Полихроматическая симметрия
Симметрия с тремя и более цветами
Трехцветная операция симметрии цветовой группы p3 [3] 1

Полихроматическая симметрия — это цветовая симметрия, которая меняет местами три или более цветов в симметричном узоре. Это естественное расширение дихроматической симметрии . Цветные группы симметрии выводятся путем добавления к координатам положения ( x и y в двух измерениях, x , y и z в трех измерениях) дополнительной координаты k , которая принимает три или более возможных значений (цвета). [1]

Примером применения полихроматической симметрии являются кристаллы веществ, содержащих молекулы или ионы в триплетных состояниях, то есть с электронным спином величиной 1, которые иногда должны иметь структуры, в которых спины этих групп имеют проекции + 1, 0 и -1 на локальные магнитные поля. Если эти три случая присутствуют с одинаковой частотой в упорядоченном массиве, то магнитная пространственная группа такого кристалла должна быть трехцветной. [2] [3]

Пример

Группа p3 имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°), но не имеет отражений или скользящих отражений.

Неокрашенные и 3-цветные узоры p3 [4] : 415 
Неокрашенный узор p33-цветный узор стр.3 [3] 13-цветный узор стр.3 [3] 2

Существует два различных способа раскрашивания узора p3 тремя цветами: p3 [3] 1 и p3 [3] 2 , где цифра в квадратных скобках указывает количество цветов, а нижний индекс различает случаи нескольких цветных узоров. [5]

Если взять один мотив в узоре p3 [3] 1, то он имеет операцию симметрии 3', состоящую из поворота на 120° и циклической перестановки трех цветов: белого, зеленого и красного, как показано в анимации.

Этот узор p3 [3] 1 имеет ту же цветовую симметрию, что и «Гексагональная мозаика с животными: исследование регулярного деления плоскости с рептилиями» М. К. Эшера (1939). Эшер повторно использовал дизайн в своей литографии « Рептилии » (1943) , а также он был использован в качестве обложки дебютного альбома Mott the Hoople .

4-, 6-, 7-, 9- и 12-цветные узоры p3
4 цвета стр.3 [4] [6] : 287 4.03.01 6 цветов стр.3 [6]7 цветов стр.3 [7]9 цветов стр.3 [9] 112 цветов стр.3 [12] 1

Теория групп

Первоначальные исследования Виттке и Гарридо (1959) [7] и Ниггли и Вондратчека (1960) [8] выявили связь между цветовыми группами объекта и подгруппами геометрической группы симметрии объекта . В 1961 году ван дер Варден и Буркхардт [9] построили более раннюю работу, показав, что цветовые группы можно определить следующим образом: в цветовой группе узора (или объекта) каждая из его геометрических операций симметрии s связана с перестановкой σ k цветов таким образом, что все пары ( s , σ ) образуют группу. Сенешаль показал, что перестановки определяются подгруппами геометрической группы симметрии G неокрашенного узора. [10] Когда каждая операция симметрии в G связана с уникальной цветовой перестановкой, узор называется идеально окрашенным. [11] [12]

Теория Вардена-Буркхардта определяет k -цветную группу G ( H ) как определяемую подгруппой H индекса k в группе симметрии G . [13] Если подгруппа H является нормальной подгруппой , то фактор-группа G / H переставляет все цвета. [14]

История

  • 1956 Первые статьи о полихроматических, в отличие от дихроматических, группах симметрии опубликованы Беловым и его коллегами. [15] [16] [17] [18] [19] [20] Вайнштейн и Копцик (1994) суммируют российские работы. [21]
  • 1957 Маккей публикует первый обзор русской работы на английском языке. [22] Последующие обзоры были опубликованы Копциком (1968), [23] Шварценбергером (1984), [24] в книге Грюнбаума и Шепарда « Tilings and patterns» (1987), [4] Сенечалом (1990) [10] и Томасом (2012). [25]
  • Работы М.К. Эшера конца 1950-х годов, основанные на дихроматических и полихроматических узорах, популяризировали цветовую симметрию среди ученых. [26] [27]
  • 1961 Ясное определение Ван дер Вардена и Буркхардта цветовой симметрии в терминах теории групп , независимо от числа задействованных цветов или измерений. [9]
  • 1964 Первая публикация книги Шубникова и Белова «Цветная симметрия» в переводе на английский язык [28]
  • 1971 Вывод Лебом в книге «Цвет и симметрия» двумерных цветовых симметрий с использованием ротоцентров. [29]
  • 1974 Публикация книги «Симметрия в науке и искусстве» Шубникова и Копцика с обширным освещением полихроматической симметрии. [30]
  • 1983 Сенешаль исследует проблему симметричной раскраски многогранников с использованием теории групп. [13] [31] Кромвель позже использует алгоритмический подход подсчета (1997). [32]
  • 1988 Уошберн и Кроу применяют анализ цветовой симметрии к культурным образцам и объектам. [33] Уошберн и Кроу вдохновили на дальнейшие работы, например, Маковицкого. [34]
  • 1997 Лифшиц распространяет теорию цветовой симметрии с периодических на квазипериодические кристаллы. [35]
  • 2008 Конвей , Берджил и Гудман-Штраус публикуют книгу «Симметрии вещей» , в которой описываются симметрии цветных объектов, сохраняющие цвет, с использованием новой нотации, основанной на орбифолдах . [36]

