Прямоугольный треугольник

Треугольник, содержащий угол в 90 градусов
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C , гипотенузой c и катетами a и b ,

Прямоугольный треугольник , иногда называемый ортогональным треугольником или прямоугольным треугольником , представляет собой треугольник , в котором две стороны перпендикулярны , образуя прямой угол ( 1⁄4 оборота или 90 градусов ).

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой ( стороной на рисунке). Стороны, примыкающие к прямому углу, называются катетами (или катетами , единственное число: катет ). Сторона может быть определена как сторона, примыкающая к углу и противолежащая (или противолежащая ) углу , в то время как сторона — это сторона, примыкающая к углу и противолежащая углу с {\displaystyle с} а {\displaystyle а} Б {\displaystyle Б} А , {\displaystyle А,} б {\displaystyle б} А {\displaystyle А} Б . {\displaystyle Б.}

Каждый прямоугольный треугольник является половиной прямоугольника , разделенного по его диагонали . Когда прямоугольник является квадратом , его прямоугольная половина является равнобедренной , с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Когда прямоугольник не является квадратом, его прямоугольная половина является разносторонней .

Каждый треугольник, основанием которого является диаметр окружности , а вершина лежит на окружности, является прямоугольным треугольником с прямым углом в вершине и гипотенузой в качестве основания; и наоборот, описанная окружность любого прямоугольного треугольника имеет гипотенузу в качестве своего диаметра. Это теорема Фалеса .

Катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника удовлетворяют теореме Пифагора : сумма площадей квадратов, построенных на двух катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон в совокупности называются пифагоровой тройкой . а 2 + б 2 = с 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника дают один из способов определения и понимания тригонометрии — науки о метрических соотношениях между длинами и углами.

Основные свойства

Стороны

Схема доказательства теоремы Пифагора Евклидом: каждый меньший квадрат имеет площадь, равную площади прямоугольника соответствующего цвета.

Три стороны прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора , которую в современной алгебраической нотации можно записать

а 2 + б 2 = с 2 , {\displaystyle а^{2}+b^{2}=c^{2},}

где — длина гипотенузы ( стороны, противолежащей прямому углу), а и — длины катетов ( остальных двух сторон). Пифагоровы тройки — это целые числа, удовлетворяющие этому уравнению. Эта теорема была доказана в древности и является предложением I.47 в « Началах » Евклида : «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол». с {\displaystyle с} а {\displaystyle а} б {\displaystyle б} а , б , с {\displaystyle а,б,в}

Область

Как и в любом треугольнике, площадь равна половине основания, умноженного на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если один катет взять за основание, то другой — за высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов. Как формула, площадь равна Т {\displaystyle Т}

Т = 1 2 а б {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}

где и - катеты треугольника. а {\displaystyle а} б {\displaystyle б}

Если вписанная окружность касается гипотенузы в точке , то, приняв полупериметр за , мы имеем и а площадь определяется по формуле А Б {\displaystyle AB} П , {\displaystyle P,} с = 1 2 ( а + б + с ) , {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),} | П А | = с а {\displaystyle |PA|=sa} | П Б | = с б , {\displaystyle |PB|=sb,}

Т = | П А | | П Б | = ( с а ) ( с б ) . {\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(sa)(sb).}

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам. [1]

Высоты

Высота f прямоугольного треугольника

Если из вершины провести высоту , под прямым углом к ​​гипотенузе, то треугольник разделится на два меньших треугольника; оба они подобны исходному, а значит, подобны друг другу. Отсюда:

В уравнениях,

ф 2 = г е , {\displaystyle f^{2}=de,} (иногда это называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника )
б 2 = с е , {\displaystyle b^{2}=ce,}
а 2 = с г {\displaystyle а^{2}=cd}

где показаны на диаграмме. [3] Таким образом а , б , с , г , е , ф {\displaystyle а,б,в,г,д,е}

ф = а б с . {\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}

Более того, высота к гипотенузе связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением [4] [5]

1 а 2 + 1 б 2 = 1 ф 2 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}

Решения этого уравнения в целых значениях см . здесь . а , б , с , ф , {\displaystyle а,б,в,е,}

Высота от любой из сторон совпадает с другой стороной. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, ортоцентр прямоугольного треугольника — пересечение его трех высот — совпадает с прямоугольной вершиной.

