Теорема Рамсея

В комбинаторике теорема Рамсея в одной из своих теоретико-графовых форм утверждает, что можно найти одноцветные клики в любой маркировке ребер (цветами) достаточно большого полного графа . Чтобы продемонстрировать теорему для двух цветов (скажем, синего и красного), пусть r и s будут любыми двумя положительными целыми числами . ^[a] Теорема Рамсея утверждает, что существует наименьшее положительное целое число R ( r , s ), для которого каждая сине-красная раскраска ребер полного графа на R ( r , s ) вершинах содержит синюю клику на r вершинах или красную клику на s вершинах. (Здесь R ( r , s ) обозначает целое число, которое зависит как от r , так и от s .)

Теорема Рамсея является основополагающим результатом в комбинаторике. Первая версия этого результата была доказана Фрэнком Рамсеем . Это положило начало комбинаторной теории, которая теперь называется теорией Рамсея и ищет регулярность среди беспорядка: общие условия для существования подструктур с регулярными свойствами. В этом приложении речь идет о существовании монохроматических подмножеств , то есть подмножеств связанных ребер только одного цвета.

Расширение этой теоремы применимо к любому конечному числу цветов, а не только к двум. Точнее, теорема утверждает, что для любого заданного числа цветов c и любых заданных целых чисел n ₁ , …, n _c существует число R ( n ₁ , …, n _c ) такое, что если ребра полного графа порядка R ( n ₁ , …, n _c ) раскрашены в c различных цветов, то для некоторого i между 1 и c он должен содержать полный подграф порядка n _{i ,} все ребра которого имеют цвет i . В частном случае выше c = 2 (и n ₁ = r и n ₂ = s ).

Предположим, что ребра полного графа на 6 вершинах окрашены в красный и синий цвета. Выберите вершину v . Имеется 5 ребер, инцидентных v , и поэтому (по принципу ящика ) по крайней мере 3 из них должны быть одного цвета. Без потери общности мы можем предположить, что по крайней мере 3 из этих ребер, соединяющих вершину v с вершинами r , s и t , являются синими. (Если нет, поменяйте местами красный и синий в дальнейшем.) Если какие-либо из ребер, ( rs ) , ( rt ) , ( st ) , также являются синими, то мы имеем полностью синий треугольник. Если нет, то все эти три ребра красные, и мы имеем полностью красный треугольник. Поскольку это рассуждение работает для любой раскраски, любой K ₆ содержит одноцветный K ₃ , и поэтому R (3, 3) ≤ 6 . Популярная версия этого называется теоремой о друзьях и незнакомцах .

Альтернативное доказательство работает с помощью двойного подсчета . Оно выглядит следующим образом: подсчитайте количество упорядоченных троек вершин x , y , z , таких, что ребро ( xy ) красное, а ребро ( yz ) синее. Во-первых, любая заданная вершина будет серединой либо 0 × 5 = 0 (все ребра из вершины одного цвета), 1 × 4 = 4 (четыре одного цвета, одно другого цвета) или 2 × 3 = 6 (три одного цвета, два другого цвета) таких троек. Следовательно, существует не более 6 × 6 = 36 таких троек. Во-вторых, для любого неодноцветного треугольника ( xyz ) существует ровно две такие тройки. Следовательно, существует не более 18 неодноцветных треугольников. Следовательно, по крайней мере 2 из 20 треугольников в K ₆ являются одноцветными.

Наоборот, можно раскрасить K ₅ в 2 цвета , не создавая ни одного монохромного K ₃ , показывая, что R (3, 3) > 5 . Уникальная раскраска ^[b] показана справа. Таким образом, R (3, 3) = 6 .

Задача доказательства того, что R (3, 3) ≤ 6, была одной из задач математического конкурса Уильяма Лоуэлла Патнэма в 1953 году, а также Венгерской математической олимпиады в 1947 году.

Многоцветное число Рамсея — это число Рамсея, использующее 3 или более цветов. Существует (с точностью до симметрии) только два нетривиальных многоцветных числа Рамсея, для которых известно точное значение, а именно R (3, 3, 3) = 17 и R (3, 3, 4) = 30. [ ^1]

Предположим, что у нас есть раскраска ребер полного графа с использованием 3 цветов: красного, зеленого и синего. Предположим далее, что раскраска ребер не имеет одноцветных треугольников. Выберите вершину v . Рассмотрим множество вершин, имеющих красное ребро к вершине v . Это называется красной окрестностью v . Красная окрестность v не может содержать никаких красных ребер, так как в противном случае был бы красный треугольник, состоящий из двух конечных точек этого красного ребра и вершины v . Таким образом, индуцированная раскраска ребер в красной окрестности v имеет ребра, окрашенные только в два цвета, а именно в зеленый и синий. Поскольку R (3, 3) = 6 , красная окрестность v может содержать не более 5 вершин. Аналогично зеленая и синяя окрестности v могут содержать не более 5 вершин каждая. Поскольку каждая вершина, за исключением самой v , находится в одной из красных, зеленых или синих окрестностей v , весь полный граф может иметь не более 1 + 5 + 5 + 5 = 16 вершин. Таким образом, мы имеем R (3, 3, 3) ≤ 17 .

