Полярная топология
Двойственная топология пространства равномерной сходимости на некоторой подгруппе ограниченных подмножеств

В функциональном анализе и смежных областях математики полярная топология , топология -сходимости Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} или топология равномерной сходимости на множествах — это метод определения локально выпуклых топологий на векторных пространствах спаривания . Г {\displaystyle {\mathcal {G}}}

Предварительные

Спаривание — это тройка, состоящая из двух векторных пространств над полем (действительных чисел или комплексных чисел ) и билинейного отображения. Двойственная пара или двойственная система — это спаривание, удовлетворяющее следующим двум аксиомам разделения: ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)} К {\displaystyle \mathbb {К} } б : Х × И → К . {\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} .} ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)}

  1. И {\displaystyle Y} разделяет/различает точки Х {\displaystyle X} : для всех ненулевых существует такое, что и х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} у ∈ И {\displaystyle y\in Y} б ( х , у ) ≠ 0 , {\displaystyle b(x,y)\neq 0,}
  2. Х {\displaystyle X} разделяет/различает точки И {\displaystyle Y} : для всех ненулевых существует такое, что у ∈ И , {\displaystyle y\in Y,} х ∈ Х {\displaystyle x\in X} б ( х , у ) ≠ 0. {\displaystyle b(x,y)\neq 0.}

Поляры

Полярная или абсолютная полярная подмножества — это множество [1] А ⊆ Х {\displaystyle A\subseteq X}

А ∘ := { у ∈ И : Как дела х ∈ А | б ( х , у ) | ≤ 1 } . {\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}

Двойственно, полярная или абсолютная полярность подмножества обозначается и определяется как Б ⊆ И {\displaystyle B\subseteq Y} Б ∘ , {\displaystyle B^{\circ },}

Б ∘ := { х ∈ Х : Как дела у ∈ Б | б ( х , у ) | ≤ 1 } . {\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}

В этом случае абсолютная полярность подмножества также называется преполярностью и может обозначаться как Б ⊆ И {\displaystyle B\subseteq Y} Б {\displaystyle Б} ∘ Б . {\displaystyle {}^{\circ }Б.}

Поляра — это выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат. [2]

Если тогда биполярность обозначена как определяется как Аналогично, если тогда биполярность определяется как А ⊆ Х {\displaystyle A\subseteq X} А , {\displaystyle А,} А ∘ ∘ , {\displaystyle A^{\circ \circ },} А ∘ ∘ = ∘ ( А ∘ ) . {\displaystyle A^{\circ \circ }={}^{\circ }(A^{\circ }).} Б ⊆ И {\displaystyle B\subseteq Y} Б {\displaystyle Б} Б ∘ ∘ = ( ∘ Б ) ∘ . {\displaystyle B^{\circ \circ }=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}

Слабые топологии

Предположим, что это пара векторных пространств над ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)} К . {\displaystyle \mathbb {К} .}

Обозначение : Для всех обозначим линейный функционал на , определяемый соотношением , и пусть х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} б ( х , ⋅ ) : И → К {\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} } И {\displaystyle Y} у ↦ б ( х , у ) {\displaystyle y\mapsto b(x,y)} б ( Х , ⋅ ) = { б ( х , ⋅ )   :   х ∈ Х } . {\displaystyle b(X,\cdot)=\left\{b(x,\cdot)~:~x\in X\right\}.}
Аналогично, для всех пусть будет определено и пусть у ∈ И , {\displaystyle y\in Y,} б ( ⋅ , у ) : Х → К {\displaystyle b(\cdot ,y):X\to \mathbb {K} } х ↦ б ( х , у ) {\displaystyle x\mapsto b(x,y)} б ( ⋅ , И ) = { б ( ⋅ , у )   :   у ∈ И } . {\displaystyle b(\cdot ,Y)=\left\{b(\cdot ,y)~:~y\in Y\right\}.}

Слабая топология на , индуцированная (и ), является слабейшей топологией TVS на , обозначаемой или просто делающей все отображения непрерывными, поскольку пробегает [3] Аналогично, существует двойственное определение слабой топологии на , индуцированной (и ), которая обозначается или просто : это слабейшая топология TVS на , делающая все отображения непрерывными, поскольку пробегает [3] Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y} б {\displaystyle б} Х , {\displaystyle X,} σ ( Х , И , б ) {\displaystyle \сигма (X,Y,b)} σ ( Х , И ) , {\displaystyle \сигма (X,Y),} б ( ⋅ , у ) : Х → К {\displaystyle b(\cdot ,y):X\to \mathbb {K} } у {\displaystyle у} И . {\displaystyle Y.} И {\displaystyle Y} Х {\displaystyle X} б {\displaystyle б} σ ( И , Х , б ) {\displaystyle \сигма (Y,X,b)} σ ( И , Х ) {\displaystyle \сигма (Y,X)} И {\displaystyle Y} б ( х , ⋅ ) : И → К {\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} } х {\displaystyle x} Х . {\displaystyle X.}

