Функция Ханна
Математическая функция, используемая при обработке сигналов.
Функция Ханна (слева) и ее частотная характеристика (справа)

Функция Ханна названа в честь австрийского метеоролога Юлиуса фон Ханна . Это оконная функция, используемая для сглаживания Ханна . [1] Функция с длиной и амплитудой задается как : Л {\displaystyle L} 1 / Л , {\displaystyle 1/L,}

ж 0 ( х ) ≜ { 1 Л ( 1 2 + 1 2 потому что ⁡ ( 2 π х Л ) ) = 1 Л потому что 2 ⁡ ( π х Л ) , | х | ≤ Л / 2 0 , | х | > Л / 2 } . {\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}   [а]

Для цифровой обработки сигнала функция дискретизируется симметрично (с интервалом и амплитудой ) : Л / Н {\displaystyle Л/Н} 1 {\displaystyle 1}

ж [ н ] = Л ⋅ ж 0 ( Л Н ( н − Н / 2 ) ) = 1 2 [ 1 − потому что ⁡ ( 2 π н Н ) ] = грех 2 ⁡ ( π н Н ) } , 0 ≤ н ≤ Н , {\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}

которое представляет собой последовательность выборок и может быть четным или нечетным. (см. § Окна Ханна и Хэмминга ). Оно также известно как окно приподнятого косинуса , фильтр Ханна , окно фон Ханна и т. д. [2] [3] Н + 1 {\displaystyle N+1} Н {\displaystyle N}

преобразование Фурье

Вверху: 16-выборочное ДПФ-четное окно Ханна. Внизу: его дискретное по времени преобразование Фурье (ДПФ) и 3 ненулевых значения его дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Преобразование Фурье определяется по формуле : ж 0 ( х ) {\displaystyle w_{0}(x)}

Вт 0 ( ф ) = 1 2 синк ⁡ ( Л ф ) ( 1 − Л 2 ф 2 ) = грех ⁡ ( π Л ф ) 2 π Л ф ( 1 − Л 2 ф 2 ) {\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}   [б]
Вывод

Используя формулу Эйлера для раскрытия косинусного члена, мы можем записать : ж 0 ( х ) , {\displaystyle w_{0}(x),}

ж 0 ( х ) = 1 Л ( 1 2 прям ⁡ ( х / Л ) + 1 4 е я 2 π х / Л прям ⁡ ( х / Л ) + 1 4 е − я 2 π х / Л прям ⁡ ( х / Л ) ) , {\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),}

который представляет собой линейную комбинацию модулированных прямоугольных окон :

1 Л прям ⁡ ( х / Л ) ⟷ преобразование Фурье синк ⁡ ( Л ф ) ≜ грех ⁡ ( π Л ф ) π Л ф . {\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{преобразование Фурье}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.}

Преобразуем каждый термин :

Вт 0 ( ф ) = 1 2 синк ⁡ ( Л ф ) + 1 4 синк ⁡ ( Л ( ф − 1 / Л ) ) + 1 4 синк ⁡ ( Л ( ф + 1 / Л ) ) = 1 2 грех ⁡ ( π Л ф ) π Л ф + 1 4 грех ⁡ ( π ( Л ф − 1 ) ) π ( Л ф − 1 ) + 1 4 грех ⁡ ( π ( Л ф + 1 ) ) π ( Л ф + 1 ) = 1 2 π ( грех ⁡ ( π Л ф ) Л ф − 1 2 грех ⁡ ( π Л ф ) Л ф − 1 − 1 2 грех ⁡ ( π Л ф ) Л ф + 1 ) = грех ⁡ ( π Л ф ) 2 π ( 1 Л ф + 1 2 1 1 − Л ф − 1 2 1 1 + Л ф ) = грех ⁡ ( π Л ф ) 2 π ⋅ 1 Л ф ( 1 − Л ф ) ( 1 + Л ф ) = 1 2 синк ⁡ ( Л ф ) ( 1 − Л 2 ф 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}

Дискретные преобразования

Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) длины сдвинутой во времени последовательности определяется рядом Фурье, который также имеет 3-членный эквивалент, который выводится аналогично выводу преобразования Фурье : N + 1 {\displaystyle N+1}

F { w [ n ] } ≜ ∑ n = 0 N w [ n ] ⋅ e − i 2 π f n = e − i π f N [ 1 2 sin ⁡ ( π ( N + 1 ) f ) sin ⁡ ( π f ) + 1 4 sin ⁡ ( π ( N + 1 ) ( f − 1 N ) ) sin ⁡ ( π ( f − 1 N ) ) + 1 4 sin ⁡ ( π ( N + 1 ) ( f + 1 N ) ) sin ⁡ ( π ( f + 1 N ) ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}

Усеченная последовательность представляет собой DFT-четное (или периодическое ) окно Ханна. Поскольку усеченная выборка имеет нулевое значение, из определения ряда Фурье ясно, что DTFT эквивалентны. Однако подход, примененный выше, приводит к существенно отличающемуся на вид, но эквивалентному 3-членному выражению : { w [ n ] ,   0 ≤ n ≤ N − 1 } {\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}

F { w [ n ] } = e − i π f ( N − 1 ) [ 1 2 sin ⁡ ( π N f ) sin ⁡ ( π f ) + 1 4 e − i π / N sin ⁡ ( π N ( f − 1 N ) ) sin ⁡ ( π ( f − 1 N ) ) + 1 4 e i π / N sin ⁡ ( π N ( f + 1 N ) ) sin ⁡ ( π ( f + 1 N ) ) ] . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}

ДПФ длиной N оконной функции производит выборку ДПФ на частотах для целых значений Из выражения, приведенного выше, легко увидеть, что только 3 из N коэффициентов ДПФ не равны нулю. А из другого выражения очевидно, что все они имеют вещественные значения. Эти свойства привлекательны для приложений реального времени, которым требуются как оконные, так и не оконные (прямоугольно оконные) преобразования, поскольку оконные преобразования могут быть эффективно получены из не оконных преобразований путем свертки . [4] [c] [d] f = k / N , {\displaystyle f=k/N,} k . {\displaystyle k.}

Имя

Функция названа в честь фон Ганна, который использовал метод сглаживания метеорологических данных с использованием трехчленного взвешенного среднего. [5] [2] Однако также традиционно используется термин «функция Ганнинга» , [6] полученный из статьи, в которой термин «ханнинг» использовался для обозначения применения к сигналу окна Ганна. [7] [8] Путаница возникла из-за похожей функции Хэмминга , названной в честь Ричарда Хэмминга .

Смотрите также

Ссылки на страницы

  1. ^ Наттолл 1981, стр. 84 (3)
  2. ^ Наттолл 1981, стр. 86 (17)
  3. ^ Наттолл 1981, стр. 85
  4. ^ Харрис 1978, стр. 62

Ссылки

  1. ^ Эссенвангер, ОМ (Оскар М.) (1986). Элементы статистического анализа . Elsevier. ISBN 0444424261. OCLC  152410575.
  2. ^ ab Kahlig, Peter (1993), «Некоторые аспекты вклада Юлиуса фон Ганна в современную климатологию», в McBean, GA; Hantel, M. (ред.), Interactions Between Global Climate Subsystems: The Legacy of Hann , Geophysical Monograph Series, т. 75, Американский геофизический союз, стр. 1–7, doi : 10.1029/gm075p0001, ISBN 9780875904665, получено 01.07.2019 , Ханн, по-видимому, является изобретателем определенной процедуры сглаживания данных, которая теперь называется «ханнинг»… или «сглаживание Ханна»... По сути, это трехчленная скользящая средняя (скользящее среднее) с неравными весами (1/4, 1/2, 1/4).
  3. ^ Смит, Джулиус О. (Джулиус Орион) (2011). Спектральная обработка аудиосигнала. Стэнфордский университет. Центр компьютерных исследований в области музыки и акустики., Стэнфордский университет. Кафедра музыки. [Стэнфорд, Калифорния?]: W3K. ISBN 9780974560731. OCLC  776892709.
  4. ^ Патент США 6898235, Карлин, Джо; Коллинз, Терри и Хейс, Питер и др., «Устройство перехвата и пеленгации широкополосной связи с использованием гиперканализации», опубликовано 10 декабря 1999 г., выдано 24 мая 2005 г. , также доступно по адресу https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf 
  5. ^ von Hann, Julius (1903). Handbook of Climatology. Macmillan. стр. 199. Цифры под b определяются с учетом параллелей, отстоящих на 5° с каждой стороны. Так, например, для широты 60° мы имеем ½[60 + (65 + 55)÷2].
  6. ^ Harris, Fredric J. (январь 1978). "On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51–83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. Правильное название этого окна — «Hann». Термин «Hanning» используется в этом отчете для отражения общепринятого использования. Производный термин «Hann'd» также широко используется. 
  7. ^ Блэкман, Р. Б .; Тьюки, Дж. В. (1958). «Измерение спектров мощности с точки зрения техники связи — Часть I». The Bell System Technical Journal . 37 (1): 273. doi :10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x. ISSN  0005-8580.
  8. ^ Блэкман, Р. Б. (Ральф Биби) ; Тьюки, Джон У. (Джон Уайлдер) (1959). Измерение спектров мощности с точки зрения техники связи. Нью-Йорк: Dover Publications. С. 98. LCCN  59-10185.
  2. Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hann_function&oldid=1219284324"