Аппроксимация Паде

В математике аппроксимация Паде — это «наилучшее» приближение функции вблизи определенной точки рациональной функцией заданного порядка. При использовании этой техники степенной ряд аппроксимации согласуется со степенным рядом приближаемой функции. Техника была разработана около 1890 года Анри Паде , но восходит к Георгу Фробениусу , который ввел эту идею и исследовал особенности рациональных приближений степенных рядов.

Аппроксимация Паде часто дает лучшее приближение функции, чем усечение ее ряда Тейлора , и она может работать там, где ряд Тейлора не сходится . По этим причинам аппроксимации Паде широко используются в компьютерных вычислениях . Они также использовались в качестве вспомогательных функций в диофантовых приближениях и теории трансцендентных чисел , хотя для получения точных результатов их обычно заменяют специальные методы — в некотором смысле вдохновленные теорией Паде. Поскольку аппроксимация Паде является рациональной функцией, в качестве приближения может возникнуть искусственная особая точка, но этого можно избежать с помощью анализа Бореля–Паде.

Причина, по которой аппроксимация Паде имеет тенденцию быть лучшим приближением, чем усечение ряда Тейлора, ясна с точки зрения метода многоточечного суммирования. Поскольку существует много случаев, когда асимптотическое разложение на бесконечности становится 0 или константой, его можно интерпретировать как «неполное двухточечное приближение Паде», в котором обычное приближение Паде улучшает метод усечения ряда Тейлора.

Если задана функция f и два целых числа m ≥ 0 и n ≥ 1 , то аппроксимация Паде порядка [ m / n ] является рациональной функцией

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$что согласуется с f ( x ) в максимально возможном порядке, что составляет$${\displaystyle {\begin{align}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{align}}}$$

Эквивалентно, если разложить в ряд Маклорена ( ряд Тейлора в точке 0), то его первые члены будут равны первым членам , и, таким образом,${\displaystyle R(x)}$${\displaystyle м+н}$${\displaystyle м+н}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

Если аппроксимация Паде существует, она является уникальной как формальный степенной ряд для заданных m и n . ^[1]

Аппроксимация Паде, определенная выше, также обозначается как$${\displaystyle [м/н]_{ф}(х).}$$

Для заданного x аппроксимации Паде могут быть вычислены с помощью алгоритма эпсилон Винна [ ^2], а также других преобразований последовательностей ^[3] из частичных сумм ряда Тейлора функции f , т.е. f также может быть формальным степенным рядом , и, следовательно, аппроксимации Паде могут быть также применены к суммированию расходящихся рядов .$${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$$${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$

Один из способов вычисления аппроксимации Паде — это использование расширенного алгоритма Евклида для наибольшего общего делителя многочлена . ^[4] Это отношение эквивалентно существованию некоторого множителя, такого что его можно интерпретировать как тождество Безу одного шага в вычислении расширенного наибольшего общего делителя многочленов и .$${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$${\displaystyle K(x)}$$${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$${\displaystyle T_{m+n}(x)}$${\displaystyle x^{m+n+1}}$

Напомним, что для вычисления наибольшего общего делителя двух многочленов p и q вычисляется с помощью деления в столбик последовательность остатков k = 1, 2, 3, ... с , пока . Для тождеств Безу расширенного наибольшего общего делителя одновременно вычисляются две последовательности многочленов, чтобы на каждом шаге получить тождество Безу$${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$${\displaystyle r_{k+1}=0}$$${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$$${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

Для аппроксиманта [ m / n ] выполняется расширенный алгоритм Евклида и останавливается в последний момент, имеющий степень n или меньше.$${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$${\displaystyle v_{k}}$

Тогда полиномы дают [ m / n ] аппроксимацию Паде. Если бы нужно было вычислить все шаги вычисления расширенного наибольшего общего делителя, то можно было бы получить антидиагональ таблицы Паде .${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$

Для изучения пересуммирования расходящегося ряда , скажем, может быть полезно ввести функцию Паде или просто рациональную дзета-функцию как где — аппроксимация Паде порядка ( m , n ) функции f ( x ) . Значение дзета-регуляризации при s = 0 принимается равным сумме расходящегося ряда.$${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$$$${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$$${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$

Функциональное уравнение для этой дзета-функции Паде имеет вид , где a _j и b _j — коэффициенты в приближении Паде. Нижний индекс '0' означает, что Паде имеет порядок [0/0] и, следовательно, мы имеем дзета-функцию Римана .$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}$$

Аппроксимации Паде могут использоваться для извлечения критических точек и показателей функций. ^{[5] [6]} В термодинамике, если функция f ( x ) ведет себя неаналитическим образом вблизи точки x = r , например , то x = r называется критической точкой, а p — связанным критическим показателем f . Если известны достаточные члены разложения ряда f , можно приблизительно извлечь критические точки и критические показатели из полюсов и остатков аппроксимаций Паде , где .${\displaystyle f(x)\sim |x-r|^{p}}$${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$${\displaystyle g=f'/f}$

