Простой k-кортеж
Повторяющаяся картина различий между простыми числами

В теории чисел простой k -кортеж — это конечный набор значений, представляющих повторяющийся шаблон различий между простыми числами . Для k - кортежа ( a , b , …) позиции, в которых k -кортеж соответствует шаблону в простых числах , задаются набором целых чисел n, таким образом, что все значения ( n + a , n + b , …) являются простыми. Обычно первое значение в k -кортеже равно 0, а остальные — различные положительные четные числа . [1]

Именованные шаблоны

Некоторые из самых коротких k -кортежей известны под другими общепринятыми названиями:

(0, 2)близнецы простые числа
(0, 4)двоюродные праймы
(0, 6)сексуальные праймы
(0, 2, 6), (0, 4, 6)простые триплеты
(0, 6, 12)сексуальные тройняшки
(0, 2, 6, 8)простые четверки , простая декада
(0, 6, 12, 18)сексуальные главные четверняшки
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)простые пятерняшки
(0, 4, 6, 10, 12, 16)простые секступлеты

Последовательность OEIS OEIS : A257124 охватывает 7-кортежи ( простые септоплеты ) и содержит обзор связанных последовательностей, например, три последовательности, соответствующие трем допустимым 8-кортежам ( простым октаплетам ), и объединение всех 8-кортежей. Первый член в этих последовательностях соответствует первому простому числу в наименьшем простом созвездии, показанном ниже.

Допустимость

Для того чтобы k -кортеж имел бесконечно много позиций, в которых все его значения являются простыми, не может существовать простого числа p, такого, что кортеж включает все возможные различные значения по модулю  p . Ведь если бы такое простое число p существовало, то независимо от того, какое значение n было выбрано, одно из значений, образованных добавлением n к кортежу, делилось бы на  p , поэтому могло бы быть только конечное число размещений простых чисел (только те, которые включают само p ). Например, числа в k -кортеже не могут принимать все три значения 0, 1 и 2 по модулю 3; в противном случае полученные числа всегда включали бы кратное 3 и, следовательно, не все могли бы быть простыми, если только одно из чисел не равно 3. K -кортеж, удовлетворяющий этому условию (т. е. у него нет p, для которого он охватывает все различные значения по модулю  p ), называется допустимым .

Предполагается , что каждый допустимый k -кортеж соответствует бесконечно многим позициям в последовательности простых чисел. Однако нет допустимого кортежа, для которого это было бы доказано, за исключением кортежа 1 (0). В этом случае гипотеза эквивалентна утверждению, что существует бесконечно много простых чисел . Тем не менее, Итан Чжан доказал в 2013 году, что существует по крайней мере один кортеж из 2, который соответствует бесконечно многим позициям; последующие работы показали, что такой кортеж из 2 существует со значениями, отличающимися на 246 или меньше, который соответствует бесконечно многим позициям. [2]

Позиции, соответствующие недопустимым шаблонам

Хотя (0, 2, 4) недопустимо, оно создает единственный набор простых чисел (3, 5, 7) .

Некоторые недопустимые k -кортежи имеют более одного решения, состоящего из всех простых чисел. Этого не может произойти для k -кортежа, включающего все значения по модулю 3, поэтому, чтобы обладать этим свойством, k -кортеж должен охватывать все значения по модулю большего простого числа, что подразумевает, что в кортеже есть по крайней мере пять чисел. Самый короткий недопустимый кортеж с более чем одним решением — это 5-кортеж (0, 2, 8, 14, 26) , который имеет два решения: (3, 5, 11, 17, 29) и (5, 7, 13, 19, 31) , где все значения по модулю 5 включены в обоих случаях.

Главные созвездия

Диаметр k -кортежа равен разности его наибольшего и наименьшего элементов. Допустимый простой k -кортеж с наименьшим возможным диаметром d (среди всех допустимых k -кортежей ) является простым созвездием . Для всех n ≥ k это всегда будет производить последовательные простые числа. [3] (Напомним, что все n являются целыми числами, для которых значения ( n + a , n + b , …) являются простыми.)

Это означает, что для больших n :

п н + к − 1 − п н ≥ г {\displaystyle p_{n+k-1}-p_{n}\geq d}

где p n — n - е простое число.

Первые несколько главных созвездий:

кгСозвездиенаименьший [4]
22(0, 2)(3, 5)
36(0, 2, 6)
(0, 4, 6)		(5, 7, 11)
(7, 11, 13)
48(0, 2, 6, 8)(5, 7, 11, 13)
512(0, 2, 6, 8, 12)
(0, 4, 6, 10, 12)		(5, 7, 11, 13, 17)
(7, 11, 13, 17, 19)
616(0, 4, 6, 10, 12, 16)(7, 11, 13, 17, 19, 23)
720(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)		(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)
(5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
826(0, 2, 6, 8 , 12, 18, 20
, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26)
(0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26) )		(11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819 )
930(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (
0, 2, 6, 12, 14, 20) , 24, 26, 30)
(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)		(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29 , 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37
)
, 41, 43, 47)
(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

Диаметр d как функция k — это последовательность A008407 в OEIS .

Простое созвездие иногда называют простым k -кортежем , но некоторые авторы резервируют этот термин для случаев, которые не являются частью более длинных k -кортежей.

