Риманова погружение

В дифференциальной геометрии , разделе математики , риманова субмерсия — это субмерсия из одного риманова многообразия в другое, которая сохраняет метрику, то есть является ортогональной проекцией на касательные пространства.

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — два римановых многообразия и (сюръективная) субмерсия, т. е. расслоенное многообразие . Горизонтальное распределение является подрасслоением касательного расслоения , которое зависит как от проекции, так и от метрики .${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle K:=\mathrm {ker} (df)^{\perp }}$${\displaystyle ТМ}$${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$

Тогда f называется римановой субмерсией тогда и только тогда, когда для всех изоморфизм векторного пространства изометричен, т.е. сохраняет длину. ^[1]${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle (df)_{x}:K_{x}\rightarrow T_{f(x)}N}$

Пример римановой субмерсии возникает, когда группа Ли действует изометрически, свободно и правильно на римановом многообразии . Проекция на фактор-пространство, снабженное фактор-метрикой, является римановой субмерсией. Например, покомпонентное умножение на на группу единичных комплексных чисел дает расслоение Хопфа .${\displaystyle G}$${\displaystyle (М,г)}$${\displaystyle \pi :M\rightarrow N}$ ${\displaystyle N=M/G}$${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

Секционная кривизна целевого пространства римановой субмерсии может быть рассчитана из кривизны всего пространства по формуле О'Нила , названной в честь Баррета О'Нила :

${\displaystyle K_{N}(X,Y)=K_{M}({\tilde {X}}, {\tilde {Y}})+{\tfrac {3}{4}}|[{\tilde {X}},{\tilde {Y}}]^{V}|^{2}}$

где — ортонормированные векторные поля на , их горизонтальные поднятия в , — скобка Ли векторных полей , а — проекция векторного поля на вертикальное распределение .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tilde {X}}, {\tilde {Y}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle [*,*]}$${\displaystyle Z^{V}}$${\displaystyle Z}$

В частности, нижняя граница кривизны сечения по крайней мере такая же большая, как нижняя граница кривизны сечения .${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$

• Волоконный жгут
• Субметрия
• карта со-Липшица

• Волоконно-оптический коллектор
• Геометрическая топология
• Коллектор

• Джилки, Питер Б.; Лихи, Джон В.; Пак, Чонхён (1998), Спиноры, спектральная геометрия и римановы субмерсии, Исследовательский центр глобального анализа, Сеульский национальный университет.
• Барретт О'Нил. Основные уравнения погружения. Michigan Math. J. 13 (1966), 459–469. doi :10.1307/mmj/1028999604

Эта статья по дифференциальной геометрии — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е