Предоднородное векторное пространство

В математике предоднородное векторное пространство (PVS) — это конечномерное векторное пространство V вместе с подгруппой G общей линейной группы GL( V ), такое, что G имеет открытую плотную орбиту в V . Термин предоднородное векторное пространство был введен Микио Сато в 1970 году. Эти пространства имеют множество приложений в геометрии , теории чисел и анализе , а также в теории представлений . Неприводимые PVS были классифицированы сначала Винбергом в его диссертации 1960 года в частном случае, когда G является простым, а затем Сато и Тацуо Кимурой в 1977 году в общем случае с помощью преобразования, известного как «рокировка». Они подразделяются на два типа в зависимости от того, действует ли полупростая часть G предоднородно или нет. Если нет, то существует однородный многочлен на V , который инвариантен относительно полупростой части G .

Параметр

В постановке Сато G является алгебраической группой , а V является рациональным представлением G , которое имеет (непустую) открытую орбиту в топологии Зарисского . Однако PVS также можно изучать с точки зрения теории Ли: например, в Knapp (2002) G является комплексной группой Ли , а V является голоморфным представлением G с открытой плотной орбитой. Эти два подхода по сути одинаковы, и теория справедлива для действительных чисел. Для простоты обозначений мы предполагаем, что действие G на V является точным представлением . Затем мы можем отождествить G с ее образом в GL( V ), хотя на практике иногда удобно позволить G быть покрывающей группой .

Хотя предоднородные векторные пространства не обязательно распадаются на прямые суммы неприводимых, естественно изучать неприводимые PVS (т. е. когда V является неприводимым представлением G ). В этом случае теорема Эли Картана показывает, что

Г ≤ ГЛ( В )

является редуктивной группой с центром , который не более чем одномерен. Это, вместе с очевидным ограничением размерности

размерность G ≥ размерность V ,

является ключевым компонентом классификации Сато–Кимуры.

Рокировка

Классификация PVS осложняется следующим фактом. Предположим, что m > n > 0 и V — m -мерное представление G над полем F. Тогда:

( G × SL( n ), V ⊗ F ⁿ ) является PVS тогда и только тогда, когда ( G × SL( m − n ), V ^* ⊗ F ^{m − n} ) является PVS.

Доказательство состоит в том , чтобы заметить, что оба условия эквивалентны существованию открытой плотной орбиты действия G на грассманиане n -плоскостей в V , поскольку он изоморфен грассманиану ( m − n ) -плоскостей в V ^* .

(В случае, если G является редуктивным, пара ( G , V ) эквивалентна паре ( G , V ^* ) посредством автоморфизма G. )

Это преобразование PVS называется рокировкой . Если задан PVS V , новый PVS может быть получен путем тензоризации V с F и рокировки. Повторяя этот процесс и перегруппировывая тензорные произведения, можно получить много новых примеров, которые называются «эквивалентными рокировке». Таким образом, PVS можно сгруппировать в классы эквивалентности рокировки. Сато и Кимура показывают, что в каждом таком классе по сути есть один PVS минимальной размерности, который они называют «редуцированным», и они классифицируют редуцированные неприводимые PVS.

Классификация

Классификация неприводимых приведенных PVS ( G , V ) распадается на два случая: те, для которых G полупроста, и те, для которых она редуктивна с одномерным центром. Если G полупроста, она является (возможно, покрытием) подгруппы SL( V ), и, следовательно, G × GL(1) действует предоднородно на V , с одномерным центром. Мы исключаем такие тривиальные расширения полупростых PVS из PVS с одномерным центром. Другими словами, в случае, когда G имеет одномерный центр, мы предполагаем, что полупростая часть не действует предоднородно; отсюда следует, что существует относительный инвариант , т. е. функция, инвариантная относительно полупростой части G , которая однородна определенной степени d .

Это позволяет ограничить внимание полупростыми G ≤ SL( V ) и разделить классификацию следующим образом:

( G , V ) — ПВС;
( G , V ) не является PVS, но ( G × GL(1), V ) является.

Однако оказывается, что классификация намного короче, если допустить не только продукты с GL(1), но и с SL( n ) и GL( n ). Это вполне естественно в терминах преобразования рокировки, обсуждавшегося ранее. Таким образом, мы хотим классифицировать неприводимые приведенные PVS в терминах полупростых G ≤ SL( V ) и n ≥ 1, таких, что либо:

( G × SL( n ), V ⊗ F ⁿ ) — это PVS;
( G × SL( n ), V ⊗ F ⁿ ) не является PVS, но ( G × GL( n ), V ⊗ F ⁿ ) является.

В последнем случае существует однородный многочлен , который разделяет орбиты G × GL( n ) на орбиты G × SL( n ) .

Это имеет интерпретацию в терминах грассманиана Gr _n ( V ) n -плоскостей в V (по крайней мере для n ≤ dim V ). В обоих случаях G действует на Gr _n ( V ) с плотной открытой орбитой U . В первом случае дополнение Gr _n ( V ) ∖ U имеет коразмерность ≥ 2; во втором случае это делитель некоторой степени d , а относительный инвариант является однородным многочленом степени nd .

