Псевдодифференциальный оператор

В математическом анализе псевдодифференциальный оператор является расширением понятия дифференциального оператора . Псевдодифференциальные операторы широко используются в теории уравнений с частными производными и квантовой теории поля , например, в математических моделях, включающих ультраметрические псевдодифференциальные уравнения в неархимедовом пространстве.

Изучение псевдодифференциальных операторов началось в середине 1960-х годов с работ Кона , Ниренберга , Хёрмандера , Унтербергера и Бокобзы. ^[1]

Они сыграли влиятельную роль во втором доказательстве теоремы об индексе Атьи–Зингера с помощью K-теории . Атья и Зингер поблагодарили Хёрмандера за помощь в понимании теории псевдодифференциальных операторов. ^[2]

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

который действует на гладкие функции с компактным носителем в R ⁿ . Этот оператор можно записать как композицию преобразования Фурье , простого умножения на полиномиальную функцию (называемую символом )${\displaystyle u}$

${\displaystyle P(\xi)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}$

и обратное преобразование Фурье в виде:

${\displaystyle \quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi)^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{ \mathbb {R} ^{n}}e^{i(xy)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi }$

1

Здесь — мультииндекс , — комплексные числа, а${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle a_{\alpha }}$

${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$

— это итерированная частная производная, где ∂ _j означает дифференцирование по j -й переменной. Мы вводим константы для облегчения вычисления преобразований Фурье.${\displaystyle -i}$

Вывод формулы ( 1 )

Преобразование Фурье гладкой функции u , компактно носитель которой находится в R ⁿ , равно

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy}$

и формула обращения Фурье дает

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi }$

Применяя P ( D ) к этому представлению u и используя

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

получается формула ( 1 ).

Решить уравнение в частных производных

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

мы (формально) применяем преобразование Фурье к обеим сторонам и получаем алгебраическое уравнение

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}$

^Если символ P (ξ) никогда не равен нулю при ξ ∈  Rn , то можно разделить на P (ξ):

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

По формуле обращения Фурье решение имеет вид

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Здесь предполагается, что:

1. P ( D ) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,
2. его символ P (ξ) никогда не равен нулю,
3. как u, так и ƒ имеют четко определенное преобразование Фурье.

Последнее предположение можно ослабить, используя теорию распределений . Первые два предположения можно ослабить следующим образом.

В последней формуле запишите преобразование Фурье функции ƒ, чтобы получить

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .}$

Это похоже на формулу ( 1 ), за исключением того, что 1/ P (ξ) — это не полиномиальная функция, а функция более общего вида.

Здесь мы рассматриваем псевдодифференциальные операторы как обобщение дифференциальных операторов. Мы расширяем формулу (1) следующим образом. Псевдодифференциальный оператор P ( x , D ) на R ⁿ — это оператор, значение которого на функции u(x) является функцией x :

${\displaystyle \quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi }$

2

где — преобразование Фурье функции u , а символ P ( x ,ξ) в подынтегральном выражении принадлежит определенному классу символов . Например, если P ( x ,ξ) — бесконечно дифференцируемая функция на R ⁿ  ×  R ⁿ со свойством${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

для всех x ,ξ ∈ R ⁿ , всех мультииндексов α, β , некоторых констант C _{α, β} и некоторого действительного числа m , то P принадлежит классу символов Хермандера . Соответствующий оператор P ( x , D ) называется псевдодифференциальным оператором порядка m и принадлежит классу${\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}$${\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}.}$

Линейные дифференциальные операторы порядка m с гладкими ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными операторами порядка m . Композиция PQ двух псевдодифференциальных операторов P ,  Q снова является псевдодифференциальным оператором, а символ PQ может быть вычислен с использованием символов P и Q. Сопряженный и транспонированный псевдодифференциальный оператор является псевдодифференциальным оператором.

Если дифференциальный оператор порядка m является (равномерно) эллиптическим (порядка m ) и обратимым, то его обратный оператор является псевдодифференциальным оператором порядка − m , и его символ может быть вычислен. Это означает, что можно решать линейные эллиптические дифференциальные уравнения более или менее явно, используя теорию псевдодифференциальных операторов.

Дифференциальные операторы локальны в том смысле, что для определения эффекта оператора требуется только значение функции в окрестности точки. Псевдодифференциальные операторы псевдолокальны , что неформально означает, что при применении к распределению они не создают сингулярности в точках, где распределение уже было гладким.

Так же, как дифференциальный оператор может быть выражен через D  = −id/d x в виде

${\displaystyle p(x,D)\,}$

для полинома p в D (который называется символом ), псевдодифференциальный оператор имеет символ в более общем классе функций. Часто можно свести задачу анализа псевдодифференциальных операторов к последовательности алгебраических задач, включающих их символы, и это суть микролокального анализа .

Псевдодифференциальные операторы могут быть представлены ядрами . Сингулярность ядра на диагонали зависит от степени соответствующего оператора. Фактически, если символ удовлетворяет приведенным выше дифференциальным неравенствам с m ≤ 0, можно показать, что ядро ​​является сингулярным интегральным ядром .

• Дифференциальная алгебра для определения псевдодифференциальных операторов в контексте дифференциальных алгебр и дифференциальных колец.
• преобразование Фурье
• Интегральный оператор Фурье
• Колебательный интегральный оператор
• Основная теорема Сато
• Оперативное исчисление

• Стайн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы , Princeton University Press.
• Атья, Майкл Ф.; Сингер , Изадор М. (1968), «Индекс эллиптических операторов I», Annals of Mathematics , 87 (3): 484– 530, doi :10.2307/1970715, JSTOR  1970715

• Николас Лернер, Метрики на фазовом пространстве и несамосопряженные псевдодифференциальные операторы . Псевдодифференциальные операторы. Теория и приложения, 3. Birkhäuser Verlag, Базель, 2010.
• Майкл Э. Тейлор , Псевдодифференциальные операторы, Princeton Univ. Press, 1981. ISBN 0-691-08282-0 
• М.А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X 
• Франсуа Трев , Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4 
• Ф. Г. Фридлендер и М. Джоши, Введение в теорию распределений, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-64971-4 
• Хермандер, Ларс (1987). Анализ линейных частных дифференциальных операторов III: псевдодифференциальные операторы . Springer. ISBN 3-540-49937-7.
• Андре Унтербергер, Псевдодифференциальные операторы и приложения: введение . Серия конспектов лекций, 46. Орхусский университет, Математический институт, Орхус, 1976.

• Лекции по псевдодифференциальным операторам Марка С. Джоши на arxiv.org.
• «Псевдодифференциальный оператор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]