Чтобы увидеть, что R (3, 3, 3) = 17 , достаточно нарисовать раскраску рёбер на полном графе с 16 вершинами в 3 цвета, которая избегает одноцветных треугольников. Оказывается, что существует ровно две таких раскраски на K ₁₆ , так называемые нескрученная и скрученная раскраски. Обе раскраски показаны на рисунках справа, с нескрученной раскраской слева, а скрученной справа.

Если мы выберем любой цвет из нескрученной или скрученной раскраски на K ₁₆ и рассмотрим граф, ребра которого — это именно те ребра, которые имеют указанный цвет, мы получим граф Клебша .

Известно, что существует ровно две раскраски рёбер тремя цветами на K ₁₅ , которые избегают одноцветных треугольников, и которые можно построить, удалив любую вершину из нескрученной и скрученной раскраски на K ₁₆ соответственно.

Известно также, что существует ровно 115 раскрасок ребер тремя цветами на квадрате K ₁₄ , которые позволяют избежать одноцветных треугольников, при условии, что мы считаем раскраски ребер, отличающиеся перестановкой цветов, одинаковыми.

Теорема для случая 2 цветов может быть доказана индукцией по r + s . ^[2] Из определения ясно, что для всех n , R ( n , 2) = R (2, n ) = n . Это начинает индукцию. Мы доказываем, что R ( r , s ) существует, находя для него явную границу. По индуктивному предположению R ( r − 1, s ) и R ( r , s − 1) существуют.

Лемма 1. ${\displaystyle R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1).}$

Доказательство. Рассмотрим полный граф на R ( r − 1, s ) + R ( r , s − 1) вершинах, ребра которого раскрашены в два цвета. Выберите вершину v из графа и разбейте оставшиеся вершины на два множества M и N , так что для каждой вершины w , w принадлежит M , если ребро ( vw ) синее, и w принадлежит N , если ( vw ) красное. Поскольку граф имеет вершины, следует, что либо , либо В первом случае, если M имеет красный K _{s ,} то и исходный граф тоже, и мы закончили. В противном случае M имеет синий K _{r − 1} и, следовательно, имеет синий K _r по определению M . Последний случай аналогичен. Таким образом, утверждение верно, и мы завершили доказательство для 2 цветов.${\displaystyle R(r-1,s)+R(r,s-1)=|M|+|N|+1}$${\displaystyle |M|\geq R(r-1,s)}$${\displaystyle |N|\geq R(r,s-1).}$${\displaystyle M\cup \{v\}}$

В этом двухцветном случае, если R ( r − 1, s ) и R ( r , s − 1) оба четные, неравенство индукции можно усилить до: ^[3]

${\displaystyle R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)-1.}$

Доказательство . Предположим, что p = R ( r − 1, s ) и q = R ( r , s − 1) оба четные. Пусть t = p + q − 1 и рассмотрим двухцветный граф из t вершин. Если d _i — степень i -й вершины в синем подграфе, то по лемме о рукопожатии , четно. Учитывая, что t нечетно, должно быть четное d _i . Предположим без потери общности, что d ₁ четно, а M и N — вершины, инцидентные вершине 1 в синем и красном подграфах соответственно. Тогда и четны. По принципу Пиджеонхола либо либо Поскольку четно, а p – 1 нечетно, первое неравенство можно усилить, так что либо либо Предположим, Тогда либо подграф M имеет красный K _s и доказательство завершено, либо он имеет синий K _{r – 1} , который вместе с вершиной 1 составляет синий K _r . Случай рассматривается аналогично.${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{t}d_{i}}$${\displaystyle |M|=d_{1}}$${\displaystyle |N|=t-1-d_{1}}$${\displaystyle |M|\geq p-1,}$${\displaystyle |N|\geq q.}$${\displaystyle |M|}$${\displaystyle |M|\geq p}$${\displaystyle |N|\geq q.}$${\displaystyle |M|\geq p=R(r-1,s).}$${\displaystyle |N|\geq q=R(r,s-1)}$

Лемма 2. Если c > 2 , то${\displaystyle R(n_{1},\dots ,n_{c})\leq R(n_{1},\dots ,n_{c-2},R(n_{c-1},n_{c})).}$