Количество цветовых групп

Количество полос ( фризов ) k -цветовых групп для k ≤ 12 [4] [6]
 Количество цветов ( k )
Базовая
группа		23456789101112
стр.11111111111111
п1а111111111111
п1м131313131313
pm1121212121212
стр.11221212121212
пма231313131313
пмм251715171517
      
Всего групп полос		17   719   717   719   717   719
Числа периодических ( плоских ) k -цветовых групп для k ≤ 12 [4] [6] [37]
 Количество цветов ( k )
Базовая
группа		23456789101112
стр111211122112
стр.224252736211
вечера5210211216312223
см3272721338217
стр221312142213
пгг21414172519
пмг5211211219312226
пмм511319121210125
смм51111812129122
стр3-21-11-3--4
стр31м121-5-13--7
п3м1121-4-13--7
стр42-512-914-9
п4г3-7-2-1313-10
п4м5-13-2-2813-16
стр6121-5113--8
п6м322-11-33--20
Всего периодических
групп		462396149015166407513219

Оба трехцветных шаблона p3 , уникальные четырех-, шести-, семицветные шаблоны p3 , один из трех девятицветных шаблонов p3 и один из четырех двенадцатицветных шаблонов p3 проиллюстрированы в разделе «Примеры» выше.

Ссылки

  1. ^ Брэдли, CJ и Кракнелл, AP (2010). Математическая теория симметрии в твердых телах: теория представлений для точечных групп и пространственных групп , Clarendon Press, Оксфорд, 677–681, ISBN  9780199582587
  2. ^ Харкер, Д. (1981). Трехцветные трехмерные пространственные группы , Acta Crystallogr., A37 , 286-292, doi :10.1107/s0567739481000697
  3. ^ Майнцер, К. (1996). Симметрии природы: справочник по философии природы и науки , de Gruyter, Берлин, 162-168, ISBN 9783110129908 
  4. ^ abcd Грюнбаум, Б. и Шепард, Г. К. (1987). Мозаики и узоры , WH Freeman, Нью-Йорк, ISBN 9780716711933 
  5. ^ Ханн, МА и Томас, БГ (2007). За пределами черного и белого: заметка о трехцветных контршаблонах , J. Textile Inst., 98 (6), 539-547, doi : 10.1080/00405000701502446
  6. ^ abc Wieting, TW (1982). Математическая теория хроматических плоских орнаментов , Марсель Деккер, Нью-Йорк, ISBN 9780824715175 
  7. ^ Виттке О. и Гарридо Дж. (1959). Symétrie des polyèdres полихроматики , Bull. Соц. Франсез де Минерал. et de Crist., 82 (7-9), 223-230; дои : 10.3406/bulmi.1959.5332
  8. ^ Ниггли, А. и Вондратчек, Х. (1960). Eine Verallgemeinerung der Punktgruppen. I. Die einfachen Kryptosymmetrien , Z. Krist., 114 (1-6), 215-231 doi :10.1524/zkri.1960.114.16.215
  9. ^ Аб ван дер Варден, Б.Л. и Буркхардт, Дж.Дж. (1961). Фарбгруппен , З. Крист, 115 , 231-234, doi :10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
  10. ^ ab Сенешаль, М. (1990). Геометрическая кристаллография в Историческом атласе кристаллографии под ред. Лима-де-Фариа, Дж., Клувер, Дордрехт, 52-53, ISBN 9780792306498 
  11. ^ Сенешаль, М. (1988). Цветовая симметрия , Comput. Math. Applic., 16 (5-8), 545-553, doi :10.1016/0898-1221(88)90244-1
  12. ^ Сенешаль, М. (1990). Кристаллические симметрии: неформальное математическое введение , Адам Хильгер, Бристоль, 74-87, ISBN 9780750300414 
  13. ^ ab Сенешаль, М. (1983). Цветовая симметрия и цветные многогранники , Acta Crystallogr., A39 , 505-511, doi :10.1107/s0108767383000987
  14. ^ Coxeter, HSM (1987). Простое введение в цветную симметрию , Int. J. Quantum Chemistry, 31 , 455-461, doi :10.1002/qua.560310317
  15. ^ Белов, Н. В. и Тархова, Т. Н. (1956). Группы симметрии цвета , Физика кристаллов , 1 , 5-11
  16. ^ Белов, Н. В. и Тархова, Т. Н. (1956). Группы симметрии цвета , Физика кристаллов, 1 , 487-488
  17. ^ Белов, Н. В. (1956). Мавританские узоры средневековья и группы симметрии , Физика кристаллов, 1 , 482-483
