Модель гистерезиса Прейзаха
Модель магнитного гистерезиса

В электромагнетизме модель гистерезиса Прейзаха является моделью магнитного гистерезиса . Первоначально она обобщала гистерезис как связь между магнитным полем и намагниченностью магнитного материала как параллельное соединение независимых релейных гистеронов . Впервые она была предложена в 1935 году Ференцем (Францем) Прейзахом в немецком академическом журнале Zeitschrift für Physik . [1] В области ферромагнетизма иногда считается, что модель Прейзаха описывает ферромагнитный материал как сеть небольших независимо действующих доменов , каждый из которых намагничивается до значения либо или . Образец железа , например, может иметь равномерно распределенные магнитные домены, что приводит к чистому магнитному моменту, равному нулю. час {\displaystyle ч} − час {\displaystyle -h}

Математически похожие модели, по-видимому, были независимо разработаны в других областях науки и техники. Одним из примечательных примеров является модель капиллярного гистерезиса в пористых материалах, разработанная Эвереттом и его коллегами. С тех пор, после работы таких людей, как М. Красносельский, А. Покровский, А. Висинтин и И. Д. Маергойз, модель стала широко принята в качестве общего математического инструмента для описания явлений гистерезиса различных видов. [2] [3]

Неидеальное реле

Релейный гистерон является фундаментальным строительным блоком модели Прейзаха. Он описывается как двузначный оператор, обозначенный как . Его карта ввода-вывода имеет форму цикла, как показано: Р α , β {\displaystyle R_{\альфа ,\бета }}

Выше реле величиной 1 определяет порог «выключения» и определяет порог «включения». α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета}

Графически, если меньше , выход «низкий» или «выключен». При увеличении выход остается низким, пока не достигнет — в этот момент выход переключается «включен». Дальнейшее увеличение не имеет изменений. Уменьшение не становится низким, пока снова не достигнет . Очевидно, что оператор реле следует по пути цикла, и его следующее состояние зависит от его предыдущего состояния. х {\displaystyle x} α {\displaystyle \альфа} у {\displaystyle у} х {\displaystyle x} х {\displaystyle x} β {\displaystyle \бета} х {\displaystyle x} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} х {\displaystyle x} α {\displaystyle \альфа} Р α , β {\displaystyle R_{\альфа ,\бета }}

Математически выход выражается как: Р α , β {\displaystyle R_{\альфа ,\бета }}

у ( х ) = { 1  если  х ≥ β 0  если  х ≤ α к  если  α < х < β {\displaystyle y(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}x\geq \beta \\0&{\mbox{ if }}x\leq \alpha \\k&{\mbox{ if }}\alpha <x<\beta \end{cases}}}

Где, если последний раз был за пределами границ , то он был в регионе ; и если последний раз был за пределами границ , то он был в регионе . к = 0 {\displaystyle к=0} х {\displaystyle x} α < х < β {\displaystyle \альфа <x<\бета } х ≤ α {\displaystyle x\leq \альфа} к = 1 {\displaystyle к=1} х {\displaystyle x} α < х < β {\displaystyle \альфа <x<\бета } х ≥ β {\displaystyle x\geq \beta }

Это определение гистерона показывает, что текущее значение полной петли гистерезиса зависит от истории входной переменной . у {\displaystyle у} х {\displaystyle x}

Дискретная модель Прейзаха

Модель Preisach состоит из множества релейных гистеронов, соединенных параллельно, с заданными весами и суммированных. Это можно визуализировать с помощью блок-схемы:

Каждое из этих реле имеет различные и пороговые значения и масштабируется по . С увеличением истинная кривая гистерезиса аппроксимируется лучше. α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета} μ {\displaystyle \мю} Н {\displaystyle N}

Пример гистерезиса, смоделированного с различным числом гистеронов N.

В пределе, когда мы приближаемся к бесконечности, мы получаем непрерывную модель Прейзаха. [4] [5] Н {\displaystyle N}

у ( т ) = ∬ α ≥ β μ ( α , β ) Р α β х ( т ) г α г β {\displaystyle y(t)=\iint _ {\alpha \geq \beta}\mu (\alpha,\beta)R_ {\alpha \beta }x(t)d\alpha d\beta}

Самолет Прейзаха

Один из самых простых способов взглянуть на модель Прейзаха — использовать геометрическую интерпретацию. Рассмотрим плоскость координат . На этой плоскости каждая точка отображается на определенный гистерон реле . Каждое реле может быть нанесено на эту так называемую плоскость Прейзаха со своими значениями. В зависимости от их распределения на плоскости Прейзаха гистероны реле могут представлять гистерезис с хорошей точностью. ( α , β ) {\displaystyle (\альфа,\бета)} ( α я , β я ) {\displaystyle (\альфа _{i},\бета _{i})} Р α я , β я {\displaystyle R_{\альфа _{i},\бета _{i}}} ( α , β ) {\displaystyle (\альфа,\бета)}

Мы рассматриваем только полуплоскость , так как любой другой случай не имеет физического эквивалента в природе. α < β {\displaystyle \альфа <\бета}

Далее мы берем определенную точку на полуплоскости и строим прямоугольный треугольник, проводя две линии, параллельные осям, обе из точки к линии . α = β {\displaystyle \альфа =\бета}

Теперь представим функцию плотности Прейзаха, обозначенную . Эта функция описывает количество релейных гистеронов каждого отдельного значения . По умолчанию мы говорим, что вне прямоугольного треугольника . μ ( α , β ) {\displaystyle \mu (\альфа,\бета)} ( α я , β я ) {\displaystyle (\альфа _{i},\бета _{i})} μ ( α , β ) = 0 {\displaystyle \mu (\альфа,\бета)=0}

Представлена ​​модифицированная формулировка классической модели Прейзаха, позволяющая получить аналитическое выражение функции Эверетта. [6] Это делает модель значительно более быстрой и особенно подходящей для включения в расчеты электромагнитного поля или коды анализа электрических цепей .

Векторная модель Прейзаха

Векторная модель Прейзаха строится как линейная суперпозиция скалярных моделей. [7] Для учета одноосной анизотропии материала функции Эверетта расширяются по коэффициентам Фурье . В этом случае измеренные и смоделированные кривые находятся в очень хорошем согласии. [8] Другой подход использует различные релейные гистероны, замкнутые поверхности, определенные на трехмерном входном пространстве. В общем случае сферический гистерон используется для векторного гистерезиса в 3D, [9] а круговой гистерон используется для векторного гистерезиса в 2D. [10]