Доказательство. Рассмотрим полный граф вершин и раскрасим его ребра в c цветов. Теперь «становимся дальтониками» и притворимся, что c − 1 и c имеют один и тот же цвет. Таким образом, граф теперь ( c − 1) -цветный. В силу определения такого графа содержит либо K _{n i ,} монохромно раскрашенный в цвет i для некоторого 1 ≤ i ≤ c − 2, либо K _{R ( n c − 1 , n c )} -цветный в «размытый цвет». В первом случае мы закончили. Во втором случае мы снова прозреваем и видим из определения R ( n _{c − 1} , n _c ) , что у нас должен быть либо ( c − 1) -монохромный K _{n c − 1} , либо c -монохромный K _{n c} . В любом случае доказательство завершено.${\displaystyle R(n_{1},\dots ,n_{c-2},R(n_{c-1},n_{c}))}$${\displaystyle R(n_{1},\dots ,n_{c-2},R(n_{c-1},n_{c})),}$

Из леммы 1 следует, что любое R ( r , s ) конечно. Правая часть неравенства в лемме 2 выражает число Рамсея для c цветов через числа Рамсея для меньшего числа цветов. Следовательно, любое R ( n ₁ , …, n _c ) конечно для любого числа цветов. Это доказывает теорему.

Числа R ( r , s ) в теореме Рамсея (и их расширения на более чем два цвета) известны как числа Рамсея. Число Рамсея R ( m , n ) дает решение задачи о вечеринке, в которой спрашивается минимальное количество гостей R ( m , n ) , которых нужно пригласить, чтобы по крайней мере m знали друг друга или по крайней мере n не знали друг друга. На языке теории графов число Рамсея — это минимальное количество вершин v = R ( m , n ) , такое, что все неориентированные простые графы порядка v содержат клику порядка m или независимое множество порядка n . Теорема Рамсея утверждает, что такое число существует для всех m и n .

По симметрии верно, что R ( m , n ) = R ( n , m ) . Верхняя граница для R ( r , s ) может быть извлечена из доказательства теоремы, а другие аргументы дают нижние границы. (Первая экспоненциальная нижняя граница была получена Полом Эрдёшем с использованием вероятностного метода .) Однако существует огромный разрыв между самыми точными нижними границами и самыми точными верхними границами. Существует также очень мало чисел r и s , для которых мы знаем точное значение R ( r , s ) .

Вычисление нижней границы L для R ( r , s ) обычно требует демонстрации синей/красной раскраски графа K _{L −1} без синего подграфа K _r и красного подграфа K _s . Такой контрпример называется графом Рамсея . Брендан Маккей ведет список известных графов Рамсея. ^[4] Верхние границы часто значительно сложнее установить: нужно либо проверить все возможные раскраски, чтобы подтвердить отсутствие контрпримера, либо представить математический аргумент в пользу его отсутствия.

Эрдёш просит нас представить себе инопланетную силу, намного более могущественную, чем мы, приземлившуюся на Земле и требующую значение R (5, 5), иначе они уничтожат нашу планету. В этом случае, утверждает он, мы должны мобилизовать все наши компьютеры и всех наших математиков и попытаться найти значение. Но предположим, что вместо этого они просят R (6, 6) . В этом случае, считает он, мы должны попытаться уничтожить инопланетян. ^[5]

—  Джоэл Спенсер

Сложной компьютерной программе не нужно просматривать все раскраски по отдельности, чтобы исключить их все; тем не менее, это очень сложная вычислительная задача, с которой существующее программное обеспечение может справиться только на небольших размерах. Каждый полный граф K _n имеет ⁠1/2⁠ n ( n − 1) ребер, поэтому в общей сложности будет c ^{n ( n -1)/2} графов для поиска (для c цветов), если использовать грубую силу. ^[6] Таким образом, сложность поиска всех возможных графов (с помощью грубой силы ) составляет O ( c ^{n 2} ) для c раскрасок и не более чем n узлов.

Ситуация вряд ли улучшится с появлением квантовых компьютеров . Один из самых известных алгоритмов поиска неструктурированных наборов данных демонстрирует только квадратичное ускорение (ср. алгоритм Гровера ) по сравнению с классическими компьютерами, так что время вычислений по-прежнему экспоненциально зависит от числа узлов. ^{[7] [8]}

Как описано выше, R (3, 3) = 6. Легко доказать, что R (4, 2) = 4 , и, в более общем смысле, что R ( s , 2) = s для всех s : граф на s − 1 узлах со всеми ребрами, окрашенными в красный цвет, служит контрпримером и доказывает, что R ( s , 2) ≥ s ; среди раскрасок графа на s узлах раскраска со всеми ребрами, окрашенными в красный цвет, содержит красный подграф с s узлами, а все другие раскраски содержат синий подграф с 2 узлами (то есть пару узлов, соединенных синим ребром).

Используя неравенства индукции и лемму о рукопожатии , можно заключить, что R (4, 3) ≤ R (4, 2) + R (3, 3) − 1 = 9 , и, следовательно, R (4, 4) ≤ R (4, 3) + R (3, 4) ≤ 18. Существует только два графа (4, 4, 16) (то есть 2-раскраски полного графа на 16 узлах без 4-узловых красных или синих полных подграфов) среди 6,4 × ¹⁰²² различных 2-раскрасок 16-узловых графов, и только один граф (4, 4, 17) ( граф Пейли порядка 17) среди 2,46 × ¹⁰²⁶ раскрасок. ^[4] Из этого следует, что R (4, 4) = 18 .

