Теорема Рибета

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Февраль 2022 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Теорема Рибета» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Теорема Рибета (ранее называвшаяся гипотезой эпсилон или ε-гипотезой ) является частью теории чисел . Она касается свойств представлений Галуа , связанных с модулярными формами . Она была предложена Жан-Пьером Серром и доказана Кеном Рибетом . Доказательство стало значительным шагом на пути к доказательству Великой теоремы Ферма (ВТФ). Как показали Серр и Рибет, гипотеза Таниямы–Шимуры (статус которой в то время был неопределенным) и гипотеза эпсилон вместе подразумевают, что ВТФ истинна.

В математическом смысле теорема Рибета показывает, что если представление Галуа, связанное с эллиптической кривой, имеет определенные свойства, то эта кривая не может быть модульной (в том смысле, что не может существовать модульной формы, которая порождает то же самое представление). ^[1]

Пусть f будет весом 2 newform на Γ ₀ ( qN ) – т.е. уровня qN , где q не делит N – с абсолютно неприводимым 2-мерным mod p представлением Галуа ρ _{f,p ,} неразветвленным в q , если q ≠ p и конечным плоским в q = p . Тогда существует вес 2 newform g уровня N такой, что

${\displaystyle \rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.}$

В частности, если E — эллиптическая кривая над с проводником qN , то теорема о модулярности гарантирует, что существует вес 2 newform f уровня qN такой, что двумерное mod p представление Галуа ρ _{f, p} функции f изоморфно двумерному mod p представлению Галуа ρ _{E, p} функции E . Чтобы применить теорему Рибета к ρ _{E , p} , достаточно проверить неприводимость и ветвление ρ _{E, p} . Используя теорию кривой Тейта , можно доказать, что ρ _{E, p} неразветвлена ​​при q ≠ p и конечно плоская при q = p , если p делит степень, в которой q появляется в минимальном дискриминанте Δ _E . Тогда теорема Рибета подразумевает, что существует вес 2 newform g уровня N такой, что ρ _{g , p} ≈ ρ _{E , p} .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теорема Рибета утверждает, что начало с эллиптической кривой E проводника qN не гарантирует существование эллиптической кривой E ′ уровня N такой, что ρ _{E, p} ≈ ρ _{E ′ , p} . Новая форма g уровня N может не иметь рациональных коэффициентов Фурье и, следовательно, может быть связана с абелевым многообразием более высокой размерности , а не с эллиптической кривой. Например, эллиптическая кривая 4171a1 в базе данных Кремоны, заданная уравнением

${\displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595}$

с проводником 43 × 97 и дискриминантом 43 ⁷ × 97 ³ не понижает уровень mod 7 до эллиптической кривой проводника 97. Вместо этого представление Галуа mod p изоморфно представлению Галуа mod p иррациональной новой формы g уровня 97.

Однако для p , достаточно большого по сравнению с уровнем N пониженной по уровню новой формы, рациональная новая форма (например, эллиптическая кривая) должна понизиться по уровню до другой рациональной новой формы (например, эллиптической кривой). В частности, для p ≫ N ^{N 1+ ε} , представление mod p Галуа рациональной новой формы не может быть изоморфным иррациональной новой форме уровня N . ^[2]

Аналогично, гипотеза Фрея- Мазура предсказывает, что для достаточно больших p (независимо от проводника N ) эллиптические кривые с изоморфными mod p представлениями Галуа на самом деле изогенны и, следовательно, имеют один и тот же проводник. Таким образом, нетривиальное понижение уровня между рациональными новыми формами не предсказывается для больших p ( p > 17) .

В своей диссертации Ив Хеллегуарх  [fr] выдвинул идею ассоциирования решений ( a , b , c ) уравнения Ферма с другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[3] Если p — нечетное простое число, а a , b и c — положительные целые числа, такие что

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p},}$

тогда соответствующая кривая Фрея является алгебраической кривой, заданной уравнением

