минимальная поверхность Шварца

В дифференциальной геометрии минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Германом Шварцем .

В 1880-х годах Шварц и его ученик Э. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности. ^[1]^[2] Позднее они были названы Аланом Шоеном в его основополагающем докладе, в котором описывался гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности. ^[3]

Поверхности были созданы с использованием аргументов симметрии: при наличии решения проблемы Плато для многоугольника, отражения поверхности через граничные линии также создают допустимые минимальные поверхности, которые могут быть непрерывно соединены с исходным решением. Если минимальная поверхность встречается с плоскостью под прямым углом, то зеркальное изображение в плоскости также может быть соединено с поверхностью. Следовательно, при наличии подходящего начального многоугольника, вписанного в элементарную ячейку, могут быть построены периодические поверхности. ^[4]

Поверхности Шварца имеют топологический род 3, минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей. ^[5]

Они рассматривались в качестве моделей периодических наноструктур в блок-сополимерах , электростатических эквипотенциальных поверхностей в кристаллах ^[6] и гипотетических отрицательно искривленных графитовых фаз. ^[7]

Шварц П ("Примитивный")

Шен назвал эту поверхность «примитивной», поскольку она имеет два переплетенных конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решетки. В то время как стандартная поверхность P имеет кубическую симметрию, единичная ячейка может быть любым прямоугольным ящиком, создавая семейство минимальных поверхностей с той же топологией. ^[8]

Его можно аппроксимировать неявной поверхностью

\cos(x)+\cos(y)+\cos(z)=0\

. ^[9]

Поверхность P рассматривалась для прототипирования тканевых каркасов с высоким отношением поверхности к объему и пористостью. ^[10]

Шварц Д ("Бриллиант")

Шен назвал эту поверхность «алмазной», поскольку она имеет два переплетенных конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии структуры связи алмаза . Иногда в литературе ее называют поверхностью F.

Его можно аппроксимировать неявной поверхностью

\cos(x)\cos(y)\cos(z)-\sin(x)\sin(y)\sin(z)=0\

.

Точное выражение существует в терминах эллиптических интегралов , основанных на представлении Вейерштрасса . ^[11]

Шварц H («шестиугольный»)

Поверхность H похожа на катеноид с треугольной границей, что позволяет ей замостить пространство.

Шварц CLP («Перекрещенные слои параллелей»)

Иллюстрации

Университет Саскуэханна - Трижды периодические минимальные поверхности (Архив)
Университет Индианы - Трижды периодические поверхности рода 3 (Архив)
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg - Бинепрерывные кубические фазы, основанные на трижды периодических минимальных поверхностях
Свободный университет Брюсселя - Поверхность Шварца (в архиве)
Виртуальный математический музей - Галерея минимальных поверхностей 3DXM

Ссылки

^ HA Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Берлин, 1933.
^ ER Neovius, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen", Akad. Абхандлунген , Гельсингфорс, 1883 год.
^ Алан Х. Шоен, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая записка NASA TN D-5541 (1970)[1]
^ Герман Кархер, Конрад Полтье, «Построение трижды периодических минимальных поверхностей», Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 сентября 1996 г. т. 354 № 1715 2077–2104
^ «Геометрия Алана Шёна».
^ Mackay, Alan L. (апрель 1985). «Периодические минимальные поверхности». Nature . 314 (6012): 604–606. Bibcode :1985Natur.314..604M. doi :10.1038/314604a0. S2CID 4267918.
^ Terrones, H.; Mackay, AL (декабрь 1994 г.). «Отрицательно искривленный графит и трижды периодические минимальные поверхности». Журнал математической химии . 15 (1): 183–195. doi :10.1007/BF01277558. S2CID 123561096.
^ WH Meeks. Теория трижды периодических минимальных поверхностей. Indiana University Math. Journal, 39 (3):877-936, 1990.
^ "Triply Periodic Level Surfaces". Архивировано из оригинала 2019-02-12 . Получено 2019-02-10 .
^ Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim и Junseok Kim, Конечно-элементный анализ геометрии пор поверхности Schwarz P для тканеинженерных матриц, Математические проблемы в инженерии, том 2012, идентификатор статьи 694194, doi:10.1155/2012/694194
^ Пол Дж. Ф. Ганди, Джурдже Цвиёвич, Алан Л. Маккей, Яцек Клиновски, Точное вычисление трижды периодической D («алмазной») минимальной поверхности, Chemical Physics Letters, том 314, выпуски 5–6, 10 декабря 1999 г., страницы 543–551

[1] HA Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Берлин, 1933.

[2] ER Neovius, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen", Akad. Абхандлунген , Гельсингфорс, 1883 год.

[3] Алан Х. Шоен, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая записка NASA TN D-5541 (1970)[1]

[4] Герман Кархер, Конрад Полтье, «Построение трижды периодических минимальных поверхностей», Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 сентября 1996 г. т. 354 № 1715 2077–2104

[5] «Геометрия Алана Шёна».

[6] Mackay, Alan L. (апрель 1985). «Периодические минимальные поверхности». Nature . 314 (6012): 604–606. Bibcode :1985Natur.314..604M. doi :10.1038/314604a0. S2CID 4267918.

[7] Terrones, H.; Mackay, AL (декабрь 1994 г.). «Отрицательно искривленный графит и трижды периодические минимальные поверхности». Журнал математической химии . 15 (1): 183–195. doi :10.1007/BF01277558. S2CID 123561096.

[8] WH Meeks. Теория трижды периодических минимальных поверхностей. Indiana University Math. Journal, 39 (3):877-936, 1990.

[9] "Triply Periodic Level Surfaces". Архивировано из оригинала 2019-02-12 . Получено 2019-02-10 .

[10] Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim и Junseok Kim, Конечно-элементный анализ геометрии пор поверхности Schwarz P для тканеинженерных матриц, Математические проблемы в инженерии, том 2012, идентификатор статьи 694194, doi:10.1155/2012/694194

[11] Пол Дж. Ф. Ганди, Джурдже Цвиёвич, Алан Л. Маккей, Яцек Клиновски, Точное вычисление трижды периодической D («алмазной») минимальной поверхности, Chemical Physics Letters, том 314, выпуски 5–6, 10 декабря 1999 г., страницы 543–551