Мощность точки

Относительное расстояние точки от окружности
Геометрическое значение

В элементарной планиметрии степень точки — это действительное число , которое отражает относительное расстояние данной точки от данной окружности. Она была введена Якобом Штайнером в 1826 году. [1]

В частности, мощность точки по отношению к окружности с центром и радиусом определяется как П ( П ) {\displaystyle \Пи (П)} П {\displaystyle P} с {\displaystyle с} О {\displaystyle О} г {\displaystyle r}

П ( П ) = | П О | 2 г 2 . {\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}

Если находится вне круга, то , если находится на круге, то и если находится внутри круга, то . П {\displaystyle P} П ( П ) > 0 {\displaystyle \Пи (П)>0}
П {\displaystyle P} П ( П ) = 0 {\displaystyle \Пи (П)=0}
П {\displaystyle P} П ( П ) < 0 {\displaystyle \Пи (П)<0}

Благодаря теореме Пифагора число имеет простой геометрический смысл, показанный на схеме: Для точки вне окружности это квадрат тангенциального расстояния точки до окружности . П ( П ) {\displaystyle \Пи (П)} П {\displaystyle P} П ( П ) {\displaystyle \Пи (П)} | П Т | {\displaystyle |PT|} П {\displaystyle P} с {\displaystyle с}

Точки с одинаковой мощностью, изолинии , являются окружностями , концентрическими окружности . П ( П ) {\displaystyle \Пи (П)} с {\displaystyle с}

Штейнер использовал силу точки для доказательства нескольких утверждений об окружностях, например:

  • Определение окружности, пересекающей четыре окружности под одним и тем же углом. [2]
  • Решение проблемы Аполлония
  • Построение окружностей Мальфатти : [3] Для данного треугольника определить три окружности, которые касаются друг друга и двух сторон треугольника каждая.
  • Сферическая версия задачи Малфатти: [4] Треугольник является сферическим.

Основными инструментами для исследования окружностей являются радикальная ось двух окружностей и радикальный центр трех окружностей.

Диаграмма мощности набора окружностей делит плоскость на области, внутри которых окружность, минимизирующая мощность, постоянна.

В более общем плане французский математик Эдмон Лагерр аналогичным образом определил мощность точки по отношению к любой алгебраической кривой.

Геометрические свойства

Помимо свойств, упомянутых в заголовке, имеются и другие свойства:

Ортогональная окружность

Ортогональный круг (зеленый)

Для любой точки вне окружности существуют две точки касания на окружности , которые находятся на одинаковом расстоянии до . Следовательно, окружность с центром через также проходит и пересекает ортогонально: П {\displaystyle P} с {\displaystyle с} Т 1 , Т 2 {\displaystyle T_{1},T_{2}} с {\displaystyle с} П {\displaystyle P} о {\displaystyle о} П {\displaystyle P} Т 1 {\displaystyle T_{1}} Т 2 {\displaystyle T_{2}} с {\displaystyle с}

  • Окружность с центром и радиусом пересекает окружность под прямым углом . П {\displaystyle P} П ( П ) {\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}} с {\displaystyle с}
Угол между двумя окружностями

Если радиус окружности с центром отличается от , то угол пересечения между двумя окружностями определяется по теореме косинусов (см. рисунок): ρ {\displaystyle \ро} П {\displaystyle P} П ( П ) {\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}} φ {\displaystyle \varphi}

ρ 2 + г 2 2 ρ г потому что φ = | П О | 2 {\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}
  потому что φ = ρ 2 + г 2 | П О | 2 2 ρ г = ρ 2 П ( П ) 2 ρ г {\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}

( и являются нормалями к касательным окружности.) П С 1 {\displaystyle PS_{1}} О С 1 {\displaystyle ОС_{1}}

Если лежит внутри синего круга, то и всегда отлично от . П {\displaystyle P} П ( П ) < 0 {\displaystyle \Пи (П)<0} φ {\displaystyle \varphi} 90 {\displaystyle 90^{\circ}}

Если угол дан, то радиус получается путем решения квадратного уравнения φ {\displaystyle \varphi} ρ {\displaystyle \ро}

ρ 2 2 ρ г потому что φ П ( П ) = 0 {\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0} .