Тот факт, что R (4, 5) = 25, был впервые установлен Бренданом Маккеем и Станиславом Радзишовским в 1995 году. ^[9]

Точное значение R (5, 5) неизвестно, хотя известно, что оно лежит в диапазоне от 43 (Джеффри Эксу (1989) ^[10] ) до 46 (Ангельтвейт и Маккей (2024) ^[11] ) включительно.

В 1997 году Маккей, Радзишовски и Эксу использовали методы компьютерной генерации графов, чтобы предположить, что R (5, 5) = 43. Они смогли построить ровно 656 (5, 5, 42) графов, придя к одному и тому же набору графов разными путями. Ни один из 656 графов не может быть расширен до графа (5, 5, 43) . ^[12]

Для R ( r , s ) с r , s > 5 доступны только слабые границы. Нижние границы для R (6, 6) и R (8, 8) не были улучшены с 1965 и 1972 годов соответственно. ^[1]

R ( r , s ) при r , s ≤ 10 показаны в таблице ниже. Если точное значение неизвестно, в таблице перечислены наиболее известные границы. R ( r , s ) при r < 3 задаются как R (1, s ) = 1 и R (2, s ) = s для всех значений s .

The standard survey on the development of Ramsey number research is the Dynamic Survey 1 of the Electronic Journal of Combinatorics, by Stanisław Radziszowski, which is periodically updated.^[1][13] Where not cited otherwise, entries in the table below are taken from the June 2024 edition. (Note there is a trivial symmetry across the diagonal since R(r, s) = R(s, r).)

The inequality R(r, s) ≤ R(r − 1, s) + R(r, s − 1) may be applied inductively to prove that

${\displaystyle R(r,s)\leq {\binom {r+s-2}{r-1}}.}$

In particular, this result, due to Erdős and Szekeres, implies that when r = s,

${\displaystyle R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.}$

An exponential lower bound,

${\displaystyle R(s,s)\geq (1+o(1)){\frac {s}{{\sqrt {2}}e}}2^{s/2},}$

was given by Erdős in 1947 and was instrumental in his introduction of the probabilistic method. There is a huge gap between these two bounds: for example, for s = 10, this gives 101 ≤ R(10, 10) ≤ 48,620. Nevertheless, the exponential growth factors of either bound were not improved for a long time, and for the lower bound it still stands at √2. There is no known explicit construction producing an exponential lower bound. The best known lower and upper bounds for diagonal Ramsey numbers are

${\displaystyle [1+o(1)]{\frac {{\sqrt {2}}s}{e}}2^{\frac {s}{2}}\leq R(s,s)\leq s^{-(c\log s)/(\log \log s)}4^{s},}$

due to Spencer and Conlon, respectively; a 2023 preprint by Campos, Griffiths, Morris and Sahasrabudhe claims to have made exponential progress using an algorithmic construction relying on a graph structure called a "book",^[17][18] improving the upper bound to

${\displaystyle R(s,s)\leq (4-\varepsilon )^{s}{\text{ and }}R(s,t)\leq e^{-\delta t+o(s)}{\binom {s+t}{t}}.}$

with ${\displaystyle \varepsilon =2^{-7}}$ and ${\displaystyle \delta =50^{-1}}$ where it is believed these parameters could be optimized, in particular ${\displaystyle \varepsilon }$.

For the off-diagonal Ramsey numbers R(3, t), it is known that they are of order ⁠t²/log t⁠; this may be stated equivalently as saying that the smallest possible independence number in an n-vertex triangle-free graph is

${\displaystyle \Theta \left({\sqrt {n\log n}}\right).}$

The upper bound for R(3, t) is given by Ajtai, Komlós, and Szemerédi,^[19] the lower bound was obtained originally by Kim,^[20] and the implicit constant was improved independently by Fiz Pontiveros, Griffiths and Morris,^[21] and Bohman and Keevash,^[22] by analysing the triangle-free process. Furthermore, studying the more general "H-free process" has set the best known asymptotic lower bounds for general off-diagonal Ramsey numbers,^[23] R(s, t)

${\displaystyle c'_{s}{\frac {t^{\frac {s+1}{2}}}{(\log t)^{{\frac {s+1}{2}}-{\frac {1}{s-2}}}}}\leq R(s,t)\leq c_{s}{\frac {t^{s-1}}{(\log t)^{s-2}}}.}$