Приложения

Модель Прейзаха применялась для моделирования гистерезиса в самых разных областях, включая изучение необратимых изменений в гидравлической проводимости почвы в результате засоления и натриевых условий [11] , моделирование удержания воды в почве [12] [13] [14] [15] и влияние напряжений и деформаций на структуры почвы и горных пород. [16]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Прейзах, Ф (1935). «Über die Magneticische Nachwirkung». Zeitschrift für Physik . 94 (5–6): 277–302. Бибкод : 1935ZPhy...94..277P. дои : 10.1007/bf01349418. S2CID  122409841.
  2. ^ Смит, Ральф К. (2005). Интеллектуальные материальные системы: разработка модели . Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, Общество промышленной и прикладной математики. стр. 189. ISBN 978-0-89871-583-5.
  3. ^ Визинтин, Аугусто (1994). Дифференциальные модели гистерезиса . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-11557-2.
  4. ^ Mayergoyz, ID; Friedman, G. (1988). «Обобщенная модель гистерезиса Прейзаха». IEEE Transactions on Magnetics . 24 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 212–217. Bibcode : 1988ITM....24..212M. doi : 10.1109/20.43892. ISSN  0018-9464.
  5. ^ Mayergoyz, ID (1991). «Классическая модель гистерезиса Прейсаха». Математические модели гистерезиса . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 1–63. doi :10.1007/978-1-4612-3028-1_1. ISBN 978-1-4612-7767-5. S2CID  118969949.
  6. ^ Сабо, Жолт (февраль 2006 г.). «Функции Прейсаха, приводящие к проницаемости замкнутой формы». Physica B: Condensed Matter . 372 (1–2): 61–67. Bibcode : 2006PhyB..372...61S. doi : 10.1016/j.physb.2005.10.020.
  7. ^ Mayergoyz, ID (2003). Математические модели гистерезиса и их приложения (1-е изд.). Амстердам: Elsevier. ISBN 978-0-12-480873-7.
  8. ^ Кучманн, Миклош; Столериу, Лаурентиу. "Анизотропная векторная модель Прейсаха" (pdf) . Журнал передовых исследований в физике . 1 (1): 011009 . Получено 3 августа 2016 г. .
  9. ^ Карделли, Эрманно; Делла Торре, Эдвард; Фаба, Антонио (2010). «Общий векторный оператор гистерезиса: расширение на трехмерный случай». IEEE Transactions on Magnetics . 46 (12): 3990–4000. Bibcode : 2010ITM....46.3990C. doi : 10.1109/tmag.2010.2072933. S2CID  31552464.
  10. ^ Карделли, Эрманно (2011). «Общий оператор гистерезиса для моделирования векторных полей». IEEE Transactions on Magnetics . 47 (8): 2056–2067. Bibcode : 2011ITM....47.2056C. doi : 10.1109/tmag.2011.2126589. S2CID  25965526.
  11. ^ Крамер, Айзек; Байер, Ювал; Адейемо, Тайво; Мау, Яир (14.04.2021). «Гистерезис гидравлической проводимости почвы под воздействием солености и содичности — модельная основа». Гидрология и науки о системах Земли . 25 (4): 1993–2008. Bibcode : 2021HESS...25.1993K. doi : 10.5194/hess-25-1993-2021 . ISSN  1027-5606.
  12. ^ Флинн, Д.; Рассказов, О. (2005-01-01). «Об интегрировании ОДУ с использованием производной нелинейности Прейзаха». Journal of Physics: Conference Series . 22 (1): 43–55. Bibcode : 2005JPhCS..22...43F. doi : 10.1088/1742-6596/22/1/003 . ISSN  1742-6588.
  13. ^ Флинн, Денис; Макнамара, Хью; О'кане, Филипп; Покровский, Алексей (2006-01-01), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), "Глава 7 - Применение модели Прейзаха к гистерезису почвенной влаги", Наука о гистерезисе , Оксфорд: Academic Press, стр. 689–744, doi :10.1016/b978-012480874-4/50025-7, ISBN 978-0-12-480874-4, получено 2022-02-07
  14. ^ О'Кейн, Дж. П.; Флинн, Д. (17.01.2007). «Пороги, переключатели и гистерезис в гидрологии от уровня воды до масштаба водосбора: теория нелинейных систем». Гидрология и науки о системах Земли . 11 (1): 443–459. Bibcode : 2007HESS...11..443O. doi : 10.5194/hess-11-443-2007 . ISSN  1027-5606.
  15. ^ Макнамара, Х. (январь 2014 г.). «Оценка рассеивания энергии из-за гистерезиса почвенной влаги». Water Resources Research . 50 (1): 725–735. Bibcode : 2014WRR....50..725M. doi : 10.1002/2012wr012634. ISSN  0043-1397. S2CID  129547567.
  16. ^ Гайер, Роберт А. (2006-01-01), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 6 — Гистерезисные упругие системы: геофизические материалы», Наука о гистерезисе , Оксфорд: Academic Press, стр. 555–688, doi :10.1016/b978-012480874-4/50024-5, ISBN 978-0-12-480874-4, получено 2022-02-07
  • Учебное пособие по гистерезису в Университетском колледже Корка
  • Будапештский университет технологий и экономики, Венгрия Реализация модели Прейсаха в Matlab, разработанная Ж. Сабо.
  • [1] Реализация модели Прейзаха на Python.
  • [2] Реализация модели Прейсаха в Matlab.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Preisach_model_of_hysteresis&oldid=1220194414"