Теорема устойчивости Риба

В математике теорема об устойчивости Риба , названная в честь Жоржа Риба , утверждает , что если один слой слоения коразмерности один замкнут и имеет конечную фундаментальную группу , то все слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу .

Теорема: ^[1] Пусть будет , коразмерным слоением многообразия и компактным слоем с конечной группой голономии . Существует окрестность , насыщенная в (также называемая инвариантной) , в которой все слои компактны с конечными группами голономии. Далее, мы можем определить ретракцию так , что для каждого слоя , является накрывающим отображением с конечным числом слоев и для каждого , гомеоморфно диску размерности k и трансверсально . Окрестность можно считать сколь угодно малой .${\displaystyle F}$${\displaystyle С^{1}}$${\displaystyle к}$ ${\displaystyle М}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pi :U\to L}$${\displaystyle L'\subset U}$${\displaystyle \pi |_{L'}:L'\to L}$${\displaystyle y\in L}$${\displaystyle \пи ^{-1}(y)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$

Последнее утверждение означает, в частности, что в окрестности точки, соответствующей компактному листу с конечной голономией, пространство листов является хаусдорфовым . При определенных условиях теорема Риба о локальной устойчивости может заменить теорему Пуанкаре–Бендиксона в более высоких размерностях. ^[2] Это случай коразмерности один, сингулярных слоений , с , и некоторой особенностью типа центра в .${\displaystyle (М^{н},Ж)}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle Петь(F)}$

Теорема Риба о локальной устойчивости также имеет версию для некомпактного листа коразмерности 1. ^{[3] [4]}

Важной проблемой теории слоений является изучение влияния компактного листа на глобальную структуру слоения . Для некоторых классов слоений это влияние существенно.

Теорема: ^[1] Пусть будет , коразмерностью один слоение замкнутого многообразия . Если содержит компактный слой с конечной фундаментальной группой , то все слои компактны, с конечной фундаментальной группой. Если трансверсально ориентируемо , то каждый слой диффеоморфен ; является тотальным пространством расслоения над , со слоем , и является слоением слоя .${\displaystyle F}$${\displaystyle С^{1}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$${\displaystyle М}$ ${\displaystyle f:M\to S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \{f^{-1}(\theta )|\theta \in S^{1}\}}$

Эта теорема справедлива даже тогда, когда является слоением многообразия с краем , которое априори касается некоторых компонент края и трансверсально другим компонентам. ^[5] В этом случае это влечет теорему Риба о сфере .${\displaystyle F}$

Теорема Риба о глобальной устойчивости неверна для слоений коразмерности больше единицы. ^[6] Однако для некоторых специальных видов слоений имеют место следующие результаты глобальной устойчивости:

• При наличии определенной поперечной геометрической структуры:

Теорема: ^[7] Пусть — полное конформное слоение коразмерности связного многообразия . Если имеет компактный слой с конечной группой голономии , то все слои компактны с конечной группой голономии.${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k\geq 3}$${\displaystyle М}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

• Для голоморфных слоений в комплексном кэлеровом многообразии :

Теорема: ^[8] Пусть — голоморфное слоение коразмерности в компактном комплексном кэлеровом многообразии . Если имеет компактный слой с конечной группой голономии , то каждый слой компактен с конечной группой голономии.${\displaystyle F}$${\displaystyle к}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

• C. Camacho, A. Lins Neto: Геометрическая теория слоений, Бостон, Birkhauser, 1985
• И. Тамура, Топология слоений: введение, Перевод матем. монографий, AMS, т.97, 2006, 193 с.