Дикая дуга

Вложение единичного интервала в трехмерную окружающую изотопию, не эквивалентную отрезку прямой

В геометрической топологии дикая дуга — это вложение единичного интервала в трехмерное пространство, не эквивалентное обычному в том смысле, что не существует окружающей изотопии, переводящей дугу в отрезок прямой линии.

Антуан (1920) нашел первый пример дикой дуги. Фокс и Артин (1948) нашли другой пример, названный дугой Фокса-Артина , дополнение которой не является просто связным .

Дуги Фокса-Артина

Две очень похожие дикие дуги появляются в статье Fox & Artin (1948). Пример 1.1 (стр. 981) чаще всего называют дикой дугой Fox-Artin. Скрещивания имеют регулярную последовательность over/over/under/over/under/under при следовании кривой слева направо.

Левая конечная точка 0 замкнутого единичного интервала отображается дугой в левую предельную точку кривой, а 1 отображается в правую предельную точку. Диапазон дуги лежит в евклидовом пространстве или 3-сфере . $[0,1]$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$

Вариант дуги Фокса-Артина

Пример 1.1* имеет последовательность перекрещивания над/под/над/под/над/под. Согласно Фоксу и Артину (1948), стр. 982: «Это просто цепочка петель вязания , бесконечно расширенная в обоих направлениях».

Эту дугу невозможно непрерывно деформировать, чтобы получить Пример 1.1 в или , несмотря на ее схожий внешний вид. $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} — Дикая дуга Фокса–Артина (пример 1.1*), лежащая в изображена в виде узловой диаграммы . Обратите внимание, что каждый «хвост» дуги сходится к точке. $\mathbb {R} ^{3}$

Здесь также показан альтернативный стиль диаграммы для дуги в примере 1.1*.

Смотрите также

Дальнейшее чтение

Антуан, Л. (1920), «Sur la possibilité d'étendre l'homéomorphie de deuxfigures à leurs voisinages», CR Acad. наук. Париж (на французском языке), 171 :661.
Фокс, Ральф Х.; Харрольд, О.Г. (1962), «Дуги Уайлдера», Топология 3-многообразий и смежные темы (Труды Института Университета Джорджии, 1961) , Prentice Hall , стр. 184–187, MR 0140096
Фокс, Ральф Х.; Артин , Эмиль (1948), «Некоторые дикие ячейки и сферы в трехмерном пространстве», Annals of Mathematics , вторая серия, 49 (4): 979–990, doi :10.2307/1969408, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969408, MR 0027512
Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология . Дувр. стр. 176–177. ISBN 0-486-65676-4.
Макферсон, Джеймс М. (1973), «Дикие дуги в трехмерном пространстве. I. Семейства дуг Фокса–Артина», Pacific Journal of Mathematics , 45 (2): 585–598, doi : 10.2140/pjm.1973.45.585 , ISSN 0030-8730, MR 0343276