Центральная простая алгебра

В теории колец и смежных областях математики центральная простая алгебра ( ЦПА ) над полем K — это конечномерная ассоциативная K -алгебра A , которая является простой , и для которой центром является в точности K . (Обратите внимание, что не каждая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром: например, если K — поле характеристики 0, то алгебра Вейля является простой алгеброй с центром K , но не является центральной простой алгеброй над K , поскольку имеет бесконечную размерность как K -модуль.)${\displaystyle K[X,\partial _{X}]}$

Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над действительными числами R (центр C — это все C , а не только R ). Кватернионы H образуют 4-мерную CSA над R и фактически представляют собой единственный нетривиальный элемент группы Брауэра действительных чисел (см. ниже).

Для двух центральных простых алгебр A ~ M ( n , S ) и B ~ M ( m , T ) над одним и тем же полем F , A и B называются подобными (или эквивалентными по Брауэру ), если их тела S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над заданным полем F , при этом отношении эквивалентности, может быть снабжено групповой операцией, заданной тензорным произведением алгебр . Полученная группа называется группой Брауэра Br( F ) поля F . ^[1] Она всегда является группой кручения . ^[2]

• Согласно теореме Артина–Веддерберна конечномерная простая алгебра A изоморфна матричной алгебре M ( n , S ) для некоторого тела S . Следовательно, в каждом классе эквивалентности Брауэра существует единственная алгебра с делением. ^[3]
• Каждый автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним автоморфизмом (это следует из теоремы Скулема–Нётер ).
• Размерность центральной простой алгебры как векторного пространства над ее центром всегда является квадратом: степень — это квадратный корень этой размерности. [ ^4] Индекс Шура центральной простой алгебры — это степень эквивалентной алгебры с делением: ^[5] он зависит только от класса Брауэра алгебры. ^[6]
• Период или показатель центральной простой алгебры — это порядок ее класса Брауэра как элемента группы Брауэра. Он является делителем индекса, ^[7] и эти два числа состоят из одних и тех же простых множителей. ^{[8] [9] [10]}
• Если S — простая подалгебра центральной простой алгебры A, то dim _F  S делит dim _F  A.
• Каждая 4-мерная центральная простая алгебра над полем F изоморфна алгебре кватернионов ; на самом деле, это либо матричная алгебра размера два на два , либо алгебра с делением .
• Если D — центральная алгебра с делением над K , для которой индекс имеет разложение на простые множители

${\displaystyle \mathrm {инд} (D)=\прод _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

тогда D имеет разложение тензорного произведения

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

где каждый компонент D _i является центральной алгеброй с делением индекса , а компоненты определены однозначно с точностью до изоморфизма. ^[11]${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$

Мы называем поле E полем расщепления для A над K, если A ⊗ E изоморфно кольцу матриц над E. Каждая конечномерная CSA имеет поле расщепления: действительно, в случае, когда A является алгеброй с делением, то максимальное подполе A является полем расщепления. В общем случае по теоремам Веддерберна и Кете существует поле расщепления, которое является сепарабельным расширением K степени , равной индексу A , и это поле расщепления изоморфно подполю A. ^{[12] [13]} В качестве примера, поле C расщепляет алгебру кватернионов H над R с помощью

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\ -y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

Мы можем использовать существование поля расщепления, чтобы определить приведенную норму и приведенный след для CSA A . ^[14] Отобразим A в кольцо матриц над полем расщепления и определим приведенную норму и след как композицию этого отображения с определителем и следом соответственно. Например, в кватернионной алгебре H расщепление выше показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет приведенную норму t ² + x ² + y ² + z ² и приведенный след 2 t .

Приведенная норма мультипликативна, а приведенный след аддитивен. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведенная норма в ненулевом элементе: следовательно, CSA является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда приведенная норма ненулевая на ненулевых элементах. ^[15]

CSA над полем K являются некоммутативным аналогом полей расширения над K – в обоих случаях они не имеют нетривиальных 2-сторонних идеалов и имеют выделенное поле в своем центре, хотя CSA может быть некоммутативным и не обязательно иметь обратные (не обязательно быть алгеброй с делением ). Это представляет особый интерес в некоммутативной теории чисел как обобщения числовых полей (расширения рациональных чисел Q ); см. некоммутативное числовое поле .

• Алгебра Адзумая , обобщение CSA, где базовое поле заменено коммутативным локальным кольцом
• сорт Севери–Брауэра
• Теорема Познера

• Cohn, PM (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (2-е изд.). Springer. ISBN 1852336676. Збл  1006.00001.
• Якобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Збл  0874.16002.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Збл  1130.12001.

• Альберт, А.А. (1939). Структура алгебр . Colloquium Publications. Том 24 (7-е исправленное переиздание). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1024-3. Збл  0023.19901.
• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Збл  1137.12001.