Система факторизации

В математике можно показать, что каждая функция может быть записана как композиция сюръективной функции, за которой следует инъективная функция. Системы факторизации являются обобщением этой ситуации в теории категорий .

Система факторизации ( E , M ) для категории C состоит из двух классов морфизмов E и M категории C, таких что:

1. E и M оба содержат все изоморфизмы C и замкнуты относительно композиции.
2. Каждый морфизм f из C можно разложить на множители для некоторых морфизмов и .${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M}$
3. Факторизация является функториальной : если и — два морфизма, такие что для некоторых морфизмов и , то существует единственный морфизм, делающий следующую диаграмму коммутативной :${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vme=m'e'u}$${\displaystyle e,e'\in E}$${\displaystyle м,м'\in М}$${\displaystyle w}$

Замечание: является морфизмом из в в категории стрелок .${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle я}$${\displaystyle м'е'}$

Два морфизма и называются ортогональными , что обозначается как , если для каждой пары морфизмов и таких, что существует единственный морфизм, такой что диаграмма${\displaystyle е}$${\displaystyle м}$${\displaystyle e\downarrow m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle ve=мю}$${\displaystyle w}$

коммутирует. Это понятие можно расширить, чтобы определить ортогоналы множеств морфизмов с помощью

${\displaystyle H^{\uparrow }=\{e\quad |\quad \forall h\in H,e\downarrow h\}}$и${\displaystyle H^{\downarrow }=\{m\quad |\quad \forall h\in H,h\downarrow m\}.}$

Поскольку в системе факторизации содержатся все изоморфизмы, условие (3) определения эквивалентно${\displaystyle E\cap M}$

(3') и${\displaystyle E\subseteq M^{\uparrow }}$${\displaystyle M\subseteq E^{\downarrow }.}$

Доказательство: В предыдущей диаграмме (3) возьмите (тождество на соответствующем объекте) и .${\displaystyle m:=id,\ e':=id}$${\displaystyle м':=м}$

Пара классов морфизмов C является системой факторизации тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle (Э,М)}$

1. Каждый морфизм f из C можно разложить на множители с и${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in М.}$
2. ${\displaystyle E=M^{\uparrow }}$и${\displaystyle M=E^{\downarrow }.}$

Предположим, что e и m — два морфизма в категории C. Тогда e имеет свойство левого подъема относительно m (соответственно m имеет свойство правого подъема относительно e ), когда для каждой пары морфизмов u и v, таких что ve  =  mu, существует морфизм w, такой что следующая диаграмма коммутирует. Разница с ортогональностью заключается в том, что w не обязательно уникален.

Слабая система факторизации ( E , M ) для категории C состоит из двух классов морфизмов E и M категории C, таких что: ^[1]

1. Класс E — это в точности класс морфизмов , обладающих свойством левого подъема относительно каждого морфизма из M.
2. Класс M — это в точности класс морфизмов , имеющих правильное свойство подъема относительно каждого морфизма из E.
3. Каждый морфизм f из C можно разложить на множители для некоторых морфизмов и .${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M}$

Это понятие приводит к краткому определению модельных категорий : модельная категория — это пара, состоящая из категории C и классов (так называемых) слабых эквивалентностей W , расслоений F и корасслоений C , так что

• C имеет все пределы и копределы,

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$является слабой системой факторизации,

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$является слабой системой факторизации, и

• ${\displaystyle W}$удовлетворяет свойству «два из трех»: если и являются компонуемыми морфизмами и два из принадлежат , то и третий тоже. ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$${\displaystyle f,g,g\circ f}$${\displaystyle W}$

Модельная категория — это полная и кополная категория, снабженная модельной структурой. Отображение называется тривиальным расслоением, если оно принадлежит, и называется тривиальным корасслоением, если оно принадлежит Объект называется фибрантным, если морфизм к конечному объекту является расслоением, и называется кофибрантным, если морфизм из исходного объекта является корасслоением. ^[3]${\displaystyle F\cap W,}$${\displaystyle C\cap W.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\rightarrow 1}$${\displaystyle 0\rightarrow X}$

• Риль, Эмили (2008), Системы факторизации (PDF)