Первая гипотеза Харди–Литтлвуда предсказывает, что асимптотическую частоту любого простого созвездия можно вычислить. Хотя гипотеза не доказана, она, скорее всего, верна. Если это так, то это означает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда , напротив, ложна.

Простейшие арифметические прогрессии

Простой k -кортеж вида (0, n , 2 n , 3 n , …, ( k  − 1) n ) называется простой арифметической прогрессией . Для того чтобы такой k -кортеж соответствовал тесту допустимости, n должно быть кратно праймориалу k . [ 5 ]

числа Скьюза

Числа Скьюза для простых k -кортежей являются расширением определения числа Скьюза для простых k -кортежей, основанного на первой гипотезе Харди–Литтлвуда (Tóth (2019)). Пусть обозначает простой k -кортеж, количество простых чисел p ниже x, которые все являются простыми, пусть и пусть обозначает его константу Харди–Литтлвуда (см. первую гипотезу Харди–Литтлвуда ). Тогда первое простое число p , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для k -кортежа P , т. е. такое, что П = ( п ,   п + я 1 ,   п + я 2 ,   …   ,   п + я к ) {\displaystyle P=(p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \точки \ ,\ p+i_{k})} π П ( х ) {\displaystyle \пи _{P}(x)} п ,   п + я 1 ,   п + я 2 ,   …   ,   п + я к {\displaystyle p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \точки \ ,\ p+i_{k}} ли П ⁡ ( х ) = ∫ 2 х г т ( вн ⁡ т ) к + 1 {\textstyle \operatorname {li} _{P}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}} С П {\displaystyle C_{P}}

π П ( п ) > С П ли П ⁡ ( п ) , {\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}

(если такое простое число существует) — это число Скьюза для P.

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюза для простых k -кортежей:

Простой k -кортежЧисло СкьюзаНайдено
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ) {\displaystyle (p,\ p+2)} 1369391Волк (2011)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 4 ) {\displaystyle (p,\ p+4)} 5206837Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 6 ) {\ displaystyle (p, \ p + 2, \ p + 6)} 87613571Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 4 ,   п + 6 ) {\ displaystyle (p, \ p + 4, \ p + 6)} 337867Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 6 ,   п + 8 ) {\ displaystyle (p, \ p + 2, \ p + 6, \ p + 8)} 1172531Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 4 ,   п + 6 ,   п + 10 ) {\ displaystyle (p, \ p + 4, \ p + 6, \ p + 10)} 827929093Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 6 ,   п + 8 ,   п + 12 ) {\displaystyle (п,\ п+2,\ п+6,\ п+8,\ п+12)} 21432401Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 4 ,   п + 6 ,   п + 10 ,   п + 12 ) {\displaystyle (п,\ п+4,\ п+6,\ п+10,\ п+12)} 216646267Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 4 ,   п + 6 ,   п + 10 ,   п + 12 ,   п + 16 ) {\displaystyle (p,\ p+4,\ p+6,\ p+10,\ p+12,\ p+16)} 251331775687Тот (2019)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 6 ,   п + 8 ,   п + 12 ,   п + 18 ,   п + 20 ) {\displaystyle (p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12,\ p+18,\ p+20)} 7572964186421Пфёртнер (2020)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 8 ,   п + 12 ,   п + 14 ,   п + 18 ,   п + 20 ) {\displaystyle (p,\ p+2,\ p+8,\ p+12,\ p+14,\ p+18,\ p+20)} 214159878489239Пфёртнер (2020)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 6 ,   п + 8 ,   п + 12 ,   п + 18 ,   п + 20 ,   п + 26 ) {\displaystyle (p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12,\ p+18,\ p+20,\ p+26)} 1203255673037261Пфёртнер / Лун (2021)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 2 ,   п + 6 ,   п + 12 ,   п + 14 ,   п + 20 ,   п + 24 ,   п + 26 ) {\displaystyle (p,\ p+2,\ p+6,\ p+12,\ p+14,\ p+20,\ p+24,\ p+26)} 523250002674163757Лун / Пфёртнер (2021)
⁠ ⁠ ( п ,   п + 6 ,   п + 8 ,   п + 14 ,   п + 18 ,   п + 20 ,   п + 24 ,   п + 26 ) {\displaystyle (p,\ p+6,\ p+8,\ p+14,\ p+18,\ p+20,\ p+24,\ p+26)} 750247439134737983Пфёртнер / Лун (2021)

Число Скьюза (если оно существует) для сексуальных простых чисел ⁠ ⁠ ( п , п + 6 ) {\displaystyle (p,\;p+6)} до сих пор неизвестно.

Ссылки

  1. ^ Крис Колдуэлл, «The Prime Glossary: ​​k-tuple» на The Prime Pages .
  2. ^ "Ограниченные промежутки между простыми числами". PolyMath . Получено 22.04.2019 .
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Первое созвездие». Математический мир .
  4. ^ Норман Лун, «Большая база данных наименьших простых k-кортежей».
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Простая арифметическая прогрессия». MathWorld .
  • Tóth, László (2019), "Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда" (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID  203836016.
  • Вольф, Марек (2011), «Число Скьюза для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2(x) − C2Li2(x)» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 17 : 87–92, doi : 10.12921/cmst.2011.17.01.87-92 , S2CID  59578795.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Prime_k-tuple&oldid=1250845572#Prime_constellations"