Теорема типа Римана–Роха

Теорема в геометрии

В алгебраической геометрии существуют различные обобщения теоремы Римана–Роха ; среди наиболее известных — теорема Гротендика–Римана–Роха , которая дополнительно обобщена формулировкой Фултона и др.

Формулировка Баума, Фултона и Макферсона

Пусть и — функторы в категории C схем, разделенных и локально конечного типа над базовым полем k с собственными морфизмами, такими, что $G_{*}$ $А_{*}$

$G_{*}(X)$ — группа Гротендика когерентных пучков на X ,
$A_{*}(X)$ является рациональной группой Чжоу X ,
для каждого собственного морфизма f являются прямыми образами (или проецированием) вдоль f . $G_{*}(f),A_{*}(f)$

Кроме того, если является (глобальным) локальным морфизмом полного пересечения ; т. е. он факторизуется как замкнутое регулярное вложение в гладкую схему P, за которым следует гладкий морфизм , то пусть $f:X\to Y$ $X\hookrightarrow P$ $P\to Y$

T_{f}=[T_{P/Y}|_{X}]-[N_{X/P}]

— класс в группе Гротендика векторных расслоений на X ; он не зависит от факторизации и называется виртуальным касательным расслоением f .

Тогда теорема Римана–Роха сводится к построению единственного естественного преобразования : ^[1]

\tau :G_{*}\to A_{*}

между двумя функторами такими, что для каждой схемы X в C гомоморфизм удовлетворяет: для локального морфизма полного пересечения , когда существуют замкнутые вложения в гладкие схемы, $\tau _{X}:G(X)\to A(X)$ $f:X\to Y$ $X\subset M,Y\subset P$

\tau _{X}f^{*}=\operatorname {td} (T_{f})\cdot f^{*}\tau _{Y}

где относится к классу Тодда . $\operatorname {td}$

Кроме того, он обладает следующими свойствами:

$\tau _{X}(\beta \otimes \alpha )=\operatorname {ch} (\beta )\tau (\alpha )$ для каждого и класса Черна (или его действия) в группе Гротендика векторных расслоений на X. $\альфа \in G_{*}(X)$ $\operatorname {ch} (\beta)$ $\бета$
Если X является замкнутой подсхемой гладкой схемы M , то теорема является (грубо говоря) ограничением теоремы в гладком случае и может быть записана в терминах локализованного класса Черна .

Эквивариантная теорема Римана–Роха

Над комплексными числами теорема является (или может быть интерпретирована как) частным случаем теоремы об эквивариантном индексе .

Теорема Римана–Роха для стеков Делиня–Мамфорда

За исключением алгебраических пространств, для стеков невозможны никакие простые обобщения. Усложнение появляется уже в случае орбифолда ( Риман-Рох Кавасаки ).

Эквивариантная теорема Римана–Роха для конечных групп во многих ситуациях эквивалентна теореме Римана–Роха для фактор-стеков по конечным группам.

Одним из важных приложений теоремы является то, что она позволяет определить виртуальный фундаментальный класс в терминах K -теоретического виртуального фундаментального класса.

Смотрите также

Формула Римана–Роха Кавасаки

Примечания

^ Фултон 1998, Теорема 18.3.

Ссылки

Эдидин, Дэн (2012-05-21). "Риман-Рох для стеков Делиня-Мамфорда". arXiv : 1205.4742 [math.AG].
Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. Фолге. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н 1644323
Тоен, Б. (17 марта 1998 г.). «Теоремы Римана-Роха для стеков Делиня-Мамфорда». arXiv : математика/9803076 .
Toen, Bertrand (18.08.1999). "K-теория и когомологии алгебраических стеков: теоремы Римана-Роха, D-модули и теоремы GAGA". arXiv : math/9908097 .
Лоури, Паркер; Шюрг, Тимо (30.08.2012). «Гротендик-Риман-Рох для производных схем». arXiv : 1208.6325 [math.AG].
Вакил, Математика 245A Темы по алгебраической геометрии: Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии

Внешние ссылки

https://mathoverflow.net/questions/25218/why-is-riemann-roch-for-stacks-so-hard

Эта статья, связанная с алгебраической геометрией , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

[1] Фултон 1998, Теорема 18.3.