Расширение алгебры

В абстрактной алгебре расширение алгебры является кольцевым теоретико-эквивалентом расширения группы .

Точнее, расширение кольца R с помощью абелевой группы I — это пара ( E , ), состоящая из кольца E и гомоморфизма колец , который вписывается в короткую точную последовательность абелевых групп: ${\displaystyle \фи}$ ${\displaystyle \фи}$

${\displaystyle 0\to I\to E{\overset {\phi }{{}\to {}}}R\to 0.}$^[1]

Это делает I изоморфным двустороннему идеалу E.

Для коммутативного кольца A A -расширение или расширение A -алгебры определяется таким же образом путем замены «кольца» на « алгебру над A » , а «абелевых групп» на « A -модулей » .

Расширение называется тривиальным или расщепляемым, если оно расщепляется, т. е. допускает сечение , являющееся кольцевым гомоморфизмом ^[2] (см. § Пример: тривиальное расширение).${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \фи}$

Морфизм между расширениями R с помощью I , скажем, над A , является гомоморфизмом алгебр E → E ' , который индуцирует тождества на I и R. По лемме о пяти такой морфизм обязательно является изоморфизмом , и поэтому два расширения эквивалентны, если между ними существует морфизм.

Пусть R — коммутативное кольцо, а M — R - модуль . Пусть E = R ⊕ M — прямая сумма абелевых групп. Определим умножение на E как

${\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}$

Обратите внимание, что отождествление ( a , x ) с a + εx , где ε возводится в квадрат к нулю, и расширение ( a + εx )( b + εy ) дает приведенную выше формулу; в частности, мы видим, что E является кольцом. Иногда его называют алгеброй дуальных чисел . В качестве альтернативы E можно определить как , где является симметричной алгеброй M . ^[3] Тогда мы имеем короткую точную последовательность${\displaystyle \operatorname {Сим} (М)/\bigoplus _{n\geq 2}\operatorname {Сим} ^{n}(М)}$${\displaystyle \operatorname {Симв} (М)}$

${\displaystyle 0\to M\to E{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}$

где p — проекция. Следовательно, E — расширение R с помощью M . Оно тривиально, так как является секцией (обратите внимание, что эта секция является кольцевым гомоморфизмом, так как является мультипликативным тождеством E ). Обратно, каждое тривиальное расширение E кольца R с помощью I изоморфно , если . Действительно, идентифицируя как подкольцо E с помощью секции, мы имеем через . ^[1]${\displaystyle r\mapsto (r,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle R\oplus I}$${\displaystyle I^{2}=0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (E,\phi)\simeq (R\oplus I,p)}$${\displaystyle е\mapsto (\phi (e),e-\phi (e))}$

Интересной особенностью этой конструкции является то, что модуль M становится идеалом некоторого нового кольца. В своей книге Local Rings Нагата называет этот процесс принципом идеализации . ^[4]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Март 2023 )

Особенно в теории деформаций принято рассматривать расширение R кольца (коммутативного или нет) идеалом, квадрат которого равен нулю. Такое расширение называется расширением с квадратом нуля , квадратным расширением или просто расширением. Для идеала с квадратом нуля I , поскольку I содержится в левом и правом аннуляторах самого себя, I является -бимодулем.${\displaystyle Р/И}$

В более общем смысле расширение нильпотентным идеалом называется нильпотентным расширением . Например, фактор нётерова коммутативного кольца по нильрадикалу является нильпотентным расширением.${\displaystyle R\to R_{\mathrm {красный} }}$

В общем,

${\displaystyle 0\to I^{n}/I^{n-1}\to R/I^{n-1}\to R/I^{n}\to 0}$

является расширением с квадратом нуля. Таким образом, нильпотентное расширение распадается на последовательные расширения с квадратом нуля. Из-за этого обычно достаточно изучить расширения с квадратом нуля, чтобы понять нильпотентные расширения.

• Формально гладкая карта
• Основная теорема Веддерберна , утверждение о расширении радикалом Джекобсона.

• Сернези, Эдоардо (20 апреля 2007 г.). Деформации алгебраических схем. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30615-3.

• расширение алгебры в nLab
• бесконечно малое расширение в nLab
• Расширение ассоциативной алгебры в Encyclopedia of Mathematics