Регулярное встраивание

В алгебраической геометрии замкнутое погружение схем является регулярным вложением коразмерности r, если каждая точка x в X имеет открытую аффинную окрестность U в Y, такую, что идеал порождается регулярной последовательностью длины r . Регулярное вложение коразмерности один — это в точности эффективный дивизор Картье .${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle X\cap U}$

Например, если X и Y гладкие над схемой S и если i является S -морфизмом, то i является регулярным вложением. В частности, каждое сечение гладкого морфизма является регулярным вложением. ^[1] Если регулярно вкладывается в регулярную схему , то B является полным кольцом пересечений . ^[2]${\displaystyle \operatorname {Спецификация} B}$

Это понятие используется, например, существенным образом в подходе Фултона к теории пересечений . Важным фактом является то, что когда i является регулярным вложением, если I является идеальным пучком X в Y , то нормальный пучок , двойственный к , локально свободен (следовательно, является векторным расслоением), а естественное отображение является изоморфизмом: нормальный конус совпадает с нормальным расслоением.${\displaystyle Я/Я^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Симв} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$

Один не-пример — это схема, которая не является равноразмерной. Например, схема

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}$

является объединением и . Тогда вложение не является регулярным, поскольку взятие любой не начальной точки на оси имеет размерность , в то время как любая не начальная точка на плоскости имеет размерность .${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2}$

Морфизм конечного типа называется (локальным) полным морфизмом пересечения , если каждая точка x в X имеет открытую аффинную окрестность U , так что f | _U факторизуется как, где j — регулярное вложение, а g — гладкое . ^[3] Например, если f — морфизм между гладкими многообразиями , то f факторизуется как , где первое отображение — морфизм графа , и поэтому является полным морфизмом пересечения. Обратите внимание, что это определение совместимо с определением в EGA IV для особого случая плоских морфизмов . ^[4]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y}$${\displaystyle X\to X\times Y\to Y}$

Пусть будет локально-полным-пересечением морфизм, который допускает глобальную факторизацию: это композиция , где является регулярным вложением и гладким морфизмом. Тогда виртуальное касательное расслоение является элементом группы Гротендика векторных расслоений на X, заданным как: ^[5]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y}$${\displaystyle я}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]}$,

где — относительный касательный пучок (который локально свободен, поскольку является гладким), а — нормальный пучок (где — идеальный пучок в ), который локально свободен, поскольку является регулярным вложением.${\displaystyle T_{P/Y}=\Omega _{P/Y}^{\vee }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle я}$

В более общем случае, если — любой локальный полный морфизм пересечения схем, его кокасательный комплекс совершенен с амплитудой Tor [-1,0]. Если, кроме того , локально конечного типа и локально нётеров, то обратное также верно. ^[6]${\displaystyle f\двоеточие X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle L_{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$

Эти понятия используются, например, в теореме Гротендика–Римана–Роха .

SGA 6 Exposé VII использует следующую, немного более слабую форму понятия регулярного вложения, которая согласуется с представленной выше для нётеровых схем:

Во-первых, для проективного модуля E над коммутативным кольцом A , A -линейное отображение называется Кошулем-регулярным , если комплекс Кошуля , определяемый им, ацикличен в размерности > 0 (следовательно, он является разрешением коядра u ). ^[7] Тогда замкнутое погружение называется Кошулем-регулярным, если определяемый им идеальный пучок таков, что локально существуют конечный свободный A -модуль E и Кошулем-регулярная сюръекция из E в идеальный пучок. ^[8]${\displaystyle u:E\to A}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

Именно эта регулярность Кошуля использовалась в SGA 6 ^[9] для определения локальных морфизмов полного пересечения; там указано, что регулярность Кошуля была призвана заменить определение, данное ранее в этой статье и первоначально появившееся в уже опубликованном EGA IV. ^[10]

(Этот вопрос возникает, поскольку обсуждение делителей нуля для ненётеровых колец является сложным, поскольку нельзя использовать теорию ассоциированных простых чисел.)

• Регулярное подмногообразие

• Бертло, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8. МР  0354655.
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323, раздел Б.7
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Quatrième partie». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5– 361. doi : 10.1007/bf02732123. МР  0238860., раздел 16.9, стр. 46
• Иллюзи, Люк (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Конспекты лекций по математике 239 (на французском языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
• Сернеси, Эдоардо (2006). Деформации алгебраических схем. Физика-Верлаг. ISBN 9783540306153.