Трижды периодическая минимальная поверхность

В дифференциальной геометрии трижды периодическая минимальная поверхность (TPMS) — это минимальная поверхность , которая инвариантна относительно решетки трансляций ранга 3 .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Эти поверхности имеют симметрии кристаллографической группы . Известно множество примеров с кубической, тетрагональной , ромбоэдрической и орторомбической симметрией. Моноклинные и триклинные примеры, несомненно, существуют, но их оказалось трудно параметризовать. ^[1]

TPMS имеют значение в естественных науках. TPMS наблюдались как биологические мембраны, ^[2] как блок-сополимеры , ^[3] эквипотенциальные поверхности в кристаллах ^[4] и т. д. Они также представляли интерес в архитектуре, дизайне и искусстве.

Почти все изученные TPMS свободны от самопересечений (т.е. встроены в ): с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающиеся поверхности тривиально распространены). ^[5]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Все связные TPMS имеют род ≥ 3, ^[6] и в каждой решетке существуют ориентируемые вложенные TPMS каждого рода ≥ 3. ^[7]

Встроенные TPMS являются ориентируемыми и делят пространство на два непересекающихся подобъема (лабиринта). Если они конгруэнтны, поверхность называется поверхностью баланса. ^[8]

Первыми примерами TPMS были поверхности, описанные Шварцем в 1865 году, а затем поверхность, описанная его учеником Э. Р. Неовиусом в 1883 году. ^{[9] [10]}

В 1970 году Алан Шен придумал 12 новых систем TPMS, основанных на скелетных графах, охватывающих кристаллографические ячейки. ^{[11] [12]} Хотя поверхности Шена стали популярными в естественных науках, их конструкция не поддавалась математическому доказательству существования и оставалась в значительной степени неизвестной в математике, пока Х. Кархер не доказал их существование в 1989 году. ^[13]

Используя сопряженные поверхности, было найдено гораздо больше поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для более простых примеров, для многих поверхностей они неизвестны. Вместо этого часто используются методы из Дискретной дифференциальной геометрии . ^[5]

Классификация TPMS является открытой проблемой.

TPMS часто входят в семейства, которые могут непрерывно деформироваться друг в друга. Микс нашел явное 5-параметрическое семейство для TPMS рода 3, которое содержало все известные на тот момент примеры поверхностей рода 3, за исключением гироида. ^[6] Члены этого семейства могут непрерывно деформироваться друг в друга, оставаясь встроенными в процесс (хотя решетка может меняться). Гироид и лидиноид находятся внутри отдельного 1-параметрического семейства. ^[14]

Другой подход к классификации TPMS заключается в изучении их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих линии, можно перечислить возможные граничные полигоны, что обеспечивает классификацию. ^{[8] [15]}

Периодические минимальные поверхности могут быть построены в S ^{3 [16]} и H ³ . ^[17]

Можно обобщить разделение пространства на лабиринты, чтобы найти трижды периодические (но, возможно, разветвленные) минимальные поверхности, которые делят пространство на более чем два подобъема. ^[18]

Квазипериодические минимальные поверхности были построены в . ^[19] Было высказано предположение, но не доказано, что существуют минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком в . ^[20]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times {\textbf {S}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• TPMS в архиве минимальной поверхности [2]
• Галерея периодических минимальных поверхностей [3]