Правильный сорт

В алгебраической геометрии многообразие над полем k называется линейчатым , если оно бирационально произведению проективной прямой с некоторым многообразием над k . Многообразие называется унилинейчатым, если оно покрыто семейством рациональных кривых . (Точнее, многообразие X называется унилинейчатым, если существует многообразие Y и доминирующее рациональное отображение Y × P ¹ – → X , которое не факторизуется проекцией на Y .) Концепция возникла из линейчатых поверхностей геометрии 19-го века, то есть поверхностей в аффинном пространстве или проективном пространстве , которые покрываются прямыми. Однолинейчатые многообразия можно считать относительно простыми среди всех многообразий, хотя их много.

Каждое унилинейчатое многообразие над полем нулевой характеристики имеет размерность Кодаиры −∞. Обратное утверждение является гипотезой, которая известна в размерности не более 3: многообразие размерности Кодаиры −∞ над полем нулевой характеристики должно быть унилинейчатым. Связанное утверждение известно во всех размерностях: Буксом, Демайи , Паун и Петернелл показали, что гладкое проективное многообразие X над полем нулевой характеристики является унилинейчатым тогда и только тогда, когда каноническое расслоение X не является псевдоэффективным (то есть не находится в замкнутом выпуклом конусе, натянутом на эффективные дивизоры в группе Нерона-Севери, тензорно умноженной на действительные числа). ^[1] Как совершенно особый случай, гладкая гиперповерхность степени d в P ⁿ над полем нулевой характеристики является унилинейчатой ​​тогда и только тогда, когда d ≤ n , по формуле присоединения . (На самом деле, гладкая гиперповерхность степени d ≤ n в P ⁿ является многообразием Фано и, следовательно, рационально связна , что сильнее, чем быть нелинейчатой.)

Многообразие X над несчетным алгебраически замкнутым полем k является унилинейчатым тогда и только тогда, когда существует рациональная кривая, проходящая через каждую k -точку X. Напротив, существуют многообразия над алгебраическим замыканием k конечного поля , которые не являются унилинейчатыми, но имеют рациональную кривую, проходящую через каждую k -точку. ( Многообразие Куммера любой несуперсингулярной абелевой поверхности над F _p с нечетным p обладает этими свойствами. ^[2] ) Неизвестно, существуют ли многообразия с этими свойствами над алгебраическим замыканием рациональных чисел .

Унилинейчатость является геометрическим свойством (оно не меняется при расширениях поля), тогда как линейчатость — нет. Например, коника x ² + y ² + z ² = 0 в P ² над действительными числами R является унилинейчатой, но не линейчатой. (Соответствующая кривая над комплексными числами C изоморфна P ¹ и, следовательно, является линейчатой.) В положительном направлении каждое унилинейчатое многообразие размерности не более 2 над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики является линейчатым. Гладкие кубические 3-мерные многообразия и гладкие квартические 3-мерные многообразия в P ⁴ над C являются унилинейчатыми, но не линейчатыми.

Унилинейчатость ведет себя совершенно по-разному в положительной характеристике. В частности, существуют унилинейчатые (и даже унирациональные ) поверхности общего типа : примером является поверхность x ^{p +1} + y ^{p +1} + z ^{p +1} + w ^{p +1} = 0 в P ³ над F _p , для любого простого числа p ≥ 5. ^[3] Таким образом, унилинейчатость не означает, что размерность Кодаиры равна −∞ в положительной характеристике.

Многообразие X является отделимо унилинейчатым , если существует многообразие Y с доминантным отделимым рациональным отображением Y × P ¹ – → X , которое не факторизуется проекцией на Y . («Отделимо» означает, что производная сюръективна в некоторой точке; это было бы автоматически для доминантного рационального отображения в нулевой характеристике.) Многообразие с отделимо унилинейчатым имеет размерность Кодаиры −∞. Обратное верно в размерности 2, но не в более высоких размерностях. Например, существует гладкое проективное 3-мерное пространство над F _{2 ,} которое имеет размерность Кодаиры −∞, но не является отделимо унилинейчатым. ^[4] Неизвестно, является ли каждое гладкое многообразие Фано в положительной характеристике отделимо унилинейчатым.

• Богомолов, Федор ; Чинкель, Юрий (2005), «Рациональные кривые и точки на поверхностях K3», American Journal of Mathematics , 127 (4): 825–835, arXiv : math/0310254 , doi :10.1353/ajm.2005.0025, MR  2154371
• Буксом, Себастьен; Демайи, Жан-Пьер ; Паун, Михай; Петернелл, Томас (2013), «Псевдоэффективный конус компактного кэлерова многообразия и многообразия отрицательной размерности Кодаиры», Журнал алгебраической геометрии , 22 (2): 201–248, arXiv : math/0405285 , doi :10.1090/S1056-3911-2012-00574-8, MR  3019449
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, МР  1440180
• Сато, Эй-ичи (1993), «Критерий унифицированности в положительной характеристике», Tohoku Mathematical Journal , 45 (4): 447–460, doi : 10.2748/tmj/1178225839 , MR  1245712
• Сиода, Тетсудзи (1974), «Пример унирациональных поверхностей в характеристике p », Mathematische Annalen , 211 : 233–236, doi :10.1007/BF01350715, MR  0374149