Слабая ограниченность и поглощающие поляры

Именно из-за следующей теоремы почти всегда предполагается, что семейство состоит из -ограниченных подмножеств [3] Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( Х , И , б ) {\displaystyle \сигма (X,Y,b)} Х . {\displaystyle X.}

Теорема  —  Для любого подмножества следующие условия эквивалентны: А ⊆ Х , {\displaystyle A\subseteq X,}

  1. А ∘ {\displaystyle A^{\circ}} является поглощающим подмножеством И . {\displaystyle Y.}
    • Если это условие не выполняется, то не может быть окрестностью начала координат ни в какой топологии TVS на ; А ∘ {\displaystyle A^{\circ}} Х ′ {\displaystyle X'}
  2. А {\displaystyle А} - ограниченное множество ; иными словами, является ограниченным подмножеством ; σ ( Х , И , б ) {\displaystyle \сигма (X,Y,b)} А {\displaystyle А} ( Х , σ ( Х , И , б ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
  3. для всех , где этот супремум может быть также обозначен как у ∈ И , {\displaystyle y\in Y,} Как дела а ∈ А | б ( а , у ) | < ∞ , {\displaystyle \sup _{a\in A}\left|b(a,y)\right|<\infty ,}   Как дела | б ( А , у ) | . {\displaystyle ~\sup \left|b(A,y)\right|.}

Аналогичную характеристику имеют -ограниченные подмножества . σ ( И , Х , б ) {\displaystyle \сигма (Y,X,b)} И {\displaystyle Y}

Двойственные определения и результаты

Каждую пару можно связать с соответствующей парой, где по определению [3] ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)} ( И , Х , б ^ ) {\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})} б ^ ( у , х ) = б ( х , у ) . {\displaystyle {\hat {b}}(y,x)=b(x,y).}

В теории двойственности есть повторяющаяся тема, которая заключается в том, что любое определение для пары имеет соответствующее двойственное определение для этой пары. ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)} ( И , Х , б ^ ) . {\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}

Соглашение и определение : При любом определении для спаривания можно получить двойственное определение , применив его к спариванию. Если определение зависит от порядка и (например, определение «слабой топологии, определенной на » ), то, меняя порядок и , мы имеем в виду, что это определение должно применяться к (например, это дает нам определение «слабой топологии, определенной на » ). ( Х , И , б ) , {\displaystyle (X,Y,b),} ( И , Х , б ^ ) . {\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y} σ ( Х , И ) {\displaystyle \сигма (X,Y)} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y} Х {\displaystyle X} И , {\displaystyle Y,} ( И , Х , б ^ ) {\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})} σ ( И , Х ) {\displaystyle \сигма (Y,X)} И {\displaystyle Y} Х {\displaystyle X}

Например, после определения " различает точки " (соответственно, " является полным подмножеством ") как указано выше, то сразу получается двойственное определение " различает точки " (соответственно, " является полным подмножеством "). Например, если определено, то следует автоматически предполагать, что было определено без упоминания аналогичного определения. То же самое относится ко многим теоремам. Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y} С {\displaystyle S} И {\displaystyle Y} И {\displaystyle Y} Х {\displaystyle X} С {\displaystyle S} Х {\displaystyle X} σ ( Х , И ) {\displaystyle \сигма (X,Y)} σ ( И , Х ) {\displaystyle \сигма (Y,X)}

Соглашение : придерживаясь общепринятой практики, если только не требуется ясность, всякий раз, когда дается определение (или результат) для пары , следует упомянуть соответствующее двойственное определение (или результат), которое будет опущено, но тем не менее может быть использовано. ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)}

В частности, хотя в этой статье будет дано определение только общего понятия полярных топологий на , являющихся совокупностью -ограниченных подмножеств, в этой статье, тем не менее, будет использоваться двойственное определение для полярных топологий на , являющихся совокупностью -ограниченных подмножеств И {\displaystyle Y} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( Х , И ) {\displaystyle \сигма (X,Y)} Х , {\displaystyle X,} Х {\displaystyle X} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( И , Х ) {\displaystyle \сигма (Y,X)} И . {\displaystyle Y.}

Идентификация с ( Х , И ) {\displaystyle (X,Y)} ( И , Х ) {\displaystyle (Y,X)}

Хотя это технически неверно и является злоупотреблением нотацией, следующее соглашение распространено практически повсеместно:

Соглашение : в этой статье будет использоваться общепринятая практика трактовки пар как взаимозаменяемых , а также обозначения ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)} ( И , Х , б ^ ) {\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)} ( И , Х , б ^ ) {\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)} ( И , Х , б ) . {\displaystyle (Y,X,b).}