For ${\displaystyle s=4}$ the bounds become ${\displaystyle c'_{s}t^{\frac {5}{2}}(\log t)^{-2}\leq R(4,t)\leq c_{s}t^{3}(\log t)^{-2}}$, but a 2023 preprint^[24][25] has improved the lower bound to ${\displaystyle c'_{s}t^{3}(\log t)^{-4}}$ which settles a question of Erdős who offered 250 dollars for a proof that the lower limit has form ${\displaystyle c'_{s}t^{3}(\log t)^{-d}}$.^[26][27]

The Ramsey number ${\displaystyle R(3,8)}$ has been formally verified to be 28.^[28] This verification was achieved using a combination of Boolean satisfiability (SAT) solving and computer algebra systems (CAS). The proof was generated automatically using the SAT+CAS approach, marking the first certifiable proof of ${\displaystyle R(3,8)=28}$. The verification process required 96 hours of computation on a high-performance processor, producing a 30 GB DRAT (Deletion Resolution Asymmetric Tautology) file. This file was independently verified using the DRAT-trim proof checker in 63 hours.

The Ramsey number ${\displaystyle R(4,5)}$ has been formally verified to be 25.^[29] The original proof, developed by McKay and Radziszowski in 1995, combined high-level mathematical arguments with computational steps and used multiple independent implementations to reduce the possibility of programming errors. This new formal proof was carried out using the HOL4 interactive theorem prover, limiting the potential for errors to the HOL4 kernel. Rather than directly verifying the original algorithms, the authors utilized HOL4's interface to the MiniSat SAT solver to formally prove key gluing lemmas.

There is a less well-known yet interesting analogue of Ramsey's theorem for induced subgraphs. Roughly speaking, instead of finding a monochromatic subgraph, we are now required to find a monochromatic induced subgraph. In this variant, it is no longer sufficient to restrict our focus to complete graphs, since the existence of a complete subgraph does not imply the existence of an induced subgraph. The qualitative statement of the theorem in the next section was first proven independently by Erdős, Hajnal and Pósa, Deuber and Rödl in the 1970s.^[30][31][32] Since then, there has been much research in obtaining good bounds for induced Ramsey numbers.

Let H be a graph on n vertices. Then, there exists a graph G such that any coloring of the edges of G using two colors contains a monochromatic induced copy of H (i.e. an induced subgraph of G such that it is isomorphic to H and its edges are monochromatic). The smallest possible number of vertices of G is the induced Ramsey number r_ind(H).

Sometimes, we also consider the asymmetric version of the problem. We define r_ind(X,Y) to be the smallest possible number of vertices of a graph G such that every coloring of the edges of G using only red or blue contains a red induced subgraph of X or blue induced subgraph of Y.

Similar to Ramsey's theorem, it is unclear a priori whether induced Ramsey numbers exist for every graph H. In the early 1970s, Erdős, Hajnal and Pósa, Deuber and Rödl independently proved that this is the case.^[30][31][32] However, the original proofs gave terrible bounds (e.g. towers of twos) on the induced Ramsey numbers. It is interesting to ask if better bounds can be achieved. In 1974, Paul Erdős conjectured that there exists a constant c such that every graph H on k vertices satisfies r_ind(H) ≤ 2^ck.^[33] If this conjecture is true, it would be optimal up to the constant c because the complete graph achieves a lower bound of this form (in fact, it's the same as Ramsey numbers). However, this conjecture is still open as of now.

In 1984, Erdős and Hajnal claimed that they proved the bound^[34]

${\displaystyle r_{\text{ind}}(H)\leq 2^{2^{k^{1+o(1)}}}.}$

However, that was still far from the exponential bound conjectured by Erdős. It was not until 1998 when a major breakthrough was achieved by Kohayakawa, Prömel and Rödl, who proved the first almost-exponential bound of r_ind(H) ≤ 2^{ck(log k)2} for some constant c. Their approach was to consider a suitable random graph constructed on projective planes and show that it has the desired properties with nonzero probability. The idea of using random graphs on projective planes have also previously been used in studying Ramsey properties with respect to vertex colorings and the induced Ramsey problem on bounded degree graphs H.^[35]

Kohayakawa, Prömel and Rödl's bound remained the best general bound for a decade. In 2008, Fox and Sudakov provided an explicit construction for induced Ramsey numbers with the same bound.^[36] In fact, they showed that every (n,d,λ)-graph G with small λ and suitable d contains an induced monochromatic copy of any graph on k vertices in any coloring of edges of G in two colors. In particular, for some constant c, the Paley graph on n ≥ 2^{ck log2k} vertices is such that all of its edge colorings in two colors contain an induced monochromatic copy of every k-vertex graph.

In 2010, Conlon, Fox and Sudakov were able to improve the bound to r_ind(H) ≤ 2^{ck log k}, which remains the current best upper bound for general induced Ramsey numbers.^[37] Similar to the previous work in 2008, they showed that every (n,d,λ)-graph G with small λ and edge density 1⁄2 contains an induced monochromatic copy of every graph on k vertices in any edge coloring in two colors. Currently, Erdős's conjecture that r_ind(H) ≤ 2^ck remains open and is one of the important problems in extremal graph theory.