Далее будет представлен список классификации комплексных чисел.

Общие примеры

Г	В	Тип 1	Тип 2	Группа изотропии типа 2	Степень
G ⊆ SL( м , С )	См	п ≥ м +1	н = м	Г	м
СЛ( м , С )	См	м − 1 ≥ н ≥ 1 ^*
СЛ( м , С )	Λ ²C ^м	m нечетное, n = 1, 2	m четное, n = 1	Sp( м , С )	м /2
СЛ( м , С )	С ²С ^м		п = 1	SO( м , С )	м
SO( м , С )	См		м − 1 ≥ н ≥ 1 ^*	SO( n , C ) × SO( m − n , C )	2
Sp( 2m , C )	С ^{2 м}	2 m − 1 ≥ n ≥ 1 ^* , n нечетное	2 m − 1 ≥ n ≥ 1 ^* , n четное	Sp( n , C ) × Sp( 2m − n , C )	1

^* Строго говоря, мы должны ограничиться n ≤ (dim V )/2, чтобы получить сокращенный пример.

Неправильные примеры

Тип 1

Спин(10, C ) на C ¹⁶

Тип 2

Sp(2m , C ) × SO(3 , C ⁾ на C2m ^⊗^C3

Оба эти примера являются PVS только для n = 1 .

Оставшиеся примеры

Все оставшиеся примеры относятся к типу 2. Чтобы избежать обсуждения появляющихся конечных групп, в списках представлена алгебра Ли группы изотропии, а не сама группа изотропии.

Г	В	н	Изотропная алгебра	Степень
СЛ(2, С )	С ³С ²	1	0	4
СЛ(6, С )	Л ³С ⁶	1	${\mathfrak {sl}}$ (3, С ) × (3, С ) ${\mathfrak {sl}}$	4
СЛ(7, С )	Λ ³C ⁷	1	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂	7
СЛ(8, С )	Λ ³C ⁸	1	${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	16
СЛ(3, С )	С ²С ³	2	0	6
СЛ(5, С )	Λ ²C ³	3, 4	${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) , 0	5, 10
СЛ(6, С )	Λ ²C ³	2	${\mathfrak {sl}}$ (2, С ) × (2, С ) × (2, С ) ${\mathfrak {sl}}$ ${\mathfrak {sl}}$	6
СЛ(3, С ) × СЛ(3, С )	С ³ ⊗ С ³	2	${\mathfrak {gl}}$ (1, С ) × (1, С ) ${\mathfrak {gl}}$	6
Сп(6, С )	Λ³ ₀С⁶	1	${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	4
Спин(7, С )	С ⁸	1, 2, 3	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂, (3, С ) × (2, С ) , (2, С ) × (3, С ) ${\mathfrak {sl}}$ ${\mathfrak {so}}$ ${\mathfrak {sl}}$ ${\mathfrak {so}}$	2, 2, 2
Спин(9, С )	С ¹⁶	1	${\mathfrak {spin}}$ (7, С )	2
Спин(10, С )	С ¹⁶	2, 3	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂× (2, С ) ${\mathfrak {sl}}$ , (2, С ) × (3, С ) ${\mathfrak {sl}}$ ${\mathfrak {so}}$	2, 4
Спин(11, С )	С ³²	1	${\mathfrak {sl}}$ (5, С )	4
Спин(12, С )	С ³²	1	${\mathfrak {sl}}$ (6, С )	4
Спин(14, С )	С ⁶⁴	1	${\mathfrak {g}}$ ^С ₂× ${\mathfrak {g}}$ ^С ₂	8
Г^С ₂	С⁷	1, 2	${\mathfrak {sl}}$ (3, С ) , (2, С ) ${\mathfrak {gl}}$	2, 2
Э^С ₆	С ²⁷	1, 2	${\mathfrak {f}}$ ^С ₄, (8, С ) ${\mathfrak {so}}$	3, 6
Э^С ₇	С ⁵⁶	1	${\mathfrak {e}}$ ^С ₆	4

Здесь Λ³
₀C ⁶ ≅ C ¹⁴ обозначает пространство 3-форм, контракция которых с данной симплектической формой равна нулю.

Доказательства

Сато и Кимура устанавливают эту классификацию, создавая список возможных неприводимых предоднородных ( G , V ) , используя тот факт, что G является редукционным и размерное ограничение. Затем они проверяют, является ли каждый член этого списка предоднородным или нет.

Однако существует общее объяснение, почему большинство пар ( G , V ) в классификации являются предоднородными, в терминах изотропных представлений обобщенных многообразий флагов . Действительно, в 1974 году Ричардсон заметил, что если H — полупростая группа Ли с параболической подгруппой P , то действие P на нильрадикал ^⊥ ее алгебры Ли имеет плотную открытую орбиту. Это показывает, в частности (и было независимо отмечено Винбергом в 1975 году), что фактор Леви G группы P действует предоднородно на V := ^⊥ /[ ^⊥ , ^⊥ ] . Почти все примеры в классификации можно получить, применив эту конструкцию с P — максимальной параболической подгруппой простой группы Ли H : они классифицируются связными диаграммами Дынкина с одним выделенным узлом. ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$

Приложения

Одна из причин, по которой PVS интересны, заключается в том, что они классифицируют общие объекты, возникающие в G -инвариантных ситуациях. Например, если G = GL(7) , то приведенные выше таблицы показывают, что существуют общие 3-формы под действием G , и стабилизатор такой 3-формы изоморфен исключительной группе Ли G ₂ .

