Полунепрерывность

В математическом анализе полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , которое слабее непрерывности . Расширенная вещественная функция является полунепрерывной сверху (соответственно снизу ) в точке, если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи не намного выше (соответственно ниже), чем${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке до для некоторого , то результат будет полунепрерывен сверху; если мы уменьшим ее значение до , то результат будет полунепрерывен снизу.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$${\displaystyle с>0}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции впервые было введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году. ^[1]

Предположим, что представляет собой топологическое пространство и является функцией со значениями в расширенных действительных числах .${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

Функция называется полунепрерывной сверху в точке , если для каждого действительного числа существует окрестность такая , что для всех . ^[2] Эквивалентно, является полунепрерывной сверху в тогда и только тогда, когда , где lim sup — верхний предел функции в точке${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)<y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

Если - метрическое пространство с функцией расстояния , и это также можно переформулировать с помощью -формулировки , аналогичной определению непрерывной функции . А именно, для каждого существует такое, что всякий раз, когда${\displaystyle X}$ ${\displaystyle д}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \дельта >0}$${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Функция называется полунепрерывной сверху , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[2]${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) Функция полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения .

(2) Для каждого множество открыто в , где .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

( 3 ) Для каждого множество - суперуровня замкнуто в .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle у}$ ${\displaystyle f^{-1}([y,\infty))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$${\displaystyle X}$

(4) Подпись закрыта .${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) Функция непрерывна, когда область значений имеет топологию левого порядка . Это просто переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка генерируется всеми интервалами .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,y)}$

Функция называется полунепрерывной снизу в точке , если для каждого действительного числа существует окрестность такая , что для всех . Эквивалентно, является полунепрерывной снизу в тогда и только тогда, когда где нижний предел функции в точке${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)>y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$${\displaystyle \liminf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

Если — метрическое пространство с функцией расстояния , и это можно переформулировать следующим образом: для каждого существует такое, что всякий раз, когда${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Функция называется полунепрерывной снизу, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) Функция полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения .

(2) Для каждого множество открыто в , где .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

( 3 ) Для каждого множество - подуровней замкнуто в .${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$${\displaystyle X}$

(4) Эпиграф закрыт в . ^{[3] : 207}${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) Функция непрерывна, когда кодомену задана правильная топология порядка . Это просто переформулировка условия (2), поскольку правильная топология порядка генерируется всеми интервалами .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (y,\infty ]}$

Рассмотрим функцию , кусочно заданную формулой: Эта функция полунепрерывна сверху в точке , но не полунепрерывна снизу.${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x_{0}=0,}$

Функция floor , которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному вещественному числу, является везде полунепрерывной сверху. Аналогично, функция ceiling является полунепрерывной снизу.${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется в терминах упорядочения в области определения функций, а не в области определения. ^[4] Например, функция полунепрерывна сверху при , в то время как пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют.$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

Если — евклидово пространство (или, в более общем смысле, метрическое пространство) и — пространство кривых в (с супремум-расстоянием ), то функционал длины , который назначает каждой кривой ее длину, является полунепрерывным снизу. ^[5] В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, тогда как диагональная линия имеет только длину .${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пусть — пространство меры, а обозначим множество положительных измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительно Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из в , является полунепрерывным снизу.${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Теорема Тонелли в функциональном анализе характеризует слабую полунепрерывность снизу нелинейных функционалов на пространствах L ^p через выпуклость другой функции.

Если не указано иное, все функции ниже относятся к топологическому пространству и расширенным действительным числам. Некоторые результаты справедливы для полунепрерывности в определенной точке, но для краткости они сформулированы только для полунепрерывности во всей области.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• Функция непрерывна тогда и только тогда , когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу.${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• Характеристическая функция или индикаторная функция множества (определяемая с помощью if и if ) является полунепрерывной сверху тогда и только тогда, когда является замкнутым множеством . Она является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда является открытым множеством .${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\notin A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• В области выпуклого анализа характеристическая функция множества определяется по-разному, как если и если . При таком определении характеристическая функция любого замкнутого множества является полунепрерывной снизу, а характеристическая функция любого открытого множества является полунепрерывной сверху.${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$${\displaystyle x\notin A}$

Позволять .${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• Если и полунепрерывны снизу, то сумма полунепрерывна снизу ^[6] (при условии, что сумма корректно определена, т.е. не является неопределенной формой ). То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
• Если и полунепрерывны снизу и неотрицательны, то функция произведения полунепрерывна снизу. Соответствующий результат справедлив для полунепрерывных сверху функций.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$
• Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху.${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$
• Если и полунепрерывны сверху и не убывает , то композиция полунепрерывна сверху. С другой стороны, если не не убывает, то может не быть полунепрерывна сверху. ^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$
• Если и полунепрерывны снизу, то их (поточечный) максимум и минимум (определяемые и ) также полунепрерывны снизу. Следовательно, множество всех полунепрерывных снизу функций из в (или в ) образует решетку . Соответствующие утверждения справедливы и для полунепрерывных сверху функций.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• (Поточечный) супремум произвольного семейства полунепрерывных снизу функций (определяемого формулой ) является полунепрерывным снизу. ^[8]${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

В частности, предел монотонно возрастающей последовательности непрерывных функций является полунепрерывным снизу. (Теорема Бэра ниже обеспечивает частичное обращение.) Предельная функция будет полунепрерывной снизу только в общем случае, а не непрерывной. Примером служат функции, определенные для для${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций является полунепрерывной сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций является полунепрерывной сверху.