For lower bounds, not much is known in general except for the fact that induced Ramsey numbers must be at least the corresponding Ramsey numbers. Some lower bounds have been obtained for some special cases (see Special Cases).

While the general bounds for the induced Ramsey numbers are exponential in the size of the graph, the behaviour is much different on special classes of graphs (in particular, sparse ones). Many of these classes have induced Ramsey numbers polynomial in the number of vertices.

If H is a cycle, path or star on k vertices, it is known that r_ind(H) is linear in k.^[36]

If H is a tree on k vertices, it is known that r_ind(H) = O(k² log²k).^[38] It is also known that r_ind(H) is superlinear (i.e. r_ind(H) = ω(k)). Note that this is in contrast to the usual Ramsey numbers, where the Burr–Erdős conjecture (now proven) tells us that r(H) is linear (since trees are 1-degenerate).

For graphs H with number of vertices k and bounded degree Δ, it was conjectured that r_ind(H) ≤ cn^d(Δ), for some constant d depending only on Δ. This result was first proven by Łuczak and Rödl in 1996, with d(Δ) growing as a tower of twos with height O(Δ²).^[39] More reasonable bounds for d(Δ) were obtained since then. In 2013, Conlon, Fox and Zhao showed using a counting lemma for sparse pseudorandom graphs that r_ind(H) ≤ cn^2Δ+8, where the exponent is best possible up to constant factors.^[40]

Similar to Ramsey numbers, we can generalize the notion of induced Ramsey numbers to hypergraphs and multicolor settings.

We can also generalize the induced Ramsey's theorem to a multicolor setting. For graphs H₁, H₂, …, H_r, define r_ind(H₁, H₂, …, H_r) to be the minimum number of vertices in a graph G such that any coloring of the edges of G into r colors contain an induced subgraph isomorphic to H_i where all edges are colored in the i-th color for some 1 ≤ i ≤ r. Let r_ind(H;q) := r_ind(H, H, …, H) (q copies of H).

It is possible to derive a bound on r_ind(H;q) which is approximately a tower of two of height ~ log q by iteratively applying the bound on the two-color case. The current best known bound is due to Fox and Sudakov, which achieves r_ind(H;q) ≤ 2^ck3, where k is the number of vertices of H and c is a constant depending only on q.^[41]

We can extend the definition of induced Ramsey numbers to d-uniform hypergraphs by simply changing the word graph in the statement to hypergraph. Furthermore, we can define the multicolor version of induced Ramsey numbers in the same way as the previous subsection.

Let H be a d-uniform hypergraph with k vertices. Define the tower function t_r(x) by letting t₁(x) = x and for i ≥ 1, t_i+1(x) = 2^t_i(x). Using the hypergraph container method, Conlon, Dellamonica, La Fleur, Rödl and Schacht were able to show that for d ≥ 3, q ≥ 2, r_ind(H;q) ≤ t_d(ck) for some constant c depending on only d and q. In particular, this result mirrors the best known bound for the usual Ramsey number when d = 3.^[42]

A further result, also commonly called Ramsey's theorem, applies to infinite graphs. In a context where finite graphs are also being discussed it is often called the "Infinite Ramsey theorem". As intuition provided by the pictorial representation of a graph is diminished when moving from finite to infinite graphs, theorems in this area are usually phrased in set-theoretic terminology.^[43]

Theorem. Let ${\displaystyle X}$ be some infinite set and colour the elements of ${\displaystyle [X]^{n}}$ (the subsets of ${\displaystyle X}$ of size ${\displaystyle n}$) in ${\displaystyle c}$ different colours. Then there exists some infinite subset ${\displaystyle M}$ of ${\displaystyle X}$ such that the size ${\displaystyle n}$ subsets of ${\displaystyle M}$ all have the same colour.

Proof: The proof is by induction on n, the size of the subsets. For n = 1, the statement is equivalent to saying that if you split an infinite set into a finite number of sets, then one of them is infinite. This is evident. Assuming the theorem is true for n ≤ r, we prove it for n = r + 1. Given a c-colouring of the (r + 1)-element subsets of X, let a₀ be an element of X and let Y = X \ {a₀}. We then induce a c-colouring of the r-element subsets of Y, by just adding a₀ to each r-element subset (to get an (r + 1)-element subset of X). By the induction hypothesis, there exists an infinite subset Y₁ of Y such that every r-element subset of Y₁ is coloured the same colour in the induced colouring. Thus there is an element a₀ and an infinite subset Y₁ such that all the (r + 1)-element subsets of X consisting of a₀ and r elements of Y₁ have the same colour. By the same argument, there is an element a₁ in Y₁ and an infinite subset Y₂ of Y₁ with the same properties. Inductively, we obtain a sequence {a₀, a₁, a₂, …} such that the colour of each (r + 1)-element subset (a_i(1), a_i(2), …, a_{i(r + 1)}) with i(1) < i(2) < … < i(r + 1) depends only on the value of i(1). Further, there are infinitely many values of i(n) such that this colour will be the same. Take these a_i(n)'s to get the desired monochromatic set.