Входящий и описанный радиусы

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой равен а {\displaystyle а} б {\displaystyle б} с {\displaystyle с}

г = а + б с 2 = а б а + б + с . {\displaystyle r={\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}

Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы,

Р = с 2 . {\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}

Таким образом, сумма радиусов описанной и вписанной окружностей равна половине суммы катетов: [6]

Р + г = а + б 2 . {\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}

Один из катетов можно выразить через вписанный радиус, а другой катет как

а = 2 г ( б г ) б 2 г . {\displaystyle a={\frac {2r(br)}{b-2r}}.}

Характеристика

Треугольник со сторонами , полупериметром , площадью , высотой, противолежащей самой длинной стороне, радиусом описанной окружности, вписанным радиусом , касательной к соответственно, и медианами является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из утверждений в следующих шести категориях. Каждое из них, таким образом, также является свойством любого прямоугольного треугольника. А Б С {\displaystyle \треугольник ABC} а б < с {\displaystyle a\leq b<c} с = 1 2 ( а + б + с ) {\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} Т , {\displaystyle Т,} час с {\displaystyle h_{c}} Р , {\displaystyle R,} г , {\displaystyle r,} г а , г б , г с {\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}} а , б , с {\displaystyle а,б,в} м а , м б , м с {\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}

Стороны и полупериметр

  • а 2 + б 2 = с 2 ( Теорема Пифагора ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Теорема Пифагора}})}
  • ( с а ) ( с б ) = с ( с с ) {\ displaystyle (sa) (sb) = s (sc)}
  • с = 2 Р + г . {\displaystyle s=2R+r.} [7]
  • а 2 + б 2 + с 2 = 8 Р 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.} [8]

Углы

  • А {\displaystyle А} и являются взаимодополняющими . [9] Б {\displaystyle Б}
  • потому что А потому что Б потому что С = 0. {\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.} [8] [10]
  • грех 2 А + грех 2 Б + грех 2 С = 2. {\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.} [8] [10]
  • потому что 2 А + потому что 2 Б + потому что 2 С = 1. {\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.} [10]
  • грех 2 А = грех 2 Б = 2 грех А грех Б . {\displaystyle \sin {2A} =\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}

Область

  • Т = а б 2 {\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
  • Т = г а г б = г г с {\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
  • Т = г ( 2 Р + г ) {\displaystyle T=r(2R+r)}
  • Т = ( 2 с с ) 2 с 2 4 = с ( с с ) {\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(sc)}
  • Т = | П А | | П Б | , {\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,} где точка касания вписанной окружности на самой длинной стороне [11] П {\displaystyle P} А Б . {\displaystyle АБ.}

Входящие и выходящие радиусы

  • г = с с = ( а + б с ) / 2 {\displaystyle r=sc=(a+bc)/2}
  • г а = с б = ( а б + с ) / 2 {\displaystyle r_{a}=sb=(a-b+c)/2}
  • г б = с а = ( а + б + с ) / 2 {\displaystyle r_{b}=sa=(-a+b+c)/2}
  • г с = с = ( а + б + с ) / 2 {\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}
  • г а + г б + г с + г = а + б + с {\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
  • г а 2 + г б 2 + г с 2 + г 2 = а 2 + б 2 + с 2 {\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  • г = г а г б г с . {\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.} [12]

Высота и медианы

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до его гипотенузы является геометрическим средним длин отрезков, на которые разделена гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках со сторонами ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
( п + д ) 2 = г 2 + с 2 п 2 + 2 п д + д 2 = п 2 + час 2 + час 2 + д 2 2 п д = 2 час 2 час = п д {\displaystyle {\begin{align}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\поэтому h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{align}}}

Описанная и вписанная окружность

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для заданного угла можно построить прямоугольный треугольник с этим углом и сторонами, обозначенными как противолежащая, прилежащая и гипотенуза относительно этого угла в соответствии с определениями выше. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от заданного угла, поскольку все треугольники, построенные таким образом, подобны . Если для заданного угла α противолежащая сторона, прилежащая сторона и гипотенуза обозначены и соответственно, то тригонометрические функции будут О , {\displaystyle О,} А , {\displaystyle А,} ЧАС , {\displaystyle Н,}

грех α = О ЧАС , потому что α = А ЧАС , загар α = О А , сек α = ЧАС А , детская кроватка α = А О , csc α = ЧАС О . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}

Для выражения гиперболических функций в виде отношения сторон прямоугольного треугольника см. гиперболический треугольник гиперболического сектора .

