Диаграммы углового момента (квантовая механика)

Часть серии статей о
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение скобок Гамильтониан Вмешательство
Основы Взаимодополняемость Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла неравенство CHSH Дэвиссон–Гермер Двойной щелевой Элицур–Вайдман Франк–Герц неравенство Леггетта Неравенство Леггетта–Гарга Маха–Цендера Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн–Герлах Отложенный выбор Уиллера
Формулировки Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по траектории)
Уравнения Дирак Клейн–Гордон Паули Рюдберг Шредингер
Интерпретации байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройля–Бома Ансамбль Скрытая переменная Местный Супердетерминизм Множество миров Цель-коллапс Квантовая логика Относительный Транзакционный Фон Нейман–Вигнер
Продвинутые темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос ЭПР-парадокс Матрица плотности Теория рассеяния Квантовая статистическая механика Квантовое машинное обучение
Ученые Ахаронов Белл Бете Блэкетт Блох Бом Бор Рожденный Бозе де Бройль Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Гуцвиллер Гейзенберг Гильберт Иордания Крамерс Ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Паули Планк Раби Раман Рюдберг Шредингер Симмонс Зоммерфельд фон Нейман Вейль Вена Вигнер Зееман Цайлингер
в т е

В квантовой механике и ее приложениях к квантовым многочастичным системам , в частности, в квантовой химии , диаграммы углового момента или, точнее, с математической точки зрения, графики углового момента являются диаграммным методом представления квантовых состояний углового момента квантовой системы, позволяющим выполнять вычисления символически. Более конкретно, стрелки кодируют состояния углового момента в скобочной нотации и включают абстрактную природу состояния, такую ​​как тензорные произведения и правила преобразования.

Обозначение соответствует идее графической нотации Пенроуза и диаграмм Фейнмана . Диаграммы состоят из стрелок и вершин с квантовыми числами в качестве меток, отсюда и альтернативный термин « графики ». Смысл каждой стрелки связан с эрмитовым сопряжением , которое примерно соответствует обращению во времени состояний углового момента (ср. уравнение Шредингера ). Диаграммная нотация сама по себе является довольно большой темой с рядом специализированных особенностей — эта статья знакомит с самыми основами.

Они были разработаны главным образом Адольфасом Юцисом (иногда его переводят как Юцис) в двадцатом веке.

Вектор квантового состояния отдельной частицы с полным квантовым числом углового момента j и полным магнитным квантовым числом m = j , j − 1, ..., − j + 1, − j , обозначается как кет | j , m ⟩ . На диаграмме это однонаправленная стрелка.

Симметрично, соответствующий бюстгальтер — ⟨ j , m | . В виде диаграммы это двунаправленная стрелка, указывающая в противоположном направлении кету.

В каждом случае;

• Квантовые числа j , m часто указываются рядом со стрелками, чтобы обозначить определенное состояние углового момента,
• Наконечники стрел почти всегда располагаются посередине линии, а не на конце,
• Между эквивалентными диаграммами ставятся знаки равенства «=», точно так же, как для нескольких алгебраических выражений, равных друг другу.

Самые простые схемы предназначены для кетов и бюстгальтеров:

Стрелки направлены к вершинам или от вершин, состояние преобразуется в соответствии с:

• стандартное представление обозначается ориентированной линией, выходящей из вершины,
• Контрастное представление изображается как линия, входящая в вершину.

Как правило, стрелки следуют друг за другом в одном и том же смысле. В представлении contrastandard используется оператор обращения времени , обозначенный здесь как T. Он унитарен, что означает, что эрмитово сопряжение T ^† равно обратному оператору T ⁻¹ , то есть T ^† = T ⁻¹ . Его действие на оператор положения оставляет его инвариантным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}}$

но оператор линейного импульса становится отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}}$

и оператор спина становится отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}}$

Поскольку оператор орбитального момента импульса равен L = x × p , он также должен стать отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}}$

и поэтому оператор полного момента импульса J = L + S становится отрицательным:

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}}$

Действуя на собственное состояние углового момента | j , m ⟩ , можно показать, что: ^[1]

${\displaystyle T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle }$

Диаграммы, обращенные во времени, для кетов и бюстгальтеров:

Важно правильно расположить вершину, так как операторы прямого и обратного времени могут перепутаться.

