класс Сегре

В математике класс Сегре является характеристическим классом, используемым при изучении конусов , обобщения векторных расслоений . Для векторных расслоений полный класс Сегре обратен полному классу Черна и, таким образом, предоставляет эквивалентную информацию; преимущество класса Сегре состоит в том, что он обобщается на более общие конусы, в то время как класс Черна — нет. Класс Сегре был введен в невырожденном случае Сегре (1953). ^[1] В современной трактовке теории пересечений в алгебраической геометрии, как это было развито, например, в окончательной книге Фултона (1998), классы Сегре играют фундаментальную роль. ^[2]

Предположим, что — конус над , — проекция из проективного пополнения в , а — антитавтологическое линейное расслоение на . Рассматривая класс Черна как групповой эндоморфизм группы Чжоу , полный класс Сегре задается выражением:${\displaystyle С}$${\displaystyle X}$${\displaystyle д}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$${\displaystyle С}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))}$${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$${\displaystyle С}$

${\displaystyle s(C)=q_{*}\left(\sum _{i\geq 0}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).}$

Класс Сегре - это просто градуированная часть . Если имеет чистую размерность более , то это задается как:${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{i}(C)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle s_{i}(C)=q_{*}\left(c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{r+i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).}$

Причина использования вместо заключается в том, что это делает общий класс Сегре устойчивым при добавлении тривиального расслоения .${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Если Z — замкнутая подсхема алгебраической схемы X , то обозначим класс Сегре нормального конуса через .${\displaystyle s(Z,X)}$${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

Для голоморфного векторного расслоения над комплексным многообразием полный класс Сегре является обратным полному классу Черна , см., например, Фултон (1998). ^[3]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle s(E)}$ ${\displaystyle c(E)}$

Явно, для полного класса Черна

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots \,}$

один получает общий класс Сегре

${\displaystyle s(E)=1+s_{1}(E)+s_{2}(E)+\cdots \,}$

где

${\displaystyle c_{1}(E)=-s_{1}(E),\quad c_{2}(E)=s_{1}(E)^{2}-s_{2}(E),\quad \dots ,\quad c_{n}(E)=-s_{1}(E)c_{n-1}(E)-s_{2}(E)c_{n-2}(E)-\cdots -s_{n}(E)}$

Пусть — корни Черна, т.е. формальные собственные значения, где — кривизна связности на .${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle {\frac {i\Omega }{2\pi }}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle E}$

В то время как класс Черна c(E) записывается как

${\displaystyle c(E)=\prod _{i=1}^{k}(1+x_{i})=c_{0}+c_{1}+\cdots +c_{k}\,}$

где — элементарный симметрический многочлен степени от переменных${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$

Сегре для двойственного расслоения , имеющего корни Черна, записывается как${\displaystyle E^{\vee }}$${\displaystyle -x_{1},\dots ,-x_{k}}$

${\displaystyle s(E^{\vee })=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x_{i}}}=s_{0}+s_{1}+\cdots }$

Разлагая приведенное выше выражение по степеням единицы, можно увидеть, что оно представлено полным однородным симметричным многочленом${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$${\displaystyle s_{i}(E^{\vee })}$${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$

Вот некоторые основные свойства.

• Для любого конуса C (например, векторного расслоения), . ^[4]${\displaystyle s(C\oplus 1)=s(C)}$
• Для конуса C и векторного расслоения E ,

  ${\displaystyle c(E)s(C\oplus E)=s(C).}$^[5]

• Если E — векторное расслоение, то ^[6]

  ${\displaystyle s_{i}(E)=0}$для .${\displaystyle i<0}$

  ${\displaystyle s_{0}(E)}$является оператором идентичности.

  ${\displaystyle s_{i}(E)\circ s_{j}(F)=s_{j}(F)\circ s_{i}(E)}$для другого векторного расслоения F.

• Если L — линейное расслоение, то , за вычетом первого класса Черна L . ^[6]${\displaystyle s_{1}(L)=-c_{1}(L)}$
• Если E — векторное расслоение ранга , то для линейного расслоения L ,${\displaystyle e+1}$

  ${\displaystyle s_{p}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-i}{\binom {e+p}{e+i}}s_{i}(E)c_{1}(L)^{p-i}.}$^[7]

Ключевым свойством класса Сегре является бирациональная инвариантность: она содержится в следующем. Пусть — собственный морфизм между алгебраическими схемами, такой что является неприводимым и каждый неприводимый компонент отображается на . Тогда для каждой замкнутой подсхемы и ограничения ,${\displaystyle p:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W\subset Y}$${\displaystyle V=p^{-1}(W)}$${\displaystyle p_{V}:V\to W}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {p_{V}}_{*}(s(V,X))=\operatorname {deg} (p)\,s(W,Y).}$^[8]

Аналогично, если — плоский морфизм постоянной относительной размерности между чисто размерными алгебраическими схемами, то для каждой замкнутой подсхемы и ограничения ,${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle W\subset Y}$${\displaystyle V=f^{-1}(W)}$${\displaystyle f_{V}:V\to W}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).}$^[9]