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного и равнобедренный прямоугольный треугольник или треугольник 45-45-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного 1 6 π , {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,} 1 4 π . {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}

Треугольник Кеплера

Пусть и будут средним гармоническим , средним геометрическим и средним арифметическим двух положительных чисел и с Если прямоугольный треугольник имеет катеты и и гипотенузу, то [13] H , {\displaystyle H,} G , {\displaystyle G,} A {\displaystyle A} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a > b . {\displaystyle a>b.} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} A , {\displaystyle A,}

A H = A 2 G 2 = G 2 H 2 = ϕ , a b = ϕ 3 , {\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}

где золотое сечение . Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрической прогрессии , это треугольник Кеплера . ϕ = 1 2 ( 1 + 5 ) {\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}

Теорема Фалеса

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса гласит, что если — диаметр окружности, а — любая другая точка на окружности, то — прямоугольный треугольник с прямым углом в Обратное утверждение гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности . Как следствие, центр описанной окружности находится в середине диаметра, поэтому медиана, проходящая через прямоугольную вершину, является радиусом, а радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. B C {\displaystyle BC} A {\displaystyle A} A B C {\displaystyle \triangle ABC} A . {\displaystyle A.}

Медианы

Для медиан прямоугольного треугольника справедливы следующие формулы :

m a 2 + m b 2 = 5 m c 2 = 5 4 c 2 . {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}

Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, поскольку медиана равна половине гипотенузы.

Средние линии и линии от ног удовлетворяют [6] : стр.136, №3110  m a {\displaystyle m_{a}} m b {\displaystyle m_{b}}

4 c 4 + 9 a 2 b 2 = 16 m a 2 m b 2 . {\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}

линия Эйлера

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера содержит медиану на гипотенузе, то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это происходит потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, приходится на прямоугольную вершину, в то время как его описанный центр, пересечение его перпендикулярных серединных сторон , приходится на середину гипотенузы.

Неравенства

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, и, что еще лучше, он меньше или равен произведению гипотенузы [14] : стр.281  ( 2 1 ) . {\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}

В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой a , b {\displaystyle a,b} c , {\displaystyle c,}

c 2 2 ( a + b ) {\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}

с равенством только в равнобедренном случае. [14] : стр.282, стр.358 

Если обозначена высота от гипотенузы, то h c , {\displaystyle h_{c},}

h c 2 4 ( a + b ) {\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}

с равенством только в равнобедренном случае. [14] : стр.282 

Другие свойства

Если отрезки длин и , исходящие из вершины, делят гипотенузу на отрезки длины , то [2] : стр. 216–217  p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} C {\displaystyle C} 1 3 c , {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}

p 2 + q 2 = 5 ( c 3 ) 2 . {\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}

Прямоугольный треугольник — единственный треугольник, имеющий два, а не один или три отдельных вписанных квадрата. [15]

Даны любые два положительных числа и Пусть и будут сторонами двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой Тогда h {\displaystyle h} k {\displaystyle k} h > k . {\displaystyle h>k.} h {\displaystyle h} k {\displaystyle k} c . {\displaystyle c.}

1 c 2 + 1 h 2 = 1 k 2 . {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}

Эти стороны и радиус вписанной окружности связаны аналогичной формулой: r {\displaystyle r}

1 r = 1 c + 1 h + 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трех вневписанных окружностей :

a + b + c = r + r a + r b + r c . {\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}

Смотрите также

Ссылки

  1. Ди Доменико, Анджело С., «Свойство треугольников, включающее площадь», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., стр. 323–324.
  2. ^ ab Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996.
  3. ^ Вентворт, стр. 156
  4. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения », Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. a 2 + b 2 = d 2 {\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}
  5. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
  6. ^ abcde Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [1].
  7. ^ "Треугольник прямоугольный, если и только если s = 2R + r, Искусство решения проблем, 2011". Архивировано из оригинала 2014-04-28 . Получено 2012-01-02 .
  8. ^ abcd Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, «Комплексные числа от А до... Я», Биркхойзер, 2006, стр. 109–110.
  9. ^ "Свойства прямоугольных треугольников". Архивировано из оригинала 2011-12-31 . Получено 2012-02-15 .
  10. ^ abc CTK Wiki Math, Вариант теоремы Пифагора , 2011, [2] Архивировано 05.08.2013 на Wayback Machine .
  11. ^ Дарваси, Дьюла (март 2005 г.), «Обратное свойство прямоугольных треугольников», The Mathematical Gazette , 89 (514): 72– 76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID  125992270.
  12. ^ Белл, Эми (2006), «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратная теорема и обобщение» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342 , архивировано (PDF) из оригинала 25.07.2008
  13. Ди Доменико, А., «Золотое сечение — прямоугольный треугольник — и арифметические, геометрические и гармонические средние», Mathematical Gazette 89, июль 2005 г., 261. Также Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь по 89.41», т. 90, март 2006 г., 153–154.
  14. ^ abc Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников . Prometheus Books, 2012.
  15. Бейли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
  • Калькулятор для прямоугольных треугольников Архивировано 2017-09-30 на Wayback Machine
  • Расширенный калькулятор прямоугольного треугольника
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Right_triangle&oldid=1269050153"