Теорема о пересекающихся секущих, Теорема о пересекающихся хордах

Теорема о секущей и хорде

Для теоремы о пересекающихся секущих и теоремы о хордах степень точки играет роль инварианта :

  • Теорема о пересекающихся секущих : Для точки вне окружности и точек пересечения секущей со следующим утверждением верно: , следовательно, произведение не зависит от прямой . Если является касательной, то и утверждение — теорема о касательной-секущей . П {\displaystyle P} с {\displaystyle с} С 1 , С 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} г {\displaystyle г} с {\displaystyle с} | П С 1 | | П С 2 | = П ( П ) {\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)} g {\displaystyle g} g {\displaystyle g} S 1 = S 2 {\displaystyle S_{1}=S_{2}}
  • Теорема о пересекающихся хордах : Для точки внутри окружностии точек пересечениясекущей прямойсправедливоследующее утверждение:, следовательно, произведение не зависит от прямой. P {\displaystyle P} c {\displaystyle c} S 1 , S 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} g {\displaystyle g} c {\displaystyle c} | P S 1 | | P S 2 | = Π ( P ) {\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)} g {\displaystyle g}

Радикальная ось

Пусть будет точка и две неконцентрические окружности с центрами и радиусами . Точка имеет степень относительно окружности . Множество всех точек с является прямой, называемой радикальной осью . Она содержит возможные общие точки окружностей и перпендикулярна прямой . P {\displaystyle P} c 1 , c 2 {\displaystyle c_{1},c_{2}} O 1 , O 2 {\displaystyle O_{1},O_{2}} r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} P {\displaystyle P} Π i ( P ) {\displaystyle \Pi _{i}(P)} c i {\displaystyle c_{i}} P {\displaystyle P} Π 1 ( P ) = Π 2 ( P ) {\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)} O 1 O 2 ¯ {\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}

Теорема о секущих, теорема о хордах: общее доказательство

Теорема о секущей/хорде: доказательство

Обе теоремы, включая теорему о касательной и секущей , можно доказать единообразно:

Пусть будет точкой, окружностью с началом координат в качестве ее центра и произвольным единичным вектором . Параметры возможных общих точек прямой (через ) и окружности можно определить, подставив параметрическое уравнение в уравнение окружности: P : p {\displaystyle P:{\vec {p}}} c : x 2 r 2 = 0 {\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0} v {\displaystyle {\vec {v}}} t 1 , t 2 {\displaystyle t_{1},t_{2}} g : x = p + t v {\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}} P {\displaystyle P} c {\displaystyle c}

( p + t v ) 2 r 2 = 0 t 2 + 2 t p v + p 2 r 2 = 0   . {\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}

Из теоремы Виета следует:

t 1 t 2 = p 2 r 2 = Π ( P ) {\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)} . (независимо от ) v {\displaystyle {\vec {v}}}

Π ( P ) {\displaystyle \Pi (P)} это степень относительно окружности . P {\displaystyle P} c {\displaystyle c}

Из-за этого получаем следующее утверждение по точкам : | v | = 1 {\displaystyle |{\vec {v}}|=1} S 1 , S 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}}

| P S 1 | | P S 2 | = t 1 t 2 = Π ( P )   {\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ } , если находится вне круга, P {\displaystyle P}
| P S 1 | | P S 2 | = t 1 t 2 = Π ( P )   {\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ } , если находится внутри круга ( имеют разные знаки!). P {\displaystyle P} t 1 , t 2 {\displaystyle t_{1},t_{2}}

В случае, если прямая является касательной, а квадрат тангенциального расстояния от точки до окружности . t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}} g {\displaystyle g} Π ( P ) {\displaystyle \Pi (P)} P {\displaystyle P} c {\displaystyle c}

Точки подобия, общая мощность двух окружностей

Точки сходства

Точки подобия являются важным инструментом для исследований Штайнера на окружностях. [5]

Даны два круга

  c 1 : ( x m 1 ) r 1 2 = 0 , c 2 : ( x m 2 ) r 2 2 = 0   . {\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\ .}

Гомотетия ( подобие ) , которая отображается на растяжения (толчки) радиусом в и имеет свой центр на линии , так как . Если центр находится между , то масштабный коэффициент равен . В другом случае . В любом случае: σ {\displaystyle \sigma } c 1 {\displaystyle c_{1}} c 2 {\displaystyle c_{2}} r 1 {\displaystyle r_{1}} r 2 {\displaystyle r_{2}} Z : z {\displaystyle Z:{\vec {z}}} M 1 M 2 ¯ {\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}} σ ( M 1 ) = M 2 {\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}} Z {\displaystyle Z} M 1 , M 2 {\displaystyle M_{1},M_{2}} s = r 2 r 1 {\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}} s = r 2 r 1 {\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}

σ ( m 1 ) = z + s ( m 1 z ) = m 2 {\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}} .

