Проводник эллиптической кривой

В математике кондуктор эллиптической кривой над полем рациональных чисел (или, в более общем смысле, локальным или глобальным полем ) — это интегральный идеал , аналогичный кондуктору Артина представления Галуа . Он задаётся как произведение простых идеалов вместе с соответствующими показателями, которые кодируют ветвление в расширениях поля , порожденных точками конечного порядка в групповом законе эллиптической кривой . Простые числа, входящие в кондуктор, — это в точности простые числа плохой редукции кривой: это критерий Нерона–Огга–Шафаревича .

Формула Огга выражает проводник через дискриминант и число компонентов специального волокна над локальным полем, которое можно вычислить с помощью алгоритма Тейта .

Проводник эллиптической кривой над локальным полем был неявно изучен (но не назван) Оггом (1967) в форме целочисленного инварианта ε+δ, который позже оказался показателем проводника.

Проводник эллиптической кривой над рациональными числами был введен и назван Вейлем (1967) как константа, появляющаяся в функциональном уравнении ее L-серии , аналогично тому, как проводник глобального поля появляется в функциональном уравнении его дзета-функции. Он показал, что его можно записать как произведение над простыми числами с показателями, заданными порядком (Δ) − μ + 1, что по формуле Огга равно ε+δ. Аналогичное определение работает для любого глобального поля. Вейль также предположил, что проводник равен уровню модулярной формы, соответствующей эллиптической кривой.

Серр и Тейт (1968) распространили теорию на проводники абелевых многообразий .

Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над локальным полем K , а p — простой идеал кольца целых чисел K. Рассмотрим минимальное уравнение для E : обобщенное уравнение Вейерштрасса , коэффициенты которого являются p -целыми и с минимально возможной оценкой дискриминанта ν _p (Δ). Если дискриминант — p -единица, то E имеет хорошую редукцию в p , а показатель кондуктора равен нулю.

Мы можем записать показатель f проводника как сумму ε + δ двух членов, соответствующих ручному и дикому ветвлению. Часть ручного ветвления ε определяется в терминах типа редукции: ε=0 для хорошей редукции, ε=1 для мультипликативной редукции и ε=2 для аддитивной редукции. Член дикого ветвления δ равен нулю, если только p не делит 2 или 3, и в последних случаях он определяется в терминах дикого ветвления расширений K точками деления E по формуле Серра

${\displaystyle \delta =\dim _{Z/lZ}{\text{Hom}}_{Z_{l}[G]}(P,M).}$

Здесь M — группа точек на эллиптической кривой порядка l для простого числа l , P — представление Свана , а G — группа Галуа конечного расширения K, такого, что точки M определены над ним (так что G действует на M ).

Показатель степени проводника связан с другими инвариантами эллиптической кривой формулой Огга:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }=\nu _ {\mathbf {p} }(\Delta)+1-n\,}$

где n — число компонентов (без учета кратностей) единичного волокна минимальной модели Нерона для E. (Иногда это используется как определение проводника).

Первоначальное доказательство Огга использовало много проверок по каждому случаю, особенно в характеристиках 2 и 3. Сайто (1988) дал единообразное доказательство и обобщил формулу Огга на более общие арифметические поверхности.

Мы также можем описать ε в терминах оценки j-инварианта ν _p ( j ): он равен 0 в случае хорошей редукции; в противном случае он равен 1, если ν _p ( j ) < 0, и 2, если ν _p ( j ) ≥ 0.

Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над числовым полем K. Глобальный проводник — это идеал, заданный произведением простых чисел K

${\ displaystyle f (E) = \ prod _ {\ mathbf {p} } \ mathbf {p} ^ {f _ {\ mathbf {p} }} \ .}$

Это конечное произведение, поскольку простые числа плохой редукции содержатся в наборе простых делителей дискриминанта любой модели для E с глобальными интегральными коэффициентами.

• Кремона, Джон (1997). Алгоритмы для модулярных эллиптических кривых (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
• Husemöller, Dale (2004). Эллиптические кривые . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
• Нерон, Андре (1964), «Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux», Publications Mathématiques de l'IHÉS (на французском языке), 21 : 5–128, doi : 10.1007/BF02684271, ISSN  1618-1913, MR  0179172, S2CID  120802890, Збл  0132.41403
• Огг, AP (1967), «Эллиптические кривые и дикое ветвление», American Journal of Mathematics , 89 (1): 1–21, doi : 10.2307/2373092, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373092, MR  0207694, Zbl  0147.39803
• Сайто, Такеши (1988), «Проводник, дискриминант и формула Нётер арифметических поверхностей», Duke Math. J. , 57 (1): 151–173, doi :10.1215/S0012-7094-88-05706-7, MR  0952229
• Серр, Жан-Пьер ; Тейт, Джон (1968), «Хорошая редукция абелевых многообразий», Annals of Mathematics , вторая серия, 88 (3): 492–517, doi :10.2307/1970722, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970722, MR  0236190, Zbl  0172.46101
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Продвинутые темы арифметики эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics. Том 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
• Сильверман, Джозеф Х.; Тейт , Джон (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
• Джон Тейт (1974). «Арифметика эллиптических кривых». Inventiones Mathematicae . 23 (3–4): 179–206. doi :10.1007/BF01389745. S2CID  120008651. Zbl  0296.14018.
• Вейль, Андре (1967), «Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen», Math. Энн. , 168 : 149–156, doi : 10.1007/BF01361551, MR  0207658, S2CID  120553723

• Данные эллиптических кривых - таблицы эллиптических кривых над Q , перечисленные кондуктором, вычисленные Джоном Кремоной