  18. ^ Белов, Н. В. (1956). Трехмерные мозаики с цветной симметрией , Физика кристаллов, 1 , 489-492
  19. ^ Белов, Н. В. и Белова, Е. Н. (1956). Мозаики для 46 плоских (шубниковских) групп антисимметрии и для 15 (федоровских) цветовых групп , Физика кристаллов, 2 , 16-18
  20. ^ Белов, Н.В., Белова, Е.Н. и Тархова, Т.Н. (1959). Еще о группах симметрии цвета , Физика кристаллов, 3 , 625-626
  21. ^ Вайнштейн, Б.К. и Копцик, ВА (1994). Современная кристаллография. Том 1. Основы кристаллов: симметрия и методы структурной кристаллографии , Springer, Berlin, 158-179, ISBN 9783540565581 
  22. ^ Mackay, AL (1957). Расширения теории пространственных групп , Acta Crystallogr. 10 , 543-548, doi :10.1107/s0365110x57001966
  23. ^ Копцик, ВА (1968). Общий очерк развития теории симметрии и ее приложений в физической кристаллографии за последние 50 лет , Физика и кристаллография, 12 (5), 667-683
  24. ^ Шварценбергер, Р. Л. Е. (1984). Цветовая симметрия , Bull. London Math. Soc., 16 , 209-240, doi :10.1112/blms/16.3.209, doi :10.1112/blms/16.3.216, doi :10.1112/blms/16.3.229
  25. ^ Томас, Б. Г. (2012). Цветовая симметрия: систематическое окрашивание узоров и мозаик в Color Design , ред. Бест, Дж., Woodhead Publishing, 381-432, ISBN 9780081016480 
  26. ^ MacGillavry, CH (1976). Аспекты симметрии периодических рисунков М. К. Эшера , Международный союз кристаллографии, Утрехт, ISBN 9789031301843 
  27. ^ Шнаттшнайдер, Д. (2004). MC Эшер: Видения симметрии , Гарри. Н. Абрамс, Нью-Йорк, ISBN 9780810943087. 
  28. ^ Шубников А.В., Белов Н.В. и др. ал. (1964). Цветная симметрия , изд. WT Holser, Пергамон, Нью-Йорк
  29. ^ Лёб, АЛ (1971). Цвет и симметрия , Wiley, Нью-Йорк, ISBN 9780471543350 
  30. ^ Шубников, А. В. и Копцик, ВА (1974). Симметрия в науке и искусстве , Plenum Press, Нью-Йорк, ISBN 9780306307591 (оригинал на русском языке издан Наука, Москва, 1972) 
  31. ^ Сенешаль, М. (1983). Симметричное окрашивание симметричных объектов , Math. Magazine, 56 (1), 3-16, doi :10.2307/2690259
  32. ^ Кромвель, PR (1997). Многогранники , Cambridge University Press, 327-348, ISBN 9780521554329 
  33. ^ Washburn, DK и Crowe, DW (1988). Симметрии культуры: теория и практика анализа плоских узоров , Washington University Press, Сиэтл, ISBN 9780295970844 
  34. ^ Маковицки, Э. (2016). Симметрия глазами старых мастеров , de Gruyter, Берлин, 133-147, ISBN 9783110417050 
  35. ^ Лифшиц, Р. (1997). Теория цветовой симметрии для периодических и квазипериодических кристаллов , Rev. Mod. Phys., 69 (4), 1181–1218, doi :10.1103/RevModPhys.69.1181
  36. ^ Конвей, Дж. Х., Бергейл, Х. и Гудман-Штраус, К. (2008). Симметрии вещей , AK Peters, Уэллсли, Массачусетс, ISBN 9781568812205 
  37. ^ Jarratt, JD и Schwarzenberger, RLE (1980). Цветные плоские группы , Acta Crystallogr., A36 , 884-888, doi :10.1107/S0567739480001866

Дальнейшее чтение

  • Сенешаль, М. (1975). Точечные группы и цветовая симметрия , Z. Krist., 142 , 1-23, doi :10.1524/zkri.1975.142.16.1
  • Локвуд, Э. Х. и Макмиллан, Р. Х. (1978). Геометрическая симметрия  , Cambridge University Press, Кембридж, 67-70 и 206-208, ISBN 9780521216852 
  • Сенешаль, М. (1979). Группы цветов , Дискретная прикладная математика, 1 , 51-73, doi :10.1016/0166-218X(79)90014-3
  • Сенешаль, М. (1988). Алгебраический Эшер , Структурная топология, 15 , 31-42
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Полихроматическая_симметрия&oldid=1222600910"