Теорема Дворецкого

В математике теорема Дворецкого является важной структурной теоремой о нормированных векторных пространствах, доказанной Арье Дворецким в начале 1960-х годов [1] , отвечая на вопрос Александра Гротендика . По сути, она гласит , что каждое достаточно высокоразмерное нормированное векторное пространство будет иметь низкоразмерные подпространства, которые приблизительно евклидовы . Эквивалентно, каждое высокоразмерное ограниченное симметричное выпуклое множество имеет низкоразмерные сечения, которые приблизительно являются эллипсоидами .

Новое доказательство, найденное Виталием Мильманом в 1970-х годах [2], стало одной из отправных точек для развития асимптотического геометрического анализа (также называемого асимптотическим функциональным анализом или локальной теорией банаховых пространств ). [3]

Оригинальные формулировки

Для каждого натурального числа k  ∈  N и каждого ε  > 0 существует натуральное число N ( k ,  ε ) ∈  N такое, что если ( X , ‖·‖) — любое нормированное пространство размерности N ( k ,  ε ), то существуют подпространство E  ⊂  X размерности k и положительно определенная квадратичная форма Q на E такие, что соответствующая евклидова норма

| ⋅ | = В ( ⋅ ) {\displaystyle |\cdot |={\sqrt {Q(\cdot )}}}

на E удовлетворяет:

| х | ≤ ‖ х ‖ ≤ ( 1 + ε ) | х | для каждого   х ∈ Э . {\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{для каждого}}\ x\in E.}

В терминах мультипликативного расстояния Банаха-Мазура d заключение теоремы можно сформулировать следующим образом:

г ( Э ,   ℓ к 2 ) ≤ 1 + ε {\displaystyle d(E,\ \ell _{k}^{2})\leq 1+\varepsilon }

где обозначает стандартное k -мерное евклидово пространство. ℓ к 2 {\displaystyle \ell _{k}^{2}}

Поскольку единичный шар каждого нормированного векторного пространства является ограниченным, симметричным, выпуклым множеством, а единичный шар каждого евклидова пространства является эллипсоидом, теорему можно также сформулировать как утверждение об эллипсоидных сечениях выпуклых множеств.

Дальнейшее развитие событий

В 1971 году Виталий Мильман дал новое доказательство теоремы Дворецкого, используя концентрацию меры на сфере, чтобы показать, что случайное k -мерное подпространство удовлетворяет указанному выше неравенству с вероятностью, очень близкой к 1. Доказательство дает точную зависимость от k :

Н ( к , ε ) ≤ опыт ⁡ ( С ( ε ) к ) {\displaystyle N(k,\varepsilon)\leq \exp(C(\varepsilon)k)}

где константа C ( ε ) зависит только от ε .

Таким образом, мы можем утверждать: для любого ε  > 0 существует константа C(ε) > 0 такая, что для любого нормированного пространства ( X , ‖·‖) размерности N существует подпространство E  ⊂  X размерности k  ≥  C ( ε ) log  N и евклидова норма |⋅| на E такая, что

| х | ≤ ‖ х ‖ ≤ ( 1 + ε ) | х | для каждого   х ∈ Э . {\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{для каждого}}\ x\in E.}

Точнее, пусть S N  − 1 обозначает единичную сферу относительно некоторой евклидовой структуры Q на X , а σ — инвариантную вероятностную меру на S N  − 1. Тогда:

  • существует такое подпространство E с
к = тусклый ⁡ Э ≥ С ( ε ) ( ∫ С Н − 1 ‖ ξ ‖ г σ ( ξ ) макс ξ ∈ С Н − 1 ‖ ξ ‖ ) 2 Н . {\displaystyle k=\dim E\geq C(\varepsilon)\,\left({\frac {\int _{S^{N-1}}\|\xi \|\,d\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{N-1}}\|\xi \|}}\right)^{2}\,N.}
  • Для любого X можно выбрать Q так, чтобы член в скобках был не более
с 1 бревно ⁡ Н Н . {\displaystyle c_{1}{\sqrt {\frac {\log N}{N}}}.}

Здесь c 1 — универсальная константа. Для заданных X и ε наибольшее возможное k обозначается k * ( X ) и называется размерностью Дворецкого X .