• Если — компактное пространство (например, замкнутый ограниченный интервал ) и полунепрерывно сверху, то достигает максимума на . Если полунепрерывно снизу на , то достигает минимума на${\displaystyle C}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C.}$

( Доказательство для случая полунепрерывности сверху : По условию (5) в определении, является непрерывным, когда задана топология левого порядка. Поэтому его образ компактен в этой топологии. И компактные множества в этой топологии — это в точности множества с максимумом. Альтернативное доказательство см. в статье о теореме об экстремальном значении .)${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(C)}$

• ( Теорема Бэра ) ^{[примечание 1]} Пусть — метрическое пространство . Каждая полунепрерывная снизу функция является пределом поточечно возрастающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на В частности, существует последовательность непрерывных функций такая, что${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$и

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

Если не принимает значение , то непрерывные функции можно считать действительными. ^{[9] [10]}${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$

Кроме того, каждая полунепрерывная сверху функция является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных непрерывных действительных функций, если не принимает значения, то непрерывные функции можно считать действительными.${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty ,}$

• Любая полунепрерывная сверху функция на произвольном топологическом пространстве локально постоянна на некотором плотном открытом подмножестве${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

• Если топологическое пространство последовательно , ​​то является полунепрерывным сверху тогда и только тогда, когда оно является последовательно полунепрерывным сверху, то есть, если для любой и любой последовательности , которая сходится к , выполняется . Эквивалентно, в последовательном пространстве является полунепрерывным сверху тогда и только тогда, когда его множества суперуровня последовательно замкнуты для всех . В общем случае полунепрерывные сверху функции являются последовательно полунепрерывными сверху, но обратное может быть ложным.${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

Для функций со значениями множества определены несколько понятий полунепрерывности, а именно верхняя , нижняя , внешняя и внутренняя полунепрерывность , а также верхняя и нижняя полунепрерывность . Функция со значениями множества из множества в множество записывается Для каждого функция определяет множество Прообраз множества под определяется как То есть, это множество, которое содержит каждую точку из такую, что не является дизъюнктным с . ^[11]${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)\subset B.}$${\displaystyle S\subset B}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$${\displaystyle F^{-1}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle S}$

Множественно-значное отображение является полунепрерывным сверху в , если для каждого открытого множества такого, что , существует окрестность такая , что ^{[11] : Определение 2.1}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x)\subset U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(V)\subset U.}$

Множественно-значное отображение является полунепрерывным снизу в , если для каждого открытого множества такого, что существует окрестность такого , что ^{[11] : Определение 2.2}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

Верхняя и нижняя многозначная полунепрерывность также определяются более общим образом для многозначных отображений между топологическими пространствами путем замены и в приведенных выше определениях на произвольные топологические пространства. ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обратите внимание, что нет прямого соответствия между однозначной нижней и верхней полунепрерывностью и многозначной нижней и верхней полунепрерывностью. Полунепрерывная сверху однозначная функция не обязательно является полунепрерывной сверху, если рассматривать ее как многозначное отображение. ^{[11] : 18} Например, функция, определенная как , является полунепрерывной сверху в однозначном смысле, но многозначное отображение не является полунепрерывным сверху в многозначном смысле. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

Функция со множеством значений называется внутренне полунепрерывной в , если для любой и каждой сходящейся последовательности в такой, что , существует последовательность в такая, что и для всех достаточно больших ^{[12] [примечание 2]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in F(x)}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\to y}$${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

Функция со множеством значений называется внешне полунепрерывной в , если для каждой сходящейся последовательности в , такой что и для каждой сходящейся последовательности в , такой что для каждого последовательность сходится к точке в (то есть, ). ^[12]${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

• Направленная непрерывность  – математическая функция без резких изменений.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема вставки Катетова–Тонга  – О существовании непрерывной функции между полунепрерывными верхней и нижней границами
• Геминепрерывность  – полунепрерывность для функций со значениями множества
• Càdlàg  – Правая непрерывная функция с левыми пределами

• Бенешова, Б.; Кружик, М. (2017). «Слабая нижняя полунепрерывность интегральных функционалов и ее применение». Обзор SIAM . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137/16M1060947. S2CID  119668631.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: Общая топология, 1–4 . Springer. ISBN 0-201-00636-7.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: Общая топология, 5–10 . Springer. ISBN 3-540-64563-2.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон МХ (2003). Контрпримеры в анализе . Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
• Хайерс, Дональд Х.; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
• Штромберг, Карл (1981). Введение в классический вещественный анализ . Уодсворт. ISBN 978-0-534-98012-2.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .