Квазитреугольная алгебра Хопфа

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Quasitriangular Hopf algebra" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике алгебра Хопфа H называется квазитреугольной [ ^1], если существует обратимый элемент R такой , что${\displaystyle H\otimes H}$

• ${\displaystyle R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)}$для всех , где — копроизведение на H , а линейное отображение задается выражением ,${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle \Дельта}$${\displaystyle T:H\otimes H\to H\otimes H}$${\displaystyle T(x\otimes y) = y\otimes x}$

• ${\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}}$,

• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}}$,

где , , и , где , , и , являются морфизмами алгебры , определяемыми${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$${\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

R называется R-матрицей .

Как следствие свойств квазитреугольности, R-матрица, R , является решением уравнения Янга–Бакстера (и поэтому модуль V из H может быть использован для определения квазиинвариантов кос , узлов и зацеплений ). Также как следствие свойств квазитреугольности, ; более того , , и . Можно далее показать, что антипод S должен быть линейным изоморфизмом, и, таким образом, S ² является автоморфизмом. Фактически, S ² задается сопряжением обратимым элементом: где (ср. Ленточные алгебры Хопфа ).${\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}$${\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}$${\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}$${\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}$${\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$${\displaystyle u:=m(S\otimes 1)R^{21}}$

Можно построить квазитреугольную алгебру Хопфа из алгебры Хопфа и ее дуальной алгебры, используя квантовую двойную конструкцию Дринфельда .

Если алгебра Хопфа H квазитреугольна, то категория модулей над H сплетена с сплетением

${\displaystyle c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)}$.

Свойство быть квазитреугольной алгеброй Хопфа сохраняется при скручивании с помощью обратимого элемента, такого что и удовлетворяющего условию коцикла${\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}$${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F = (id\otimes \varepsilon)F = 1}$

${\displaystyle (F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)}$

Более того, обратим, а скрученный антипод задаётся как , с скрученным коумножением, R-матрицей и коединицей, изменёнными в соответствии с теми, которые определены для квазитреугольной квази-алгебры Хопфа . Такой поворот известен как допустимый (или Дринфельдов) поворот.${\displaystyle u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$${\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$

• Квазитреугольная квазихопфовая алгебра
• Ленточная алгебра Хопфа

• Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах . Серия региональных конференций по математике. Том 82. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0738-2. Збл  0793.16029.
• Монтгомери, Сьюзен ; Шнайдер, Ханс-Юрген (2002). Новые направления в алгебрах Хопфа . Публикации Института исследований математических наук. Том 43. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81512-3. Збл  0990.00022.