Зависимость от ε изучал Йехорам Гордон, [4] [5], который показал, что k * ( X ) ≥  c 2  ε 2  log  N . Другое доказательство этого результата дал Гидеон Шехтман . [6]

Нога Алон и Виталий Мильман показали, что логарифмическая граница размерности подпространства в теореме Дворецкого может быть значительно улучшена, если согласиться принять подпространство, близкое либо к евклидову пространству, либо к пространству Чебышёва . В частности, для некоторой константы c каждое n -мерное пространство имеет подпространство размерности k  ≥ exp( c √ log  N ), близкое либо к ℓк
2или к ℓк
∞. [7]

Важные связанные результаты были доказаны Тадеушем Фигелем , Йорамом Линденштраусом и Мильманом. [8]

Ссылки

  1. ^ Дворецкий, А. (1961). «Некоторые результаты о выпуклых телах и банаховых пространствах». Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Иерусалим, 1960) . Иерусалим: Jerusalem Academic Press. С. 123–160.
  2. ^ Мильман, В. Д. (1971). «Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел». Функц. анал. I прил . 5 (4): 28–37.
  3. ^ Gowers, WT (2000). «Две культуры математики». Математика: границы и перспективы . Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc. стр. 65–78. ISBN 978-0-8218-2070-4. Полное значение концентрации меры было впервые осознано Виталием Мильманом в его революционном доказательстве [Mil1971] теоремы Дворецкого ... Теорема Дворецкого, особенно доказанная Мильманом, является важной вехой в локальной (то есть конечномерной) теории банаховых пространств. Хотя мне жаль математика, который не может увидеть ее внутреннюю привлекательность, эта привлекательность сама по себе не объясняет огромного влияния, которое это доказательство оказало далеко за пределами теории банаховых пространств в результате внедрения идеи концентрации меры в умы многих математиков. В настоящее время опубликовано огромное количество статей, эксплуатирующих эту идею или предлагающих новые методы для демонстрации ее справедливости.
  4. ^ Гордон, И. (1985). «Некоторые неравенства для гауссовских процессов и их применение». Israel Journal of Mathematics . 50 (4): 265–289. doi :10.1007/bf02759761.
  5. ^ Гордон, Y. (1988). «Гауссовские процессы и почти сферические сечения выпуклых тел». Annals of Probability . 16 (1): 180–188. doi : 10.1214/aop/1176991893 .
  6. ^ Шехтман, Г. (1989). «Замечание о зависимости от ε в теореме Дворецкого». Геометрические аспекты функционального анализа (1987–88) . Lecture Notes in Math. Vol. 1376. Berlin: Springer. pp. 274–277. ISBN 978-0-387-51303-4.
  7. ^ Алон, Н.; Мильман , В. Д. (1983), «Вложение в конечномерные банаховы пространства», Israel Journal of Mathematics , 45 (4): 265–280, doi :10.1007/BF02804012, MR  0720303 ℓ ∞ к {\displaystyle \scriptstyle \ell _{\infty }^{k}} .
  8. ^ Фигель, Т.; Линденштраусс, Дж.; Мильман, В.Д. (1976). «Размеры почти сферических сечений выпуклых тел». Бык. амер. Математика. Соц . 82 (4): 575–578. дои : 10.1090/s0002-9904-1976-14108-0 ., расширено в «Размерность почти сферических сечений выпуклых тел», Acta Math. 139 (1977), 53–94.

Дальнейшее чтение

  • Вершинин, Роман (2018). «Теорема Дворецкого–Мильмана». Вероятность больших размерностей: введение с приложениями в науке о данных . Cambridge University Press. стр. 254–264. doi :10.1017/9781108231596.014.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dvoretzky%27s_theorem&oldid=1223153200"