Идеальная теория

В математике идеальная теория — это теория идеалов в коммутативных кольцах . Хотя понятие идеала существует также для некоммутативных колец , гораздо более существенная теория существует только для коммутативных колец (и поэтому в этой статье рассматриваются только идеалы в коммутативных кольцах).

В статьях кольца относятся к коммутативным кольцам. См. также статью идеал (теория колец) для основных операций, таких как сумма или произведение идеалов.

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Май 2022 )

Идеалы в конечно порожденной алгебре над полем (то есть, фактор кольца многочленов над полем) ведут себя несколько лучше, чем в общем коммутативном кольце. Во-первых, в отличие от общего случая, если — конечно порожденная алгебра над полем, то радикал идеала в — это пересечение всех максимальных идеалов, содержащих идеал (потому что — кольцо Джекобсона ). Это можно рассматривать как расширение Nullstellensatz Гильберта , которое касается случая, когда — кольцо многочленов.${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

Если I — идеал в кольце A , то он определяет топологию на A , где подмножество U кольца A открыто, если для каждого x из U

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

для некоторого целого числа . Эта топология называется I -адической топологией. Она также называется a -адической топологией, если порождается элементом .${\displaystyle n>0}$${\displaystyle I=aA}$${\displaystyle а}$

Например, возьмем , кольцо целых чисел и идеал, порожденный простым числом p . Для каждого целого числа , определим, когда , простое число . Тогда, очевидно,${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$${\displaystyle I=pA}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$${\displaystyle x=p^{n}y}$${\displaystyle у}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

где обозначает открытый шар радиуса с центром . Следовательно, -адическая топология на совпадает с топологией метрического пространства, заданной . Как метрическое пространство, может быть дополнено . Полученное полное метрическое пространство имеет структуру кольца, которое расширило кольцевую структуру ; это кольцо обозначается как и называется кольцом p -адических целых чисел .${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |zx|_{p}<r\}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle d(x,y)=|xy|_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

В дедекиндовой области A (например, кольце целых чисел в числовом поле или координатном кольце гладкой аффинной кривой) с полем дробей идеал обратим в том смысле, что существует дробный идеал (то есть A -подмодуль ) такой, что , где произведение слева является произведением подмодулей K . Другими словами, дробные идеалы образуют группу относительно произведения. Фактор группы дробных идеалов по подгруппе главных идеалов тогда является группой классов идеалов A .${\displaystyle К}$${\displaystyle Я}$ ${\displaystyle Я^{-1}}$${\displaystyle К}$${\displaystyle Я\,Я^{-1}=А}$

В общем кольце идеал может быть необратимым (фактически, уже само определение дробного идеала неясно). Однако над нётеровой областью целостности всё ещё возможно развить некоторую теорию, обобщающую ситуацию в дедекиндовых областях. Например, гл. VII « Алгебры коммутативной» Бурбаки даёт такую ​​теорию.

Идеальная группа классов A , когда ее можно определить, тесно связана с группой Пикара спектра A (часто эти две группы совпадают, например, для областей Дедекинда ) .

В алгебраической теории чисел, особенно в теории полей классов , удобнее использовать обобщение группы идеальных классов, называемое группой классов иделей .

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Май 2022 )

Существует несколько операций над идеалами, которые играют роль замыканий. Самая простая из них — радикал идеала . Другая — целочисленное замыкание идеала . При наличии неизбыточного первичного разложения пересечение ' , радикалы которых минимальны (не содержат радикалов других ' ), однозначно определяется ; это пересечение затем называется несмешанной частью . Это также операция замыкания.${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle Q_{j}}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я}$

Если заданы идеалы в кольце , то идеал${\displaystyle I,J}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

называется насыщением относительно и является операцией замыкания (это понятие тесно связано с изучением локальных когомологий).${\displaystyle Я}$${\displaystyle J}$

См. также плотное закрытие .

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Декабрь 2019 )

Локальные когомологии иногда можно использовать для получения информации об идеале. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Пусть будет модулем над кольцом и идеалом. Тогда определяет пучок на (ограничение на Y пучка, ассоциированного с M ). Раскручивая определение, видим:${\displaystyle М}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle М}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y, {\widetilde {M}}) = \varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

Здесь называется идеальным преобразованием относительно . ^[ необходима ^{цитата ]}${\displaystyle \Гамма _{I}(М)}$${\displaystyle М}$${\displaystyle Я}$

• Система параметров

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Хунеке, Крейг; Свонсон, Ирена (2006), Целостное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, том 336, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, заархивировано из оригинала 2019-11-15 , извлечено 2019-11-15