A stronger but unbalanced infinite form of Ramsey's theorem for graphs, the Erdős–Dushnik–Miller theorem, states that every infinite graph contains either a countably infinite independent set, or an infinite clique of the same cardinality as the original graph.^[44]

It is possible to deduce the finite Ramsey theorem from the infinite version by a proof by contradiction. Suppose the finite Ramsey theorem is false. Then there exist integers c, n, T such that for every integer k, there exists a c-colouring of [k]⁽ⁿ⁾ without a monochromatic set of size T. Let C_k denote the c-colourings of [k]⁽ⁿ⁾ without a monochromatic set of size T.

For any k, the restriction of a colouring in C_k+1 to [k]⁽ⁿ⁾ (by ignoring the colour of all sets containing k + 1) is a colouring in C_k. Define ⁠${\displaystyle C_{k}^{1}}$⁠ to be the colourings in C_k which are restrictions of colourings in C_k+1. Since C_k+1 is not empty, neither is ⁠${\displaystyle C_{k}^{1}}$⁠.

Similarly, the restriction of any colouring in ⁠${\displaystyle C_{k+1}^{1}}$⁠ is in ⁠${\displaystyle C_{k}^{1}}$⁠, allowing one to define ⁠${\displaystyle C_{k}^{2}}$⁠ as the set of all such restrictions, a non-empty set. Continuing so, define ⁠${\displaystyle C_{k}^{m}}$⁠ for all integers m, k.

Now, for any integer k,

${\displaystyle C_{k}\supseteq C_{k}^{1}\supseteq C_{k}^{2}\supseteq \cdots }$

and each set is non-empty. Furthermore, C_k is finite as

${\displaystyle |C_{k}|\leq c^{\frac {k!}{n!(k-n)!}}}$

It follows that the intersection of all of these sets is non-empty, and let

${\displaystyle D_{k}=C_{k}\cap C_{k}^{1}\cap C_{k}^{2}\cap \cdots }$

Then every colouring in D_k is the restriction of a colouring in D_k+1. Therefore, by unrestricting a colouring in D_k to a colouring in D_k+1, and continuing doing so, one constructs a colouring of ${\displaystyle \mathbb {N} ^{(n)}}$ without any monochromatic set of size T. This contradicts the infinite Ramsey theorem.

If a suitable topological viewpoint is taken, this argument becomes a standard compactness argument showing that the infinite version of the theorem implies the finite version.^[45]

The theorem can also be extended to hypergraphs. An m-hypergraph is a graph whose "edges" are sets of m vertices – in a normal graph an edge is a set of 2 vertices. The full statement of Ramsey's theorem for hypergraphs is that for any integers m and c, and any integers n₁, …, n_c, there is an integer R(n₁, …, n_c; m) such that if the hyperedges of a complete m-hypergraph of order R(n₁, …, n_c; m) are coloured with c different colours, then for some i between 1 and c, the hypergraph must contain a complete sub-m-hypergraph of order n_i whose hyperedges are all colour i. This theorem is usually proved by induction on m, the 'hyper-ness' of the graph. The base case for the proof is m = 2, which is exactly the theorem above.

For m = 3 we know the exact value of one non-trivial Ramsey number, namely R(4, 4; 3) = 13. This fact was established by Brendan McKay and Stanisław Radziszowski in 1991.^[46] Additionally, we have: R(4, 5; 3) ≥ 35,^[47] R(4, 6; 3) ≥ 63 and R(5, 5; 3) ≥ 88.^[47]

It is also possible to define Ramsey numbers for directed graphs; these were introduced by P. Erdős and L. Moser (1964). Let R(n) be the smallest number Q such that any complete graph with singly directed arcs (also called a "tournament") and with ≥ Q nodes contains an acyclic (also called "transitive") n-node subtournament.

This is the directed-graph analogue of what (above) has been called R(n, n; 2), the smallest number Z such that any 2-colouring of the edges of a complete undirected graph with ≥ Z nodes, contains a monochromatic complete graph on n nodes. (The directed analogue of the two possible arc colours is the two directions of the arcs, the analogue of "monochromatic" is "all arc-arrows point the same way"; i.e., "acyclic.")

