Компакт Банаха–Мазура

В математическом исследовании функционального анализа расстояние Банаха –Мазура является способом определения расстояния на множестве -мерных нормированных пространств . С этим расстоянием множество классов изометрий -мерных нормированных пространств становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха–Мазура .${\displaystyle Q(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Если и — два конечномерных нормированных пространства одинаковой размерности, то обозначим совокупность всех линейных изоморфизмов Обозначим через операторную норму такого линейного отображения — максимальный множитель, на который оно «удлиняет» векторы. Расстояние Банаха–Мазура между и определяется соотношением${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {GL} (X,Y)}$${\displaystyle T:X\to Y.}$${\displaystyle \|Т\|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \delta (X,Y)=\log {\Bigl (}\inf \left\{\left\|T\right\|\left\|T^{-1}\right\|:T\in \operatorname {GL} (X,Y)\right\}{\Bigr )}.}$$

Мы имеем тогда и только тогда, когда пространства и изометрически изоморфны. Оснащенное метрикой δ , пространство классов изометрии -мерных нормированных пространств становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха–Мазура.${\displaystyle \delta (X,Y)=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n}$

Многие авторы предпочитают работать с мультипликативным расстоянием Банаха–Мазура, для которого и$${\displaystyle d(X,Y):=\mathrm {e} ^{\delta (X,Y)}=\inf \left\{\left\|T\right\|\left\|T^{-1}\right\|:T\in \operatorname {GL} (X,Y)\right\},}$$${\displaystyle d(X,Z)\leq d(X,Y)\,d(Y,Z)}$${\displaystyle d(X,X)=1.}$

Теорема Ф. Джона о максимальном эллипсоиде, содержащемся в выпуклом теле, дает оценку:

${\displaystyle d(X,\ell _{n}^{2})\leq {\sqrt {n}},\,}$ ^[1]

где обозначает с евклидовой нормой (см. статью о пространствах ).${\displaystyle \ell _{n}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{p}}$

Из этого следует, что для всех Однако для классических пространств эта верхняя граница диаметра далека от приближения. Например, расстояние между и имеет (только) порядок (с точностью до мультипликативной константы, не зависящей от размерности ).${\displaystyle d(X,Y)\leq n}$${\displaystyle X,Y\in Q(n).}$${\displaystyle Q(n)}$${\displaystyle \ell _{n}^{1}}$${\displaystyle \ell _{n}^{\infty }}$${\displaystyle n^{1/2}}$${\displaystyle n}$

Крупное достижение в направлении оценки диаметра принадлежит Э. Глускину, который в 1981 году доказал, что (мультипликативный) диаметр компакта Банаха–Мазура ограничен снизу величиной для некоторого универсального${\displaystyle Q(n)}$${\displaystyle c\,n,}$${\displaystyle с>0.}$

Метод Глускина вводит класс случайных симметричных многогранников в и нормированных пространствах, имеющих в качестве единичного шара (векторное пространство есть , а норма есть калибровка ) . Доказательство состоит в том, чтобы показать, что требуемая оценка верна с большой вероятностью для двух независимых копий нормированного пространства${\displaystyle P(\omega)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle X(\омега)}$${\displaystyle P(\omega)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P(\omega)}$${\displaystyle X(\omega).}$

${\displaystyle Q(2)}$является абсолютным экстензором. ^[2] С другой стороны, не гомеоморфен кубу Гильберта .${\displaystyle Q(2)}$

• Компактное пространство  – Тип математического пространства
• Общая линейная группа  – Группа обратимых матриц размера n × n

• Яннопулос, А.А. (2001) [1994], «Компакт Банаха – Мазура», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Глускин, Ефим Д. (1981). "Диаметр компакта Минковского примерно равен n ". Функц. Анал. I Прил . 15 (1): 72–73. doi :10.1007/BF01082381. MR  0609798. S2CID  123649549.
• Томчак-Йегерманн, Николь (1989). Расстояния Банаха-Мазура и конечномерные операторные идеалы . Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике 38. Longman Scientific & Technical, Харлоу; опубликовано в США совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. стр. xii+395. ISBN 0-582-01374-7. МР  0993774.
• Компакт Банаха-Мазура
• Заметка о расстоянии Банаха-Мазура до куба
• Компакт Банаха-Мазура — это компактификация Александрова многообразия куба Гильберта.