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{p})(x+b^{p}).}$

Это неособая алгебраическая кривая рода один, определенная над , а ее проективное пополнение является эллиптической кривой над .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В 1982 году Герхард Фрей обратил внимание на необычные свойства той же кривой, теперь называемой кривой Фрея . ^[4] Это обеспечило мост между Ферма и Таниямой , показав, что контрпример к FLT создаст кривую, которая не будет модулярной. Гипотеза привлекла значительный интерес, когда Фрей предположил, что гипотеза Таниямы–Шимуры подразумевает FLT. Однако его аргумент не был полным. ^[5] В 1985 году Жан-Пьер Серр предположил, что кривая Фрея не может быть модулярной, и предоставил частичное доказательство. ^{[6] [7]} Это показало, что доказательство полустабильного случая гипотезы Таниямы–Шимуры будет подразумевать FLT. Серр не предоставил полного доказательства, и недостающий бит стал известен как гипотеза эпсилон или ε-гипотеза. Летом 1986 года Кеннет Алан Рибет доказал гипотезу эпсилон, тем самым доказав, что теорема о модулярности подразумевает FLT. ^[8]

Название происходит от ε-части формулы «гипотеза Таниямы-Шимуры + ε ⇒ Последняя теорема Ферма».

Предположим, что уравнение Ферма с показателем p ≥ 5 ^[8] имеет решение в ненулевых целых числах a , b , c . Соответствующая кривая Фрея E _{a ^p , b ^p , c ^p} является эллиптической кривой, минимальный дискриминант Δ которой равен 2 ⁻⁸ ( abc ) ^{2 p} , а кондуктор N является радикалом abc , т. е. произведением всех различных простых чисел, делящих abc . Элементарное рассмотрение уравнения a ^p + b ^p = c ^p делает ясным, что одно из a , b , c является четным , а значит , и N . По гипотезе Таниямы–Шимуры E является модулярной эллиптической кривой. Так как все нечетные простые числа, делящие a , b , c в N , появляются в p -й степени в минимальном дискриминанте Δ , по теореме Рибета повторный спуск по модулю p удаляет все нечетные простые числа из проводника. Однако никаких новых форм уровня 2 не остается, поскольку род модулярной кривой X 0 ₍ 2) равен нулю (а новые формы уровня N являются дифференциалами на X ₀ ( N )) .

• ABC-гипотеза
• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

1. ^ "Доказательство Великой теоремы Ферма". 2008-12-10. Архивировано из оригинала 2008-12-10.
2. ^ Силлиман, Джесси; Фогт, Изабель (2015). «Степени в последовательностях Люка через представления Галуа». Труды Американского математического общества . 143 (3): 1027– 1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1. MR  3293720. S2CID  16892383. 
3. ^ Хеллегуарх, Ив (1972). «Эллиптический Курб и уравнение Ферма». Докторская диссертация . БнФ  359121326.
4. ^ Фрей, Герхард (1982), «Обоснование Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven» [Рациональные точки на кривых Ферма и скрученных модульных кривых], Дж. Рейне Ангью. Математика. (на немецком языке), 1982 (331): 185–191 , doi : 10.1515/crll.1982.331.185, MR  0647382, S2CID  118263144 .
5. ^ Фрей, Герхард (1986), "Связи между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями", Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN  0933-8268, MR  0853387
6. ^ Serre, J.-P. (1987), "Lettre à J.-F. Mestre [Письмо Ж.-Ф. Местре]", Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Arcata, Calif., 1985) , Contemporary Mathematics (на французском языке), т. 67, Providence, RI: American Mathematical Society, стр.  263–268 , doi :10.1090/conm/067/902597, ISBN 9780821850749, МР  0902597
7. ^ Серр, Жан-Пьер (1987), «Sur les representation modulaires de degré 2 de Gal ( Q / Q )», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230 , doi : 10.1215/S0012-7094-87- 05413-5, ISSN  0012-7094, МР  0885783
8. ^ ab Ribet, Ken (1990). "О модулярных представлениях Gal(Q/Q), возникающих из модулярных форм" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431– 476. Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. MR  1047143. S2CID  120614740.

• Кеннет Рибет, От гипотезы Таниямы-Шимуры к последней теореме Ферма. Анналы факультета наук Тулузы Сер. 5, 11 нет. 1 (1990), с. 116–139.
• Эндрю Уайлс (май 1995 г.). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443– 551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559.
• Ричард Тейлор и Эндрю Уайлс (май 1995 г.). «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 553– 572. CiteSeerX  10.1.1.128.531 . doi :10.2307/2118560. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118560. OCLC  37032255. Zbl  0823.11030.
• Кривая Фрея и теорема Рибета

• Кен Рибет и Великая теорема Ферма Кевина Баззарда 28 июня 2008 г.