Характеристическая функция (выпуклый анализ)

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (October 2011) (Learn how and when to remove this message)

В области математики, известной как выпуклый анализ , характеристическая функция множества — это выпуклая функция , которая указывает на принадлежность (или непринадлежность) данного элемента к этому множеству. Она похожа на обычную индикаторную функцию , и между ними можно свободно выполнять преобразования, но характеристическая функция, как определено ниже, лучше подходит для методов выпуклого анализа.

Пусть будет множеством , и пусть будет подмножеством множества . Характеристической функцией множества является функция${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

принимающие значения в расширенной действительной числовой оси, определяемой

${\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

Обозначим обычную индикаторную функцию:${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\not \in A.\end{cases}}}$

Если принять соглашения, которые

• для любого , и , кроме ;${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle a+(+\infty )=+\infty }$${\displaystyle a(+\infty )=+\infty }$${\displaystyle 0(+\infty )=0}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=+\infty }$; и
• ${\displaystyle {\frac {1}{+\infty }}=0}$;

тогда индикаторная и характеристическая функции связаны уравнениями

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}}$

и

${\displaystyle \chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right).}$

Субградиент для множества — это касательный конус этого множества в . ${\displaystyle \chi _{A}(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$

• Rockafellar, RT (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.