Локализованный класс Черна

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (November 2019) (Learn how and when to remove this message)

В алгебраической геометрии локализованный класс Черна — это вариант класса Черна , который определяется для цепного комплекса векторных расслоений, а не для одного векторного расслоения. Первоначально он был введен в теории пересечений Фултона ^[1] как алгебраический аналог аналогичной конструкции в алгебраической топологии . Это понятие используется, в частности, в теореме типа Римана–Роха .

Позднее С. Блох обобщил это понятие в контексте арифметических схем (схем над областью Дедекинда) с целью вывести формулу кондуктора #Блоха, которая вычисляет непостоянство эйлеровой характеристики вырождающегося семейства алгебраических многообразий (в случае смешанной характеристики).

Пусть Y — чисто-мерная регулярная схема конечного типа над полем или дискретно-нормированным кольцом, а X — замкнутая подсхема. Пусть обозначает комплекс векторных расслоений на Y${\displaystyle E_{\bullet }}$

${\displaystyle 0=E_{n-1}\to E_{n}\to \dots \to E_{m}\to E_{m-1}=0}$

, который точен на . Локализованный класс Черна этого комплекса является классом в бивариантной группе Чжоу , определяемой следующим образом. Пусть обозначает тавтологический пучок расслоения Грассмана ранговых подпучков . Пусть . Тогда i -й локализованный класс Черна определяется формулой:${\displaystyle Y-X}$${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \operatorname {rk} E_{i}}$${\displaystyle E_{i}\otimes E_{i-1}}$${\displaystyle \xi =\prod (-1)^{i}\operatorname {pr} _{i}^{*}(\xi _{i})}$${\displaystyle c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })}$

${\displaystyle c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })\cap \alpha =\eta _{*}(c_{i}(\xi )\cap \gamma )}$

где — проекция, а — цикл, полученный с помощью так называемого построения графа.${\displaystyle \eta :G_{n}\times _{Y}\dots \times _{Y}G_{m}\to X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$

Пусть будет как в #Определениях. Если S гладко над полем, то локализованный класс Черна совпадает с классом${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle (-1)^{\dim X}\mathbf {Z} (s_{f})}$

где, грубо говоря, — сечение, определяемое дифференциалом f, и (таким образом) — класс особого места f .${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle \mathbf {Z} (s_{f})}$

Рассмотрим бесконечномерное расслоение E над бесконечномерным многообразием M с сечением s с производной Фредгольма. На практике эта ситуация возникает всякий раз, когда у нас есть система уравнений в частных производных, которые являются эллиптическими, если рассматривать их по модулю некоторого действия калибровочной группы. Тогда нулевое множество Z(s) является пространством модулей решений по модулю калибровки, а индекс производной — виртуальной размерностью. Локализованный класс Эйлера пары (E,s) является классом гомологии с замкнутым носителем на нулевом множестве сечения. Его размерность — это индекс производной. Когда сечение трансверсально, класс является просто фундаментальным классом нулевого множества с надлежащей ориентацией. Класс хорошо ведет себя в однопараметрических семействах и, следовательно, определяет «правильный» фундаментальный цикл, даже если сечение больше не трансверсально.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (November 2019)

Эта формула позволяет нам вычислить проводник, который измеряет дикое ветвление, используя пучок дифференциальных 1-форм. С. Блох выдвигает гипотезу о формуле для проводника Артина ℓ-адических этальных когомологий регулярной модели многообразия над локальным полем и доказывает ее для кривой. Самый глубокий результат о проводнике Блоха — его равенство с проводником Артина, определенным в терминах ℓ-адических когомологий X, в некоторых случаях.

• S. Bloch, «Циклы на арифметических схемах и эйлеровы характеристики кривых», Algebraic geometry, Bowdoin, 1985, 421–450, Proc. Symp. Pure Math. 46, Часть 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323, раздел Б.7
• К. Като и Т. Сайто, «О формуле проводника Блоха», Publ. Math. IHÉS 100 (2005), 5-151.