Третья проблема Гильберта
О разбиениях между многогранниками
Два многогранника одинакового объема, разрезанные на две части, которые можно собрать заново в любой многогранник

Третья из математических проблем Гильберта , представленная в 1900 году, была решена первой. Проблема связана со следующим вопросом: если даны любые два многогранника одинакового объема , всегда ли возможно разрезать первый на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить второй? Основываясь на более ранних работах Карла Фридриха Гаусса , [1] Дэвид Гильберт предположил, что это не всегда возможно. Это подтвердил в течение года его ученик Макс Ден , который доказал, что ответ в общем случае «нет», приведя контрпример. [2]

Ответ на аналогичный вопрос о многоугольниках в 2 измерениях — «да», и он был известен давно; это теорема Уоллеса–Бойяи–Гервина .

Неизвестная Гильберту и Дену, третья проблема Гильберта была также предложена независимо Владиславом Кретковским для математического конкурса 1882 года Краковской академии искусств и наук и была решена Людвиком Антонием Биркенмайером с помощью метода, отличного от метода Дена. Биркенмайер не опубликовал результат, а оригинальная рукопись, содержащая его решение, была вновь обнаружена спустя годы. [3]

История и мотивация

Формула объема пирамиды ,

базовая площадь × высота 3 , {\displaystyle {\frac {{\text{площадь основания}}\times {\text{высота}}}{3}},}

был известен Евклиду , но все доказательства этого включают в себя некоторую форму предельного процесса или исчисления , в частности, метод исчерпания или, в более современной форме, принцип Кавальери . Подобные формулы в плоской геометрии могут быть доказаны более элементарными средствами. Гаусс сожалел об этом недостатке в двух своих письмах к Кристиану Людвигу Герлингу , который доказал, что два симметричных тетраэдра равносоставлены . [3]

Письма Гаусса стали мотивацией для Гильберта: можно ли доказать равенство объемов, используя элементарные методы «разрезай и склей»? Потому что если нет, то и элементарное доказательство результата Евклида невозможно.

Доказательство Дена

Доказательство Дена — пример, в котором абстрактная алгебра используется для доказательства невозможного результата в геометрии . Другие примеры — удвоение куба и трисекция угла .

Два многогранника называютсяравносоставленными, если первый можно разрезать на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить второй. Любые два равносоставленных многогранника имеют одинаковый объем. Гильберт спрашивает об обратном .

Для каждого многогранника Ден определяет значение, теперь известное как инвариант Дена , со свойством, что если разрезать на многогранные части , то В частности, если два многогранника являются равносоставленными, то они имеют один и тот же инвариант Дена. Затем он показывает, что каждый куб имеет нулевой инвариант Дена, в то время как каждый правильный тетраэдр имеет ненулевой инвариант Дена. Следовательно, эти две фигуры не могут быть равносоставленными. П {\displaystyle P} Д ⁡ ( П ) {\displaystyle \operatorname {D} (P)} П {\displaystyle P} П 1 , П 2 , … П н {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}} Д ⁡ ( П ) = Д ⁡ ( П 1 ) + Д ⁡ ( П 2 ) + ⋯ + Д ⁡ ( П н ) . {\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}

Инвариант многогранника определяется на основе длин его ребер и углов между его гранями. Если многогранник разрезается на два, некоторые ребра разрезаются на два, и соответствующие вклады в инварианты Дена должны, следовательно, быть аддитивными по длинам ребер. Аналогично, если многогранник разрезается вдоль ребра, соответствующий угол разрезается на два. Разрезание многогранника обычно также вводит новые ребра и углы; их вклады должны компенсироваться. Углы, введенные при прохождении разреза через грань, добавляются к , а углы, введенные вокруг ребра, внутреннего по отношению к многограннику, добавляются к . Следовательно, инвариант Дена определяется таким образом, что целые кратные углов дают чистый вклад, равный нулю. π {\displaystyle \пи} 2 π {\displaystyle 2\пи} π {\displaystyle \пи}

Все вышеперечисленные требования могут быть выполнены путем определения в качестве элемента тензорного произведения действительных чисел (представляющих длины ребер) и фактор-пространства (представляющего углы, со всеми рациональными кратными заменой на ноль). Для некоторых целей это определение может быть сделано с использованием тензорного произведения модулей над (или эквивалентно абелевых групп ), в то время как другие аспекты этой темы используют структуру векторного пространства на инвариантах, полученную путем рассмотрения двух факторов и как векторных пространств над и взятия тензорного произведения векторных пространств над . Этот выбор структуры в определении не делает разницы в том, являются ли два инварианта Дена, определенные любым способом, равными или неравными. Д ⁡ ( П ) {\displaystyle \operatorname {D} (P)} Р {\displaystyle \mathbb {R} } Р / ( В π ) {\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )} π {\displaystyle \пи} З {\displaystyle \mathbb {Z} } Р {\displaystyle \mathbb {R} } Р / ( В π ) {\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )} В {\displaystyle \mathbb {Q} } В {\displaystyle \mathbb {Q} }

Для любого ребра многогранника пусть будет его длиной и пусть обозначает двугранный угол двух граней , которые встречаются в точке , измеренный в радианах и рассматриваемый по модулю рациональных кратных . Инвариант Дена тогда определяется как где сумма берется по всем ребрам многогранника . Это оценка . е {\displaystyle е} П {\displaystyle P} ℓ ( е ) {\displaystyle \ell (e)} θ ( е ) {\displaystyle \тета (е)} П {\displaystyle P} е {\displaystyle е} π {\displaystyle \пи} Д ⁡ ( П ) = ∑ е ℓ ( е ) ⊗ θ ( е ) {\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)} е {\displaystyle е} П {\displaystyle P}

Дополнительная информация

В свете теоремы Дена выше можно спросить: «Какие многогранники являются равносоставленными?» Сидлер (1965) показал, что два многогранника являются равносоставленными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый объем и одинаковый инвариант Дена. [4] Позднее Бёрге Йессен расширил результаты Сидлера до четырех измерений. [5] В 1990 году Дюпон и Сах предоставили более простое доказательство результата Сидлера, переосмыслив его как теорему о гомологии определенных классических групп . [6]

В 1980 году Дебруннер показал, что инвариант Дена любого многогранника, которым можно периодически замостить все трехмерное пространство, равен нулю. [7]

Нерешенная задача по математике :
Должны ли многогранники с одинаковым объемом и инвариантом Дена в сферической или гиперболической геометрии быть равносоставленными?
(еще нерешенные проблемы по математике)

Йессен также поставил вопрос о том, остается ли аналог результатов Йессена верным для сферической геометрии и гиперболической геометрии . В этих геометриях метод Дена продолжает работать и показывает, что когда два многогранника являются равносоставленными, их инварианты Дена равны. Однако остается открытым вопрос , всегда ли пары многогранников с одинаковым объемом и одинаковым инвариантом Дена в этих геометриях являются равносоставленными. [8]

Исходный вопрос

Первоначальный вопрос Гильберта был более сложным: для любых двух тетраэдров T 1 и T 2 с одинаковой площадью основания и одинаковой высотой (и, следовательно, равным объемом) всегда ли можно найти конечное число тетраэдров, так что когда эти тетраэдры каким-либо образом приклеиваются к T 1 , а также к T 2 , полученные многогранники будут равносоставленными?

Инвариант Дена можно использовать для получения отрицательного ответа и на этот более сильный вопрос.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Карл Фридрих Гаусс : Werke , том. 8, стр. 241 и 244.
  2. ^ Ден, Макс (1901). «Уэбер ден Рауминхальт». Математические Аннален . 55 (3): 465–478 . doi : 10.1007/BF01448001. S2CID  120068465.
  3. ^ аб Цесельска, Данута; Чесельский, Кшиштоф (29 мая 2018 г.). «Равноразложимость многогранников: решение третьей проблемы Гильберта в Кракове до ICM 1900». Математический интеллект . 40 (2): 55–63 . doi : 10.1007/s00283-017-9748-4 . ISSN  0343-6993.
  4. ^ Сидлер, Ж.-П. (1965). «Необходимые и достаточные условия для эквивалентности многогранников евклидового пространства в трех измерениях». Комментарий. Математика. Хелв. 40 : 43–80 . doi : 10.1007/bf02564364. S2CID  123317371.
  5. ^ Джессен, Борге (1972). «Алгебра многогранников». Nachrichten der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Fachgruppe II: Nachrichten aus der Physik, Astronomie, Geophysik, Technik : 47–53 . MR  0353150. Zbl  0262.52004.
  6. ^ Дюпон, Йохан; Сах, Чи-Хан (1990). «Гомологии евклидовых групп движений, сделанных дискретными, и евклидовы конгруэнции ножниц». Acta Math. 164 ( 1– 2): 1– 27. doi : 10.1007/BF02392750 .
  7. ^ Дебруннер, Ганс Э. (1980). «Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln». Арх. Математика. 35 (6): 583–587 . doi : 10.1007/BF01235384. S2CID  121301319.
  8. ^ Дюпон, Йохан Л. (2001), Ножницы, конгруэнтность, групповая гомология и характеристические классы, Nankai Tracts in Mathematics, т. 1, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, стр. 6, doi : 10.1142/9789812810335, ISBN 978-981-02-4507-8, MR  1832859, архивировано из оригинала 2016-04-29.

Дальнейшее чтение

  • Бенко, Д. (2007). «Новый подход к третьей проблеме Гильберта». The American Mathematical Monthly . 114 (8): 665– 676. doi :10.1080/00029890.2007.11920458. S2CID  7213930.
  • Шварц, Рич (2010). «Объяснение теоремы Дена–Сидлера» (PDF) .
  • Кодзи, Сига; Тошиказу Сунада (2005). Математический дар, III: Взаимодействие между топологией, функциями, геометрией и алгеброй . Американское математическое общество.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbert%27s_third_problem&oldid=1250420651#Scissors_congruence"