Список вероятностных доказательств невероятностных теорем

Теория вероятностей обычно использует результаты из других областей математики (в основном, анализа). Противоположные случаи, собранные ниже, встречаются относительно редко; однако теория вероятностей систематически используется в комбинаторике через вероятностный метод . Они особенно используются для неконструктивных доказательств.

• Нормальные числа существуют. Более того, существуют вычислимые нормальные числа . Эти не вероятностные теоремы существования следуют из вероятностных результатов: (a) число, выбранное случайно (равномерно на (0,1)) является нормальным почти наверняка (что легко следует из усиленного закона больших чисел ); (b) некоторые вероятностные неравенства, лежащие в основе усиленного закона. Существование нормального числа следует из (a) немедленно. Доказательство существования вычислимых нормальных чисел, основанное на (b), включает дополнительные аргументы. Все известные доказательства используют вероятностные аргументы.
• Теорема Дворецкого, утверждающая, что многомерные выпуклые тела имеют шарообразные сечения, доказана вероятностно. Неизвестно ни одной детерминированной конструкции, даже для многих конкретных тел.
• Диаметр компакта Банаха–Мазура был вычислен с помощью вероятностной конструкции. Детерминированная конструкция неизвестна.
• Первоначальное доказательство того, что неравенство Хаусдорфа–Юнга не может быть распространено на является вероятностным. Доказательство теоремы де Лю–Кахана–Кацнельсона (которая является более сильным утверждением) является частично вероятностным. ^[1]${\displaystyle p>2}$
• Первая конструкция множества Салема была вероятностной. ^[2] Только в 1981 году Кауфман дал детерминированную конструкцию. ^[3]
• Каждая непрерывная функция на компактном интервале может быть равномерно аппроксимирована полиномами, что является теоремой аппроксимации Вейерштрасса . Вероятностное доказательство использует слабый закон больших чисел . Невероятностные доказательства были доступны ранее.
• Существование нигде не дифференцируемой непрерывной функции легко следует из свойств винеровского процесса . Невероятностное доказательство было доступно ранее.
• Формула Стирлинга была впервые открыта Авраамом де Муавром в его « Учении о шансах » (с константой, позже определенной Стирлингом) для использования в теории вероятностей. Несколько вероятностных доказательств формулы Стирлинга (и связанных с ней результатов) были найдены в 20 веке. ^{[4] [5]}

• Единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всей плоскости, являются постоянными функциями по теореме Лиувилля . Вероятностное доказательство через n-мерное броуновское движение хорошо известно. ^[6] Невероятностные доказательства были доступны ранее.
• Некасательные граничные значения ^[7] аналитической или гармонической функции существуют почти во всех граничных точках некасательной ограниченности. Этот результат ( теорема Привалова ), а также несколько результатов такого рода выводятся из сходимости мартингалов . ^[8] Невероятностные доказательства были доступны ранее .
• Принцип Гарнака на границе доказывается с помощью броуновского движения ^[9] (см. также ^[10] ). Невероятностные доказательства были доступны ранее.
• Базельскую сумму Эйлера можно продемонстрировать, рассмотрев ожидаемое время выхода плоского броуновского движения из бесконечной полосы. Ряд других менее известных тождеств можно вывести аналогичным образом. ^[11]${\displaystyle \qquad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},}$

• Теорему Пикара можно доказать, используя свойства извилистости плоского броуновского движения. ^{[12] [13]}
• Тот факт, что каждая функция Липшица на действительной прямой дифференцируема почти всюду, можно доказать с помощью сходимости мартингалов .
• Многомерная формула обращения Фурье может быть установлена ​​с помощью слабого закона больших чисел и некоторых элементарных результатов комплексного анализа. ^[14]
• Аберт и Вайс доказали с помощью вероятностной конструкции, что сдвиги Бернулли слабо содержатся (в смысле Кехриса ) в любом свободном действии, сохраняющем меру , дискретной счетной группы на стандартном вероятностном пространстве. ^[15]

• Ряд теорем, утверждающих существование графов (и других дискретных структур) с требуемыми свойствами, доказаны вероятностным методом . Для некоторых из них имеются невероятностные доказательства.
• Тождество максимума -минимума допускает вероятностное доказательство.
• Неравенство числа пересечений , которое является нижней границей числа пересечений для любого рисунка графа как функции числа вершин и ребер, которые имеет граф.

• Основная теорема алгебры может быть доказана с помощью двумерного броуновского движения. ^[6] Невероятностные доказательства были доступны и ранее.
• Индексная теорема для эллиптических комплексов доказана с использованием вероятностных методов ^[16] (а не методов уравнения теплопроводности). Ранее было доступно невероятностное доказательство.

• Гладкая граница , очевидно, двусторонняя, но негладкая (особенно фрактальная) граница может быть довольно сложной. Было высказано предположение, что она двусторонняя в том смысле, что естественная проекция границы Мартина ^[17] на топологическую границу не превышает 2 к 1 почти всюду. ^[18] Эта гипотеза доказана с использованием броуновского движения , локального времени , стохастического интегрирования , связи , гиперсжимаемости и т. д. ^[19] (см. также ^[20] ). Невероятностное доказательство найдено 18 лет спустя. ^[21]
• Неравенство тора Лёвнера связывает площадь компактной поверхности (топологически тора) с его систолой . Проще всего это доказать , используя вероятностное понятие дисперсии . ^[22] Ранее было доступно невероятностное доказательство.
• Теорема о слабом полупространстве для минимальных поверхностей утверждает, что любая полная минимальная поверхность ограниченной кривизны, которая не является плоскостью, не содержится ни в каком полупространстве. Эта теорема доказывается с помощью связи между броуновскими движениями на минимальных поверхностях. ^[23] Ранее было доступно невероятностное доказательство.

• Теорема о нормальном числе (1909), принадлежащая Эмилю Борелю , может быть одним из первых примеров вероятностного метода , предоставляющего первое доказательство существования нормальных чисел с помощью первой версии усиленного закона больших чисел (см. также первый пункт раздела Анализ).
• Тождества Роджерса –Рамануджана доказываются с использованием цепей Маркова . ^[24] Ранее было доступно невероятностное доказательство.

• Некоммутативная динамика (называемая также квантовой динамикой) формулируется в терминах алгебр фон Неймана и непрерывных тензорных произведений гильбертовых пространств . ^[25] Несколько результатов (например, континуум взаимно неизоморфных моделей) получены вероятностными средствами ( случайные компактные множества и броуновское движение ). ^{[26] [27]} Одна часть этой теории (так называемые системы типа III) переведена на аналитический язык ^[28] и развивается аналитически; ^[29] другая часть (так называемые системы типа II) все еще существует только на вероятностном языке.
• Трехчастные квантовые состояния могут приводить к произвольно большим нарушениям неравенств Белла ^[30] (в резком контрасте с двухчастным случаем). Доказательство использует случайные унитарные матрицы. Других доказательств нет.

• Доказательство теоремы Шеннона о кодировании каналов использует случайное кодирование, чтобы показать существование кода, который обеспечивает пропускную способность канала .

• Вероятностный метод

• Вероятностные доказательства аналитических фактов на MathOverflow