Вставляем и решаем для получения выходов: s = ± r 2 r 1 {\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}} z {\displaystyle {\vec {z}}}

z = r 1 m 2 r 2 m 1 r 1 r 2 {\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}} .
Точки подобия двух окружностей: различные случаи

Точка называется точкой внешнего подобия , а точка называется точкой внутреннего подобия . E : e = r 1 m 2 r 2 m 1 r 1 r 2 {\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}} I : i = r 1 m 2 + r 2 m 1 r 1 + r 2 {\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}

В случае получим . В случае : — точка на бесконечности прямой , а — центр . В случае окружностей касаются друг друга в точке внутри (обе окружности по одну сторону от общей касательной). В случае окружностей касаются друг друга в точке снаружи (обе окружности по разные стороны от общей касательной). M 1 = M 2 {\displaystyle M_{1}=M_{2}} E = I = M i {\displaystyle E=I=M_{i}}
r 1 = r 2 {\displaystyle r_{1}=r_{2}} E {\displaystyle E} M 1 M 2 ¯ {\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}} I {\displaystyle I} M 1 , M 2 {\displaystyle M_{1},M_{2}}
r 1 = | E M 1 | {\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|} E {\displaystyle E}
r 1 = | I M 1 | {\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|} I {\displaystyle I}

Более того:

  • Если окружности не пересекаются (круги не имеют общих точек), то внешние общие касательные пересекаются в точке , а внутренние — в точке . E {\displaystyle E} I {\displaystyle I}
  • Если один круг содержится внутри другого , то точки лежат внутри обоих кругов. E , I {\displaystyle E,I}
  • Пары проективно гармонически сопряжены : Их перекрестное отношение равно . M 1 , M 2 ; E , I {\displaystyle M_{1},M_{2};E,I} ( M 1 , M 2 ; E , I ) = 1 {\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}

Теорема Монжа гласит: Внешние точки подобия трех непересекающихся окружностей лежат на одной прямой.

Общая мощность двух кругов

Точки подобия двух окружностей и их общая сила

Пусть будут две окружности, их внешняя точка подобия и прямая, проходящая через , которая пересекает две окружности в четырех точках . Из определяющего свойства точки получаем c 1 , c 2 {\displaystyle c_{1},c_{2}} E {\displaystyle E} g {\displaystyle g} E {\displaystyle E} G 1 , H 1 , G 2 , H 2 {\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}} E {\displaystyle E}

| E G 1 | | E G 2 | = r 1 r 2 = | E H 1 | | E H 2 |   {\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }
  | E G 1 | | E H 2 | = | E H 1 | | E G 2 |   {\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }

и из теоремы о секущих (см. выше) два уравнения

| E G 1 | | E H 1 | = Π 1 ( E ) , | E G 2 | | E H 2 | = Π 2 ( E ) . {\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}

Объединение этих трех уравнений дает: Следовательно: (независимо от линии  !). Аналогичное утверждение для внутренней точки подобия также верно. Π 1 ( E ) Π 2 ( E ) = | E G 1 | | E H 1 | | E G 2 | | E H 2 | = | E G 1 | 2 | E H 2 | 2 = | E G 2 | 2 | E H 1 | 2   . {\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}} | E G 1 | | E H 2 | = | E G 2 | | E H 1 | = Π 1 ( E ) Π 2 ( E ) {\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}} g {\displaystyle g} I {\displaystyle I}

Инварианты Штейнер называет общей силой двух кругов ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). [6] Π 1 ( E ) Π 2 ( E ) ,   Π 1 ( I ) Π 2 ( I ) {\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}

Пары и точек являются антигомологичными точками. Пары и являются гомологичными . [7] [8] G 1 , H 2 {\displaystyle G_{1},H_{2}} H 1 , G 2 {\displaystyle H_{1},G_{2}} G 1 , G 2 {\displaystyle G_{1},G_{2}} H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}}

Определение окружности, касающейся двух окружностей

Общая сила двух кругов: применение
Окружности, касающиеся двух окружностей

Для второй секущей через : E {\displaystyle E}

| E H 1 | | E G 2 | = | E H 1 | | E G 2 | {\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}

Из теоремы о секущих получаем:

Четыре точки лежат на окружности. H 1 , G 2 , H 1 , G 2 {\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}

И аналогично:

Четыре точки также лежат на окружности. G 1 , H 2 , G 1 , H 2 {\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}

Поскольку радикальные линии трех окружностей пересекаются в радикале (см. статью радикальная линия), то получается:

Секущие пересекаются на радикальной оси данных двух окружностей. H 1 H 1 ¯ , G 2 G 2 ¯ {\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}

Перемещая нижнюю секущую (см. диаграмму) к верхней, красный круг становится окружностью, касающейся обеих данных окружностей. Центр касательной окружности является точкой пересечения прямых . Секущие становятся касательными в точках . Касательные пересекаются в радикальной прямой (на диаграмме желтой). M 1 H 1 ¯ , M 2 G 2 ¯ {\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}} H 1 H 1 ¯ , G 2 G 2 ¯ {\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}} H 1 , G 2 {\displaystyle H_{1},G_{2}} p {\displaystyle p}

Аналогичные рассуждения порождают вторую касательную окружность, которая пересекает заданные окружности в точках (см. рисунок). G 1 , H 2 {\displaystyle G_{1},H_{2}}