Аппроксимация Паде аппроксимирует функцию по одной переменной. Аппроксимация по двум переменным называется аппроксимацией Чисхолма (в честь Дж. С. Р. Чисхолма ), ^[7] по нескольким переменным — аппроксимацией Кентербери (в честь Грейвса-Морриса в Университете Кента). ^[8]

Традиционное приближение Паде определено для воспроизведения разложения Маклорена до заданного порядка. Поэтому приближение при значении, отличном от точки разложения, может быть плохим. Этого избегают с помощью 2-точечного приближения Паде, которое является типом метода многоточечного суммирования. ^[9] При рассмотрим случай, когда функция , которая выражается асимптотическим поведением : и при дополнительном асимптотическом поведении :${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{0}(x)}$$${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle f_{\infty }(x)}$$${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

Выбирая основное поведение , можно найти приближенные функции , которые одновременно воспроизводят асимптотическое поведение, развивая приближение Паде в различных случаях. В результате в точке , где точность приближения может быть наихудшей в обычном приближении Паде, гарантируется хорошая точность 2-точечного приближения Паде. Следовательно, 2-точечное приближение Паде может быть методом, который дает хорошее приближение глобально для .${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle x=0\sim \infty }$

В случаях, когда выражаются полиномами или рядами отрицательных степеней, показательной функцией, логарифмической функцией или , мы можем применить 2-точечную аппроксимацию Паде к . Существует метод использования этого для получения приближенного решения дифференциального уравнения с высокой точностью. ^[9] Кроме того, для нетривиальных нулей дзета-функции Римана первый нетривиальный ноль можно оценить с некоторой точностью из асимптотического поведения на действительной оси. ^[9]${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$${\displaystyle x\ln x}$${\displaystyle f(x)}$

Дальнейшим расширением 2-точечного аппроксиманта Паде является многоточечный аппроксимант Паде. ^[9] Этот метод обрабатывает точки сингулярности функции, которая должна быть аппроксимирована. Рассмотрим случаи, когда сингулярности функции выражаются индексом${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n_{j}}$$${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

Помимо 2-точечной аппроксимации Паде, которая включает информацию при , этот метод аппроксимирует для уменьшения свойства расхождения при . В результате, поскольку информация об особенностях функции фиксируется, аппроксимация функции может быть выполнена с более высокой точностью.${\displaystyle x=0,x\to \infty }$${\displaystyle x\sim x_{j}}$${\displaystyle f(x)}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (September 2018) (Learn how and when to remove this message)

sin( х ) ^[10]

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

ехр( х ) ^[11]

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

ln(1+ x ) ^[12]

$${\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

Якоби sn( z |3) ^[13]

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

Бессель J ₅ ( x )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

ерф( х )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

Френель C ( x )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}}$$

• Паде стол
• Формула приближения синуса Бхаскары I  – Формула для оценки функции синусаPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теория приближений  – Теория получения приемлемо близких неточных математических вычислений.
• Аппроксимация функции  – Аппроксимация произвольной функции с помощью хорошо себя ведущей функции.

• Бейкер, GA, младший; и Грейвс-Моррис, П. Аппроксиманты Паде . Кембридж, Университет штата Калифорния , 1996.
• Бейкер, Дж. А., младший. Аппроксимация Паде, Scholarpedia, 7(6):9756.
• Брезински, К.; Редиво Залья, М. Методы экстраполяции. Теория и практика . Северная Голландия , 1991. ISBN 978-0444888143 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 5.12. Аппроксимации Паде», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 2016-03-03 , извлечено 2011-08-09.
• Фробениус, Г.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Журнал für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля)]. Том 1881, выпуск 90, страницы 1–17.
• Грэгг, У. Б.; Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа [Обзор SIAM], т. 14, № 1, 1972, стр. 1–62.
• Паде, Х.; Sur la representation approchée d'une fonction par des Fractionelles , Thesis, [Ann. Эколь Нор. (3), 9, 1892, стр. 1–93, приложение.
• Уайнн, П. (1966), «О системах рекурсий, которые получаются среди частных таблицы Паде», Numerische Mathematik , 8 (3): 264– 269, doi :10.1007/BF02162562, S2CID  123789548.

• Вайсштейн, Эрик В. «Аппроксимант Паде». Математический мир .
• Аппроксиманты Паде, Александр Павлик, Проект демонстраций Вольфрама .
• Краткая книга по анализу данных: приближение Паде, Европейская лаборатория физики элементарных частиц им. Рудольфа К. Бока , ЦЕРН .
• Sinewave, Скотт Даттало, последний доступ 11 ноября 2010 г.
• Функция MATLAB для аппроксимации Паде моделей с временными задержками.