Теорема отражения

This article may be confusing or unclear to readers. Please help clarify the article. There might be a discussion about this on the talk page. (February 2010) (Learn how and when to remove this message)

В алгебраической теории чисел теорема об отражении или Spiegelungssatz ( нем. reflectory Theorem – см. Spiegel and Satz ) является одной из совокупности теорем, связывающих размеры различных групп идеальных классов (или групп лучевых классов ) или размеры различных изотипических компонентов группы классов. Первоначальный пример принадлежит Эрнсту Эдуарду Куммеру , который показал, что число классов циклотомического поля , где p – простое число, будет делиться на p, если число классов максимального действительного подполя равно p. Другой пример принадлежит Шольцу. ^[1] Упрощенная версия его теоремы гласит, что если 3 делит число классов действительного квадратичного поля , то 3 также делит число классов мнимого квадратичного поля .${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)}$${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {-3d}}\right)}$

Оба приведенных выше результата обобщаются с помощью «Spiegelungssatz» Леопольда , который связывает p-ранги различных изотипных компонент группы классов числового поля, рассматриваемого как модуль над группой Галуа расширения Галуа.

Пусть L / K — конечное расширение Галуа числовых полей с группой G , степень которой проста с p, и L, содержащей корни p -й степени из единицы. Пусть A — p -силовская подгруппа группы классов L. Пусть φ пробегает неприводимые характеры группового кольца Q _p [ G ], и пусть A _φ обозначает соответствующие прямые слагаемые A . Для любого φ пусть q = p ^φ(1) и пусть G -ранг e _φ будет показателем в индексе

${\displaystyle [A_{\phi }:A_{\phi }^{p}]=q^{e_{\phi }}.}$

Пусть ω — характер группы G.

${\displaystyle \zeta ^{g}=\zeta ^{\omega (g)}{\text{ for }}\zeta \in \mu _{p}.}$

Отражение ( Spiegelung ) φ ^* определяется формулой

${\displaystyle \phi ^{*}(g)=\omega (g)\phi (g^{-1}).}$

Пусть E — единичная группа K. Мы говорим, что ε является «первичной», если неразветвленной, и пусть E ₀ обозначает группу первичных единиц по модулю E ^p . Пусть δ _φ обозначает G -ранг φ-компоненты E ₀ .${\displaystyle K({\sqrt[{p}]{\epsilon }})/K}$

В Spiegelungssatz говорится, что

${\displaystyle |e_{\phi ^{*}}-e_{\phi }|\leq \delta _{\phi }.}$

Расширения этого Spiegelungssatz были даны Ориа и Ориа-Сатге, где группы классов больше не ассоциировались с характерами группы Галуа K / k , а скорее с идеалами в групповом кольце над группой Галуа K / k . Spiegelungssatz Леопольда был обобщен в другом направлении Куродой, который расширил его до утверждения о группах классов лучей . Это было далее развито в очень общую « теорему отражения T - S » Жоржа Гра. ^[2] Кенкичи Ивасава также предоставил теорему отражения , основанную на теории Ивасавы .

• Кох, Хельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag . С. 147–149. ISBN 3-540-63003-1. Збл  0819.11044.