Скалярное произведение двух состояний | j ₁ , m ₁ ⟩ и | j ₂ , m ₂ ⟩ равно:

${\displaystyle \langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}}$

и диаграммы:

Для суммирования по внутреннему произведению, также известному в этом контексте как свертка (ср. тензорная контракция ):

${\displaystyle \sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1}$

принято обозначать результат в виде замкнутого круга, помеченного только буквой j , а не m :

Внешнее произведение двух состояний | j ₁ , m ₁ ⟩ и | j ₂ , m ₂ ⟩ является оператором:

${\displaystyle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|}$

и диаграммы:

Для суммирования по внешнему произведению, также известному в этом контексте как свертывание (ср. тензорное свертывание ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}}$

где был использован результат для T | j , m ⟩ и тот факт, что m принимает набор значений, приведенных выше. Нет никакой разницы между состояниями прямого и обратного времени для сокращения внешнего продукта, поэтому здесь они разделяют одну и ту же диаграмму, представленную как одна линия без направления, снова помеченная только j , а не m :

Тензорное произведение ⊗ n состояний | j ₁ , m ₁ ⟩ , | j ₂ , m ₂ ⟩ , ... | j _n , m _n ⟩ записывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}}$

а в виде диаграммы каждое отдельное состояние покидает или входит в общую вершину, создавая «веер» стрелок — n линий, прикрепленных к одной вершине.

Вершины в тензорных произведениях имеют знаки (иногда называемые «узловыми знаками»), указывающие порядок состояний, умноженных на тензор:

• знак минус (−) указывает на порядок по часовой стрелке , и${\displaystyle \circlearrowright }$
• знак плюс (+) для против часовой стрелки , .${\displaystyle \circlearrowleft }$

Знаки, конечно, не требуются только для одного состояния, схематически одна стрелка в вершине. Иногда включаются изогнутые стрелки со знаками, чтобы явно показать смысл тензорного умножения, но обычно показывается только знак без стрелок.

Для внутреннего произведения двух тензорных произведений имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}}$

существует n- ное количество стрелок внутреннего произведения:

• Диаграммы хорошо подходят для коэффициентов Клебша–Гордана .
• Расчеты с реальными квантовыми системами, такими как многоэлектронные атомы и молекулярные системы.

• Оператор лестницы
• Фок-пространство
• Диаграммы Фейнмана

• Юцис, Адольфас П.; Левинсон, И.Б.; Ванагас, В.В. (1962). Математический аппарат теории углового момента. Перевод А. Сена; Р.Н. Сена. Израильская программа научных переводов.
• Вормер и Палдус (2006) ^[1] дают подробное руководство по диаграммам углового момента.
• I. Lindgren; J. Morrison (1986). Atomic Many-Body Theory. Chemical Physics. Vol. 13 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-16649-8.

• GWF Drake (2006). Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics (2-е изд.). Springer. стр. 60. ISBN 978-0-387-26308-3.
• U. Kaldor; S. Wilson (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов. Progress in Theoretical Chemistry and Physics. Vol. 11. Springer. стр. 183. ISBN 978-1-4020-1371-3.
• Э.Дж. Брендас; П.О. Лёвдин; Э. Брендас; Е. С. Крячко (2004). Фундаментальный мир квантовой химии: дань памяти Пер-Олову Лёвдину. Том. 3. Спрингер. п. 385. ИСБН 978-1-4020-2583-9.
• P. Schwerdtfeger (2004). Релятивистская электронная структурная теория: Часть 2. Приложения. Теоретическая и вычислительная химия. Т. 14. Elsevier. С. 97. ISBN 978-0-08-054047-4.
• M. Barysz; Y. Ishikawa (2010). Релятивистские методы для химиков. Проблемы и достижения в вычислительной химии и физике. Т. 10. Springer. С. 311. ISBN 978-1-4020-9975-5.

• GHF Diercksen; S. Wilson (1983). Методы вычислительной молекулярной физики. NATO Science Series C. Vol. 113. Springer. ISBN 978-90-277-1638-5.
• Зенонас Рудзикас (2007). "8". Теоретическая атомная спектроскопия . Кембриджские монографии по атомной, молекулярной и химической физике. Том 7. Чикагский университет: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-02622-2.
• «Летувос Физику Драугия» (2004). Журнал «Летувос физикос». Том. 44. Чикагский университет: Драугия.
• PET Jorgensen (1987). Операторы и теория представлений: канонические модели для алгебр операторов, возникающих в квантовой механике. Чикагский университет: Elsevier. ISBN 978-0-08-087258-2.
• P. Cvitanović (2008). Теория групп — следы птиц, ложь и исключительные группы. Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-11836-9.