We have R(0) = 0, R(1) = 1, R(2) = 2, R(3) = 4, R(4) = 8, R(5) = 14, R(6) = 28, and 34 ≤ R(7) ≤ 47.^[48][49]

In terms of the partition calculus, Ramsey's theorem can be stated as ${\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$ for all finite n and k. Wacław Sierpiński showed that the Ramsey theorem does not extend to graphs of size ${\displaystyle \aleph _{1}}$ by showing that ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$. In particular, the continuum hypothesis implies that ${\displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$. Stevo Todorčević showed that in fact in ZFC, ${\displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$, a much stronger statement than ${\displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$. Justin T. Moore has strengthened this result further. On the positive side, a Ramsey cardinal, ${\displaystyle \kappa }$, is a large cardinal axiomatically defined to satisfy the related formula: ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )_{2}^{<\omega }}$. The existence of Ramsey cardinals cannot be proved in ZFC.

In reverse mathematics, there is a significant difference in proof strength between the version of Ramsey's theorem for infinite graphs (the case n = 2) and for infinite multigraphs (the case n ≥ 3). The multigraph version of the theorem is equivalent in strength to the arithmetical comprehension axiom, making it part of the subsystem ACA₀ of second-order arithmetic, one of the big five subsystems in reverse mathematics. In contrast, by a theorem of David Seetapun, the graph version of the theorem is weaker than ACA₀, and (combining Seetapun's result with others) it does not fall into one of the big five subsystems.^[50] Over ZF, however, the graph version implies the classical Kőnig's lemma, whereas the converse implication does not hold,^[51] since Kőnig's lemma is equivalent to countable choice from finite sets in this setting.^[52]

• Ramsey cardinal
• Paris–Harrington theorem
• Sim (pencil game)
• Infinite Ramsey theory
• Van der Waerden number
• Ramsey game
• Erdős–Rado theorem

• Ajtai, Miklós; Komlós, János; Szemerédi, Endre (1980), "A note on Ramsey numbers", J. Combin. Theory Ser. A, 29 (3): 354–360, doi:10.1016/0097-3165(80)90030-8.
• Bohman, Tom; Keevash, Peter (2010), "The early evolution of the H-free process", Invent. Math., 181 (2): 291–336, arXiv:0908.0429, Bibcode:2010InMat.181..291B, doi:10.1007/s00222-010-0247-x, S2CID 2429894
• Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (5th ed.), Prentice-Hall, pp. 77–82, ISBN 978-0-13-602040-0
• Conlon, David (2009), "A new upper bound for diagonal Ramsey numbers", Annals of Mathematics, 170 (2): 941–960, arXiv:math/0607788v1, doi:10.4007/annals.2009.170.941, MR 2552114, S2CID 9238219.
• Erdős, Paul (1947), "Some remarks on the theory of graphs", Bull. Amer. Math. Soc., 53 (4): 292–294, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08785-1.
• Erdős, P.; Moser, L. (1964), "On the representation of directed graphs as unions of orderings" (PDF), A Magyar Tudományos Akadémia, Matematikai Kutató Intézetének Közleményei, 9: 125–132, MR 0168494
• Erdős, Paul; Szekeres, George (1935), "A combinatorial problem in geometry" (PDF), Compositio Mathematica, 2: 463–470, doi:10.1007/978-0-8176-4842-8_3, ISBN 978-0-8176-4841-1.
• Exoo, G. (1989), "A lower bound for R(5,5)", Journal of Graph Theory, 13: 97–98, doi:10.1002/jgt.3190130113.
• Graham, R.; Rothschild, B.; Spencer, J. H. (1990), Ramsey Theory, New York: John Wiley and Sons.
• Gross, Jonathan L. (2008), Combinatorial Methods with Computer Applications, CRC Press, p. 458, ISBN 978-1-58488-743-0
• Harary, Frank (1972), Graph Theory, Addison-Wesley, pp. 16–17, ISBN 0-201-02787-9
• Ramsey, F. P. (1930), "On a problem of formal logic", Proceedings of the London Mathematical Society, 30: 264–286, doi:10.1112/plms/s2-30.1.264.
• Spencer, J. (1975), "Ramsey's theorem – a new lower bound", J. Combin. Theory Ser. A, 18: 108–115, doi:10.1016/0097-3165(75)90071-0.
• Bian, Zhengbing; Chudak, Fabian; Macready, William G.; Clark, Lane; Gaitan, Frank (2013), "Experimental determination of Ramsey numbers", Physical Review Letters, 111 (13): 130505, arXiv:1201.1842, Bibcode:2013PhRvL.111m0505B, doi:10.1103/PhysRevLett.111.130505, PMID 24116761, S2CID 1303361.

The Wikibook Combinatorics has a page on the topic of: Ramsey numbers

• "Ramsey theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Ramsey@Home is a distributed computing project designed to find new lower bounds for various Ramsey numbers using a host of different techniques.
• The Electronic Journal of Combinatorics dynamic survey of small Ramsey numbers (by Stanisław Radziszowski)
• Ramsey Number – from MathWorld (contains lower and upper bounds up to R(19, 19))
• Ramsey Number – Geoffrey Exoo (Contains R(5, 5) > 42 counter-proof)