости см. в Broline (1979), Gallian и Rusin (1979), Brunson и Swift (1997/1998) и Fowler и Swift (1999).

Пусть каноническая n -гранная кость будет n -гранником , грани которого помечены целыми числами [1,n] такими, что вероятность выпадения каждого числа равна 1/ n . Рассмотрим каноническую кубическую (шестигранную) кость. Производящая функция для бросков такой кости равна . Произведение этого многочлена с самим собой дает производящую функцию для бросков пары костей: . Из теории циклотомических многочленов мы знаем, что${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}}$${\displaystyle x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}}$

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).}$

где d пробегает делители n и является d -м циклотомическим многочленом, и${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$

${\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$.

Поэтому мы выводим производящую функцию одного n- гранного канонического кубика как

${\displaystyle x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$и отменяется. Таким образом, факторизация производящей функции шестигранной канонической кости имеет вид

${\displaystyle x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)}$

Производящая функция для бросков двух игральных костей является произведением двух копий каждого из этих факторов. Как мы можем разбить их, чтобы сформировать две законные игральные кости, ячейки которых не расположены традиционно? Здесь законные означает, что коэффициенты неотрицательны и в сумме дают шесть, так что каждая игральная кость имеет шесть сторон, и каждая грань имеет по крайней мере одну ячейку. (То есть, производящая функция каждой игровой кости должна быть многочленом p(x) с положительными коэффициентами, и с p(0) = 0 и p(1) = 6.) Существует только одно такое разбиение:

${\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}}$

и

${\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}}$

Это дает нам распределение точек на гранях пары игральных костей Зихермана как {1,2,2,3,3,4} и {1,3,4,5,6,8}, как указано выше.

Эту технику можно распространить на игральные кости с произвольным числом граней.

• Бролайн, Д. (1979), «Перенумерация граней игральных костей», Mathematics Magazine , 52 (5), Mathematics Magazine, том 52, № 5: 312– 315, doi : 10.2307/2689786, JSTOR  2689786
• Брансон, Б. В.; Свифт, Рэндалл Дж. (1998), «Одинаково вероятные суммы», Mathematical Spectrum , 30 (2): 34–36
• Фаулер, Брайан К.; Свифт, Рэндалл Дж. (1999), «Перемаркировка игральных костей», College Mathematics Journal , 30 (3), The College Mathematics Journal, том 30, № 3: 204–208 , doi : 10.2307/2687599, JSTOR  2687599
• Галлиан, JA; Русин, DJ (1979), «Циклотомические многочлены и нестандартные игральные кости», Дискретная математика , 27 (3): 245–259 , doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4 , MR  0541471
• Гарднер, Мартин (1978), «Математические игры», Scientific American , 238 (2): 19– 32, Bibcode : 1978SciAm.238b..19G, doi : 10.1038/scientificamerican0278-19
• Ньюман, Дональд Дж. (1998). Аналитическая теория чисел . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2.

• Календарь из двух кубов

• Информационная страница Mathworld

В данной статье использованы материалы из Crazy dice на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .