6-й символ

Символы Вигнера 6 -j были введены Юджином Полом Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году. Они определяются как сумма произведений четырех символов Вигнера 3-j ,

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Суммирование производится по всем шести m _i, разрешенным правилами выбора символов 3- j .

Они тесно связаны с W-коэффициентами Рака , которые используются для повторной связи 3 угловых моментов, хотя символы Вигнера 6- j имеют более высокую симметрию и, следовательно, обеспечивают более эффективный способ хранения коэффициентов повторной связи. ^[1] Их связь определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

Символ 6- j инвариантен при любой перестановке столбцов:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

Символ 6- j также инвариантен, если верхние и нижние аргументы поменять местами в любых двух столбцах:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Эти уравнения отражают 24 операции симметрии группы автоморфизмов , которые оставляют инвариантным связанный с ними тетраэдрический граф Юциса с 6 ребрами: зеркальные операции, которые обменивают две вершины, и обмен соседней пары ребер.

Символ 6- j

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

равен нулю, если j ₁ , j ₂ и j ₃ не удовлетворяют условиям треугольника, т.е.

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

В сочетании с соотношением симметрии для перестановки верхних и нижних аргументов это показывает, что условия треугольника также должны выполняться для триад ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) и ( j ₄ , j ₅ , j ₃ ). Кроме того, сумма элементов каждой триады должна быть целым числом. Следовательно, члены каждой триады либо все целые числа, либо содержат одно целое число и два полуцелых числа.

При j ₆ = 0 выражение для символа 6- j имеет вид:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Треугольная дельта { j ₁   j ₂   j ₃ } равна 1, когда триада ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) удовлетворяет условиям треугольника, и нулю в противном случае. Соотношения симметрии можно использовать для нахождения выражения, когда другой j равен нулю.

Символы 6- j удовлетворяют этому соотношению ортогональности:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

Замечательная формула для асимптотического поведения символа 6- j была впервые предложена Понзано и Редже ^[2] и позже доказана Робертсом. ^[3] Асимптотическая формула применяется, когда все шесть квантовых чисел j ₁ , ..., j ₆ считаются большими, и связывает символ 6- j с геометрией тетраэдра. Если символ 6- j определяется квантовыми числами j ₁ , ..., j _{6 ,} то связанный тетраэдр имеет длины ребер J _i = j _i +1/2 (i=1,...,6), а асимптотическая формула задается как,

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

Обозначения следующие: каждый θ _i представляет собой внешний двугранный угол относительно ребра J _i соответствующего тетраэдра, а амплитудный фактор выражается через объем V этого тетраэдра.

В теории представлений символы 6- j являются матричными коэффициентами изоморфизма ассоциаторов в тензорной категории . ^[4] Например, если нам даны три представления V _i , V _j , V _k группы (или квантовой группы ), то мы имеем естественный изоморфизм

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

представлений тензорного произведения, индуцированных коассоциативностью соответствующей биалгебры . Одна из аксиом, определяющих моноидальную категорию, заключается в том, что ассоциаторы удовлетворяют тождеству пентагона, которое эквивалентно тождеству Биденхарна-Эллиота для 6- j символов.

Когда моноидальная категория полупроста, мы можем ограничить наше внимание неприводимыми объектами и определить пространства множественности

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

так что тензорные произведения разлагаются следующим образом:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

где сумма берется по всем классам изоморфизма неприводимых объектов. Тогда:

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

Изоморфизм ассоциативности индуцирует изоморфизм векторного пространства

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

а символы 6j определяются как компонентные карты:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

Когда пространства кратности имеют канонические базисные элементы и размерность не более одного (как в случае SU (2) в традиционной постановке), эти компонентные карты можно интерпретировать как числа, а символы 6- j становятся обычными матричными коэффициентами.

В абстрактных терминах, символы 6- j — это именно та информация, которая теряется при переходе от полупростой моноидальной категории к ее кольцу Гротендика , поскольку можно восстановить моноидальную структуру с помощью ассоциатора. Для случая представлений конечной группы хорошо известно, что таблица характеров сама по себе (которая определяет базовую абелеву категорию и структуру кольца Гротендика) не определяет группу с точностью до изоморфизма, в то время как симметричная моноидальная структура категории определяет, по двойственности Таннаки-Крейна . В частности, две неабелевы группы порядка 8 имеют эквивалентные абелевы категории представлений и изоморфные кольца Гротдендика, но символы 6- j их категорий представлений различны, что означает, что их категории представлений неэквивалентны как моноидальные категории. Таким образом, символы 6- j дают промежуточный уровень информации, который на самом деле однозначно определяет группы во многих случаях, например, когда группа нечетного порядка или проста. ^[5]

• Коэффициенты Клебша–Гордана
• 3-й символ
• Коэффициент W Рака
• символ 9-j
• Представления классических групп Ли

• Биденхарн, Л. К.; Ван Дам, Х. (1965). Квантовая теория углового момента: сборник переизданий и оригинальных статей . Academic Press . ISBN 0-12-096056-7.

• Эдмондс, AR (1957). Угловой момент в квантовой механике . Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9.
• Кондон, Эдвард У.; Шортли, ГХ (1970). "3. Угловой момент". Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09209-4.
• Максимон, Леонард К. (2010), «Символы 3j,6j,9j», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика . Том II (12-е изд.). North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.

• Бринк, Д.М.; Сэтчлер, Г.Р. (1993). "2. Представления группы вращения" . Угловой момент (3-е изд.). Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "2. Связь двух векторов углового момента". Angular Momentum . Wiley . ISBN 0-471-85892-7.

• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Угловой момент в квантовой физике . Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.

• Редже, Т. (1959). «Свойства симметрии коэффициентов Рака». Nuovo Cimento . 11 (1): 116–7. Bibcode : 1959NCim...11..116R. doi : 10.1007/BF02724914. S2CID  121333785.
• Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициента Вигнера».(Даёт точный ответ)
• Саймонс, Фредерик Дж. «Архив программного обеспечения Matlab, код SIXJ.M».
• Воля, А. "Веб-калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j". Архивировано из оригинала 20.12.2012.
• Лаборатория плазмы Института Вейцмана. «369j-символьный калькулятор».
• Научная библиотека GNU . "Коэффициенты связи".
• Йоханссон, ХТ; Форссен, К. "(WIGXJPF)".(точный; C, Fortran, Python)
• Йоханссон, ХТ "(FASTWIGXJ)".(быстрый поиск, точность; C, Fortran)