Все касающиеся окружности к данным окружностям можно найти, варьируя прямую . g {\displaystyle g}

Позиции центров
Окружности, касающиеся двух окружностей

Если — центр и радиус окружности, касающейся данных окружностей в точках , то: X {\displaystyle X} ρ {\displaystyle \rho } H 1 , G 2 {\displaystyle H_{1},G_{2}}

ρ = | X M 1 | r 1 = | X M 2 | r 2 {\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}
  | X M 2 | | X M 1 | = r 2 r 1 . {\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}

Следовательно: центры лежат на гиперболе с

очаги , M 1 , M 2 {\displaystyle M_{1},M_{2}}
расстояние вершин [ требуется разъяснение ] , 2 a = r 2 r 1 {\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}
центр - это центр , M {\displaystyle M} M 1 , M 2 {\displaystyle M_{1},M_{2}}
линейный эксцентриситет и c = | M 1 M 2 | 2 {\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}
  b 2 = e 2 a 2 = | M 1 M 2 | 2 ( r 2 r 1 ) 2 4 {\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}} [ требуется разъяснение ] .

Рассмотрение внешних касательных окружностей приводит к аналоговому результату:

Если — центр и радиус окружности, касающейся данных окружностей в точках , то: X {\displaystyle X} ρ {\displaystyle \rho } G 1 , H 2 {\displaystyle G_{1},H_{2}}

ρ = | X M 1 | + r 1 = | X M 2 | + r 2 {\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}
  | X M 2 | | X M 1 | = ( r 2 r 1 ) . {\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}

Центры лежат на той же гиперболе, но на правой ветви.

См. также Проблема Аполлония .

Мощность точки относительно сферы

Мощность относительно сферы

Идею мощности точки по отношению к окружности можно распространить на сферу. [9] Теоремы о секущих и хордах верны также и для сферы и могут быть доказаны буквально, как и в случае окружности.

продукт Дарбу

Степень точки является частным случаем произведения Дарбу между двумя окружностями, которое задается формулой [10]

| A 1 A 2 | 2 r 1 2 r 2 2 {\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}

где A 1 и A 2 — центры двух окружностей, а r 1 и r 2 — их радиусы. Степень точки возникает в частном случае, когда один из радиусов равен нулю.

Если две окружности ортогональны, произведение Дарбу равно нулю.

Если две окружности пересекаются, то их произведение Дарбу равно

2 r 1 r 2 cos φ {\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}

где φ — угол пересечения (см. раздел ортогональная окружность ).

Теорема Лагерра

Лагерр определил мощность точки P относительно алгебраической кривой степени n как сумму расстояний от точки до пересечений окружности через точку с кривой, деленную на n- ю степень диаметра d . Лагерр показал, что это число не зависит от диаметра (Laguerre 1905). В случае, когда алгебраическая кривая является окружностью, это не совсем то же самое, что мощность точки относительно окружности, определенная в остальной части этой статьи, а отличается от нее на коэффициент d 2 .

Ссылки

  1. ^ Якоб Штайнер: Einige geometrische Betrachtungen , 1826, S. 164
  2. ^ Штайнер, стр. 163
  3. ^ Штайнер, стр. 178
  4. ^ Штайнер, стр. 182
  5. Штайнер: стр. 170,171
  6. ^ Штайнер: стр. 175
  7. ^ Мишель Шасль, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Брауншвейг, 1856, стр. 312
  8. ^ Уильям Дж. Макклелланд: Трактат о геометрии окружности и некоторых расширениях конических сечений методом возвратно-поступательного движения , 1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, ISBN  978-0-344-90374-8 , стр. 121,220
  9. ^ КП Гротемейер: Analytische Geometrie , Sammlung Göschen 65/65A, Берлин 1962, S. 54
  10. ^ Пьер Ларошель, Дж. Майкл Маккарти: Труды симпозиума USCToMM 2020 по механическим системам и робототехнике , 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-030-43929-3 , стр. 97 

Дальнейшее чтение

  • Огилви CS (1990), Экскурсии в геометрию , Dover Publications, стр. 6–23, ISBN 0-486-26530-7
  • Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Вашингтон : MAA , стр. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
  • Джонсон РА (1960), Продвинутая евклидова геометрия: Элементарный трактат по геометрии треугольника и окружности (переиздание издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0
  • Якоб Штайнер и сила точки схождения
  • Вайсштейн, Эрик В. "Круговая мощность". MathWorld .
  • Теорема о пересекающихся хордах в Cut-the-Knot
  • Теорема о пересекающихся хордах с интерактивной анимацией
  • Теорема о пересекающихся секущих с интерактивной анимацией
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Power_of_a_point&oldid=1235513478"