Другой пример касается предоднородных векторных пространств с кубическим относительным инвариантом. Согласно классификации Сато-Кимуры, по сути, существует четыре таких примера, и все они происходят из комплексифицированных изотропных представлений эрмитовых симметричных пространств для большей группы H (т. е. G — полупростая часть стабилизатора точки, а V — соответствующее касательное представление).

В каждом случае общая точка в V отождествляется с комплексификацией йордановой алгебры эрмитовых матриц 3 × 3 (над алгебрами с делением R , C , H и O соответственно), а кубический относительный инвариант отождествляется с подходящим определителем. Алгебра изотропии такой общей точки, алгебра Ли G и алгебра Ли H дают комплексификации первых трех строк магического квадрата Фрейденталя .

ЧАС	Г	В	Изотропная алгебра	йорданова алгебра
Сп(6, С )	СЛ(3, С )	С ²С ³	${\mathfrak {so}}$ (3, С )	J3 ( Р )
СЛ(6, С )	СЛ(3, С ) × СЛ(3, С )	С ³ ⊗ С ³	${\mathfrak {sl}}$ (3, С )	J3 ( С )
SO(12, С )	СЛ(6, С )	Λ ²C ⁶	${\mathfrak {sp}}$ (6, С )	J3 ( Н )
Э^С ₇	Э^С ₆	С ²⁷	${\mathfrak {f}}$ ^С ₄	J3 ( О )

Другие эрмитовы симметрические пространства дают предоднородные векторные пространства, общие точки которых определяют йордановы алгебры аналогичным образом.

ЧАС	Г	В	Изотропная алгебра	йорданова алгебра
Sp( 2n , C )	СЛ( н , С )	С ²С ^н	${\mathfrak {so}}$ ( н , С )	J _н ( Р )
СЛ( 2н , С )	SL( n , C ) × SL( n , C )	Сн ⊗ ^Сн	${\mathfrak {sl}}$ ( н , С )	J _н ( С )
SO( 4n , C )	СЛ( 2н , С )	Λ ²C ^{2 n}	${\mathfrak {sp}}$ (2 н , С )	J _н ( Н )
SO( м + 2, С )	SO( м , С )	См	${\mathfrak {so}}$ ( м − 1, С )	Дж ( м − 1)

Йорданова алгебра J ( m − 1) в последней строке — это спиновый фактор (который является векторным пространством R ^{m −1} ⊕ R , со структурой йордановой алгебры, определенной с помощью скалярного произведения на R ^{m −1} ). Она сводится к J ₂ ( R ), J ₂ ( C ), J ₂ ( H ), J ₂ ( O ) для m = 3 , 4, 6 и 10 соответственно.

Связь между эрмитовыми симметрическими пространствами и йордановыми алгебрами можно объяснить с помощью систем жордановых троек .

Ссылки

Кимура, Тацуо (2003), Введение в предоднородные векторные пространства, Переводы математических монографий, т. 215, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2767-3, г-н 1944442
Кнапп, Энтони (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4259-5, МР 1920389См. Главу X.
Сато, Микио; Кимура, Тацуо (1977), «Классификация неприводимых предоднородных векторных пространств и их относительных инвариантов», Nagoya Mathematical Journal , 65 : 1– 155, doi : 10.1017/s0027763000017633 , MR 0430336
Ричардсон, Роджер Уолкотт-младший (1974), «Классы сопряженности в параболических подгруппах полупростых алгебраических групп», Bull. London Math. Soc. , 6 : 21– 24, doi :10.1112/blms/6.1.21, MR 0330311
Сато, Микио (1990), «Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть) — английский перевод лекции Сато из заметки Шинтани», Nagoya Mathematical Journal , 120 : 1– 34, doi : 10.1017/S0027763000003214 , ISSN 0027-7630, MR 1086566
Сато, Микио; Шинтани, Такуро (1972), «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 69 (5): 1081– 1082, Bibcode : 1972PNAS...69.1081S, doi : 10.1073/pnas.69.5.1081 , ISSN 0027-8424, JSTOR 61638, MR 0296079, PMC 426633 , PMID 16591979
Сато, Микио; Синтани, Такуро (1974), «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами», Annals of Mathematics , Вторая серия, 100 (1): 131– 170, doi :10.2307/1970844, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970844, MR 0344230
Винберг, Эрнест (1960), «Инвариантные линейные связности в однородном пространстве», Труды Моск. мат. общ. , 9 : 191– 210, MR 0176418
Винберг, Эрнест (1975), «Классификация нильпотентных элементов градуированных алгебр Ли», Докл. АН СССР , 16 (6): 1517– 1520, MR 0506488