Первичный геодезический

В математике простая геодезическая на гиперболической поверхности — это примитивная замкнутая геодезическая , то есть геодезическая, которая является замкнутой кривой , которая вычерчивает свой образ ровно один раз. Такие геодезические называются простыми геодезическими, потому что, помимо прочего, они подчиняются асимптотическому закону распределения, подобному теореме о простых числах .

Техническая подготовка

Мы кратко представляем некоторые факты из гиперболической геометрии , которые полезны для понимания простых геодезических.

Гиперболические изометрии

Рассмотрим модель полуплоскости Пуанкаре H двумерной гиперболической геометрии . Для заданной фуксовой группы , то есть дискретной подгруппы Γ из PSL(2, R ) , Γ действует на H посредством дробно-линейного преобразования . Каждый элемент PSL(2, R ) фактически определяет изометрию H , поэтому Γ является группой изометрий H .

Тогда есть 3 типа преобразований: гиперболические, эллиптические и параболические. (Локсодромические преобразования отсутствуют, поскольку мы работаем с действительными числами .) Тогда элемент γ из Γ имеет 2 различные действительные неподвижные точки тогда и только тогда, когда γ является гиперболическим. Подробнее см. Классификация изометрий и Неподвижные точки изометрий .

Закрытые геодезические

Теперь рассмотрим фактор-поверхность M =Γ\ H . Следующее описание относится к верхней полуплоскостной модели гиперболической плоскости . Это гиперболическая поверхность, фактически, риманова поверхность . Каждый гиперболический элемент h из Γ определяет замкнутую геодезическую Γ\ H : во-первых, соединяя геодезическую полуокружность, соединяющую неподвижные точки h , мы получаем геодезическую на H , называемую осью h , и, проецируя эту геодезическую на M , мы получаем геодезическую на Γ\ H .

Эта геодезическая замкнута, поскольку две точки, находящиеся на одной орбите под действием Γ, по определению проецируются в одну и ту же точку на частном.

Можно показать, что это дает соответствие 1-1 между замкнутыми геодезическими на Γ\ H и гиперболическими классами сопряженности в Γ. Тогда простые геодезические — это те геодезические, которые вычерчивают свой образ ровно один раз — алгебраически они соответствуют примитивным гиперболическим классам сопряженности, то есть классам сопряженности {γ} таким, что γ не может быть записана как нетривиальная степень другого элемента Γ.

Приложения простых геодезических

Важность простых геодезических исходит из их связи с другими разделами математики, особенно динамическими системами , эргодической теорией и теорией чисел , а также с самими римановыми поверхностями . Эти приложения часто пересекаются в нескольких различных областях исследований.

Динамические системы и эргодическая теория

В динамических системах замкнутые геодезические линии представляют собой периодические орбиты геодезического потока .

Теория чисел

В теории чисел были доказаны различные «простые геодезические теоремы», которые по духу очень близки к теореме о простых числах . Для определенности, обозначим через π( x ) число замкнутых геодезических, норма которых (функция, связанная с длиной) меньше или равна x ; тогда π( x ) ~ x /ln( x ). Этот результат обычно приписывают Атле Сельбергу . В своей докторской диссертации 1970 года Григорий Маргулис доказал аналогичный результат для поверхностей переменной отрицательной кривизны, в то время как в своей докторской диссертации 1980 года Питер Сарнак доказал аналог теоремы Чеботарева о плотности .

Есть и другие сходства с теорией чисел — оценки ошибок улучшаются, во многом так же, как улучшаются оценки ошибок теоремы о простых числах. Также существует дзета-функция Сельберга , которая формально похожа на обычную дзета-функцию Римана и разделяет многие ее свойства.

Алгебраически простые геодезические могут быть подняты на более высокие поверхности примерно таким же образом, как простые идеалы в кольце целых чисел числового поля могут быть разделены (разложены на множители) в расширении Галуа . Подробнее см. в разделах Покрывающая карта и Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа .

Теория римановой поверхности

Замкнутые геодезические использовались для изучения римановых поверхностей; действительно, одно из первоначальных определений Риманом рода поверхности было в терминах простых замкнутых кривых. Замкнутые геодезические сыграли важную роль в изучении собственных значений операторов Лапласа , арифметических фуксовых групп и пространств Тейхмюллера .