Базовый пример бирациональной инвариантности дается раздутием. Пусть будет раздутием вдоль некоторой замкнутой подсхемы Z . Поскольку исключительный дивизор является эффективным дивизором Картье, а нормальный конус (или нормальное расслоение) к нему есть ,${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle E:=\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}(E):={\mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(E,{\widetilde {X}})&=c({\mathcal {O}}_{E}(E))^{-1}[E]\\&=[E]-E\cdot [E]+E\cdot (E\cdot [E])+\cdots ,\end{aligned}}}$

где мы использовали обозначение . ^[10] Таким образом,${\displaystyle D\cdot \alpha =c_{1}({\mathcal {O}}(D))\alpha }$

${\displaystyle s(Z,X)=g_{*}\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}E^{k}\right)}$

где дается выражением .${\displaystyle g:E=\pi ^{-1}(Z)\to Z}$${\displaystyle \pi }$

Пусть Z — гладкая кривая, которая является полным пересечением эффективных дивизоров Картье на многообразии X. Предположим, что размерность X равна n + 1. Тогда класс Сегре нормального конуса к равен: ^[11]${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\displaystyle C_{Z/X}}$${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

${\displaystyle s(C_{Z/X})=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].}$

Действительно, например, если Z регулярно вложено в X , то, поскольку — нормальное расслоение и (см. Нормальный конус#Свойства ), мы имеем:${\displaystyle C_{Z/X}=N_{Z/X}}$${\displaystyle N_{Z/X}=\bigoplus _{i=1}^{n}N_{D_{i}/X}|_{Z}}$

${\displaystyle s(C_{Z/X})=c(N_{Z/X})^{-1}[Z]=\prod _{i=1}^{d}(1-c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D_{i})))[Z]=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].}$

Ниже приведен пример 3.2.22. из Фултона (1998). ^[2] Он восстанавливает некоторые классические результаты из книги Шуберта по исчислительной геометрии .

Рассматривая двойственное проективное пространство как расслоение Грассмана, параметризующее 2-плоскости в , рассмотрим тавтологическую точную последовательность${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}}$ ${\displaystyle p:{\breve {\mathbb {P} ^{3}}}\to *}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}\mathbb {C} ^{3}\to Q\to 0}$

где — тавтологические под- и фактор-расслоения. При проективное расслоение — это многообразие коник в . При имеем и, таким образом, используя класс Черна#Формулы вычислений ,${\displaystyle S,Q}$${\displaystyle E=\operatorname {Sym} ^{2}(S^{*}\otimes Q^{*})}$ ${\displaystyle q:X=\mathbb {P} (E)\to {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \beta =c_{1}(Q^{*})}$${\displaystyle c(S^{*}\otimes Q^{*})=2\beta +2\beta ^{2}}$

${\displaystyle c(E)=1+8\beta +30\beta ^{2}+60\beta ^{3}}$

и таким образом

${\displaystyle s(E)=1+8h+34h^{2}+92h^{3}}$

где Коэффициенты в имеют перечислительный геометрический смысл; например, 92 — это число коник, пересекающихся с 8 общими прямыми.${\displaystyle h=-\beta =c_{1}(Q).}$${\displaystyle s(E)}$

Пусть X — поверхность и эффективные дивизоры Картье на ней. Пусть — теоретико-схемное пересечение и ( рассматривая эти дивизоры как замкнутые подсхемы). Для простоты предположим, что встречаются только в одной точке P с той же кратностью m и что P — гладкая точка X. Тогда ^[12]${\displaystyle A,B,D}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle A+D}$${\displaystyle B+D}$${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle s(Z,X)=[D]+(m^{2}[P]-D\cdot [D]).}$

Чтобы увидеть это, рассмотрим раздутие X вдоль P и пусть , строгое преобразование Z. По формуле в #Свойства,${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$${\displaystyle g:{\widetilde {Z}}=\pi ^{-1}Z\to Z}$

${\displaystyle s(Z,X)=g_{*}([{\widetilde {Z}}])-g_{*}({\widetilde {Z}}\cdot [{\widetilde {Z}}]).}$

Так как , то получается формула выше.${\displaystyle {\widetilde {Z}}=\pi ^{*}D+mE}$${\displaystyle E=\pi ^{-1}P}$

Пусть — локальное кольцо многообразия X в замкнутом подмногообразии V коразмерности n (например, V может быть замкнутой точкой). Тогда — многочлен степени n по t для больших t ; т. е . его можно записать в виде членов младшей степени, а целое число называется кратностью A .${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$${\displaystyle \operatorname {length} _{A}(A/{\mathfrak {m}}^{t})}$${\displaystyle {e(A)^{n} \over n!}t^{n}+}$${\displaystyle e(A)}$

Класс Сегре кодирует эту множественность: коэффициент в равен . ^[13]${\displaystyle s(V,X)}$${\displaystyle V\subset X}$${\displaystyle [V]}$${\displaystyle s(V,X)}$${\displaystyle e(A)}$

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. Фолге. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Сегре, Бениамино (1953), «Новые методы и результаты nella geometria sulle varietà algebriche», Ann. Мат. Приложение Пура. (на итальянском языке), 35 (4): 1–127, MR  0061420