Распределение приподнятого косинуса

Приподнятый косинус

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \мю \,}$( настоящий ) ${\displaystyle s>0\,}$( настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
СДФ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$
Иметь в виду	${\displaystyle \мю \,}$
Медиана	${\displaystyle \мю \,}$
Режим	${\displaystyle \мю \,}$
Дисперсия	${\displaystyle s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,}$
Асимметрия	${\displaystyle 0\,}$
Избыточный эксцесс	${\displaystyle {\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0,59376\ldots \,}$
МГФ	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t }}$
CF	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}}$

В теории вероятностей и статистике распределение приподнятого косинуса — это непрерывное распределение вероятностей, поддерживаемое на интервале . Функция плотности вероятности (PDF) — это${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right){\text{ для }}\mu -s\leq x\leq \mu +s}$

и ноль в противном случае. Кумулятивная функция распределения (CDF) - это

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$

для и ноль для и единица для .${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$${\displaystyle x<\mu -s}$${\displaystyle x>\mu +s}$

Моменты распределения приподнятого косинуса несколько сложны в общем случае, но значительно упрощаются для стандартного распределения приподнятого косинуса. Стандартное распределение приподнятого косинуса — это просто распределение приподнятого косинуса с и . Поскольку стандартное распределение приподнятого косинуса является четной функцией , нечетные моменты равны нулю. Четные моменты определяются как:${\displaystyle \мю =0}$${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle {\begin{align}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{align}}}$

где — обобщенная гипергеометрическая функция .${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$

• Функция Ханна
• Хаверкозин (hvc)

• Хорст Ринне (2010). "Распределения масштаба местоположения – линейная оценка и построение вероятностного графика с использованием MATLAB" (PDF) . стр. 116 . Получено 16.11.2012 .