Теорема Риба о сфере

В математике теорема о сфере Риба , названная в честь Джорджа Риба , гласит, что

Замкнутое ориентированное связное многообразие M ⁿ , допускающее сингулярное слоение, имеющее только центры, гомеоморфно сфере S ^{n ,} и слоение имеет ровно две сингулярности. 

Особенность слоения F имеет тип Морса , если в его малой окрестности все слои слоения являются уровнями функции Морса , причем особенность является критической точкой функции. Особенность является центром , если она является локальным экстремумом функции; в противном случае особенность является седлом .

Число центров c и , в частности , число седел тесно связаны с топологией многообразия.${\displaystyle с}$${\displaystyle cs}$

Обозначим , индекс особенности , где k — индекс соответствующей критической точки функции Морса. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла не менее 1.${\displaystyle \operatorname {ind} p=\min(k,nk)}$${\displaystyle p}$

Слоение Морса F на многообразии M — это сингулярное трансверсально ориентированное слоение коразмерности один класса с изолированными особенностями, такое что:${\displaystyle С^{2}}$

• каждая особенность F имеет тип Морса,
• каждый особый лист L содержит уникальную особенность  p ; кроме того, если то не является связным.${\displaystyle \operatorname {ind} p=1}$${\displaystyle L\setminus p}$

Это тот случай , когда нет седел.${\displaystyle с>с=0}$

Теорема: ^[1] Пусть — замкнутое ориентированное связное многообразие размерности . Предположим, что допускает -трансверсально ориентированное слоение коразмерности один с непустым множеством особенностей, все из которых являются центрами. Тогда особое множество состоит из двух точек и гомеоморфно сфере${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle С^{1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle S^{n}}$ .

Это следствие теоремы Риба об устойчивости .

Более общий случай:${\displaystyle c>s\geq 0.}$

В 1978 году Эдвард Вагнер обобщил теорему о сфере Риба на слоения Морса с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком большим по сравнению с числом седел, в частности, . Таким образом, существует ровно два случая, когда :${\displaystyle c\leq s+2}$${\displaystyle c>с}$

(1) ${\displaystyle c=s+2,}$

(2) ${\displaystyle c=s+1.}$

Он получил описание многообразия, допускающего слоение с особенностями, удовлетворяющими (1).

Теорема: ^[2] Пусть — компактное связное многообразие, допускающее слоение Морса с центрами и седлами. Тогда . ${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle с}$${\displaystyle с}$${\displaystyle c\leq s+2}$ В случае ,${\displaystyle c=s+2}$

• ${\displaystyle М}$гомеоморфен ,${\displaystyle S^{n}}$
• все седла имеют индекс 1,
• каждый правильный лист диффеоморфен .${\displaystyle S^{n-1}}$

Наконец, в 2008 году Сесар Камачо и Бруно Скардуа рассмотрели случай (2). Это возможно в небольшом числе низких измерений.${\displaystyle c=s+1}$

Теорема: ^[3] Пусть — компактное связное многообразие и слоение Морса на . Если , то${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle М}$${\displaystyle s=c+1}$

• ${\displaystyle n=2,4,8}$или ,${\displaystyle 16}$
• ${\displaystyle М^{н}}$является многообразием Иллса–Койпера .

• Теорема сферы Риба на nLab