Подмногообразие

В математике подмногообразие многообразия — это подмножество , которое само имеет структуру многообразия и для которого отображение включения удовлетворяет определенным свойствам. Существуют различные типы подмногообразий в зависимости от того, какие именно свойства требуются. Разные авторы часто дают разные определения.${\displaystyle М}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\rightarrow M}$

Далее мы предполагаем, что все многообразия являются дифференцируемыми многообразиями класса для фиксированного , а все морфизмы дифференцируемы класса . ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle C^{r}}$

Погруженное подмногообразие многообразия является образом отображения погружения ; в общем случае это изображение не будет подмногообразием как подмножество, а отображение погружения даже не обязательно должно быть инъективным (один к одному) — оно может иметь самопересечения. ^[1]${\displaystyle М}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

Более узко, можно потребовать, чтобы отображение было инъекцией (один к одному), в этом случае мы называем это инъективным погружением , и определить погруженное подмногообразие как подмножество образа вместе с топологией и дифференциальной структурой, такими что является многообразием, а включение является диффеоморфизмом : это просто топология на , которая в общем случае не будет согласовываться с топологией подмножества: в общем случае подмножество не является подмногообразием , в топологии подмножества.${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle М}$

При любом инъективном погружении образу в можно однозначно задать структуру погруженного подмногообразия, так что является диффеоморфизмом . Отсюда следует, что погруженные подмногообразия являются в точности образами инъективных погружений.${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$${\displaystyle f:N\rightarrow f(N)}$

Топология подмногообразия на погруженном подмногообразии не обязательно должна быть топологией подпространства, унаследованной от . В общем случае она будет тоньше топологии подпространства (т.е. иметь больше открытых множеств ).${\displaystyle М}$

Погруженные подмногообразия встречаются в теории групп Ли , где подгруппы Ли являются естественно погруженными подмногообразиями. Они также появляются в изучении слоений , где погруженные подмногообразия обеспечивают правильный контекст для доказательства теоремы Фробениуса .

Вложенное подмногообразие ( также называемое регулярным подмногообразием ) — это погруженное подмногообразие, для которого отображение включения является топологическим вложением . То есть топология подмногообразия на совпадает с топологией подпространства.${\displaystyle S}$

При этом любое вложение многообразия в образ естественным образом имеет структуру вложенного подмногообразия. То есть вложенные подмногообразия являются в точности образами вложений.${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$${\displaystyle f(N)}$

Существует внутреннее определение вложенного подмногообразия, которое часто бывает полезным. Пусть будет -мерным многообразием, и пусть будет целым числом, таким что . -мерное вложенное подмногообразие — это подмножество , такое что для каждой точки существует карта, содержащая , такая что является пересечением -мерной плоскости с . Пары образуют атлас для дифференциальной структуры на .${\displaystyle М}$${\displaystyle n}$${\displaystyle к}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle к}$${\displaystyle М}$${\displaystyle S\подмножество M}$${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle U\subset M,\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi (S\cap U)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle \varphi (U)}$${\displaystyle (S\cap U,\varphi \vert _{S\cap U})}$${\displaystyle S}$

Теорема Александера и теорема Жордана–Шенфлиса являются хорошими примерами гладких вложений.

В литературе используются и другие вариации подмногообразий. Аккуратное подмногообразие — это многообразие, граница которого совпадает с границей всего многообразия. ^[2] Шарп (1997) определяет тип подмногообразия, который лежит где-то между вложенным подмногообразием и погруженным подмногообразием.

Многие авторы также определяют топологические подмногообразия. Они совпадают с подмногообразиями с . ^[3] Вложенное топологическое подмногообразие не обязательно является регулярным в смысле существования локальной карты в каждой точке, расширяющей вложение. Контрпримерами являются дикие дуги и дикие узлы .${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r=0}$

При наличии любого погруженного подмногообразия касательное пространство к точке в можно естественным образом рассматривать как линейное подпространство касательного пространства к в . Это следует из того факта, что отображение включения является погружением и обеспечивает инъекцию${\displaystyle S}$${\displaystyle М}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.}$

Предположим, что S — погруженное подмногообразие . Если отображение включения замкнуто , то на самом деле является вложенным подмногообразием . Наоборот, если — вложенное подмногообразие, которое также является замкнутым подмножеством , то отображение включения замкнуто. Отображение включения замкнуто тогда и только тогда, когда оно является собственным отображением (т. е. прообразы компактных множеств компактны). Если замкнуто, то называется замкнутым вложенным подмногообразием . Замкнутые вложенные подмногообразия образуют самый хороший класс подмногообразий.${\displaystyle M}$${\displaystyle i:S\to M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i:S\to M}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

Гладкие многообразия иногда определяются как вложенные подмногообразия действительного координатного пространства , для некоторых . Эта точка зрения эквивалентна обычному, абстрактному подходу, поскольку, по теореме Уитни о вложении , любое гладкое (абстрактное) -многообразие со счетной второй степенью может быть гладко вложено в .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$

• Шоке-Брюа, Ивонн (1968). Различная геометрия и внешние системы . Париж: Дюнод.
• Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Graduate Texts in Mathematics 218. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-95495-3.
• Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90894-3.