Полярные топологии

Везде, это спаривание векторных пространств над полем и является непустым набором -ограниченных подмножеств ( Х , И , б ) {\displaystyle (X,Y,b)} К {\displaystyle \mathbb {К} } Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( Х , И , б ) {\displaystyle \сигма (X,Y,b)} Х . {\displaystyle X.}

Для каждого и является выпуклым и сбалансированным и поскольку является -ограниченным, множество является поглощающим в Г ∈ Г {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} г > 0 , {\displaystyle r>0,} г Г ∘ = г ( Г ∘ ) {\displaystyle rG^{\circ }=r\left(G^{\circ }\right)} Г {\displaystyle G} σ ( Х , И , б ) {\displaystyle \сигма (X,Y,b)} г Г ∘ {\displaystyle rG^{\circ }} И . {\displaystyle Y.}

Полярная топология на , определяемая (или генерируемая) посредством (и ), также называемая -топологией на или топологией равномерной сходимости на множествах , является единственной топологией топологического векторного пространства (TVS) на , для которой И {\displaystyle Y} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} б {\displaystyle б} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} И {\displaystyle Y} Г , {\displaystyle {\mathcal {G}},} И {\displaystyle Y}

{ г Г ∘   :   Г ∈ Г , г > 0 } {\displaystyle \left\{rG^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}

образует соседний подбазис в начале координат. [ 3] Когда наделен этой топологией, то он обозначается как И {\displaystyle Y} Г {\displaystyle {\mathcal {G}}} И Г . {\displaystyle Y_{\mathcal {G}}.}

Если — последовательность положительных чисел, сходящаяся к , то определяющую окрестность можно заменить на ( г я ) я = 1 ∞ {\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0}

{ г я Г ∘   :   Г ∈ Г , я = 1 , 2 , … } {\displaystyle \left\{r_{i}G^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},i=1,2,\ldots \right\}}

без изменения результирующей топологии.

Когда является направленным множеством относительно включения подмножества (т.е. если для всех существует некоторое такое, что ), то определяющая подбаза окрестностей в начале координат фактически образует базис окрестностей в [3] G {\displaystyle {\mathcal {G}}} G , H ∈ G , {\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},} K ∉ G {\displaystyle K\not \in {\mathcal {G}}} G ∪ H ⊆ K {\displaystyle G\cup H\subseteq K} 0. {\displaystyle 0.}

Полунормы, определяющие полярную топологию

Каждый определяет полунорму, определяемую G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} p G : Y → R {\displaystyle p_{G}:Y\to \mathbb {R} }

p G ( y ) = sup g ∈ G | b ( g , y ) | = sup | b ( G , y ) | {\displaystyle p_{G}(y)=\sup _{g\in G}|b(g,y)|=\sup |b(G,y)|}

где и на самом деле является функционалом Минковского от Вследствие этого -топология на всегда является локально выпуклой топологией. [3] G ∘ = { y ∈ Y : p G ( y ) ≤ 1 } {\displaystyle G^{\circ }=\left\{y\in Y:p_{G}(y)\leq 1\right\}} p G {\displaystyle p_{G}} G ∘ . {\displaystyle G^{\circ }.} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y}

Модифицирующий G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

Если каждое положительное скалярное кратное множества из содержится в некотором множестве, принадлежащем , то определяющую окрестность в начале координат можно заменить на G {\displaystyle {\mathcal {G}}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

{ G ∘ : G ∈ G } {\displaystyle \left\{G^{\circ }:G\in {\mathcal {G}}\right\}}

без изменения результирующей топологии.

Следующая теорема дает способы, которыми можно модифицировать, не меняя результирующую -топологию на G {\displaystyle {\mathcal {G}}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y . {\displaystyle Y.}

Теорема [3]  —  Пусть — пара векторных пространств над , а — непустой набор -ограниченных подмножеств из Топология на не изменится, если заменить ее любым из следующих наборов [ -ограниченных] подмножеств из : ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} K {\displaystyle \mathbb {K} } G {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X . {\displaystyle X.} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X {\displaystyle X}

  1. все подмножества всех конечных объединений множеств в ; G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
  2. все скалярные кратные всех множеств в ; G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
  3. сбалансированный корпус каждого набора ; G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
  4. выпуклая оболочка каждого множества в ; G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
  5. - замыкание каждого множества в ; σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
  6. -замыкание выпуклой сбалансированной оболочки каждого множества в σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} G . {\displaystyle {\mathcal {G}}.}

Именно из-за этой теоремы многие авторы часто требуют, чтобы также выполнялись следующие дополнительные условия: G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

  • Объединение любых двух множеств содержится в некотором множестве ; A , B ∈ G {\displaystyle A,B\in {\mathcal {G}}} C ∈ G {\displaystyle C\in {\mathcal {G}}}
  • Все скалярные кратные каждого принадлежат G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} G . {\displaystyle {\mathcal {G}}.}

Некоторые авторы [4] также предполагают, что каждое принадлежит некоторому множеству , поскольку этого предположения достаточно, чтобы гарантировать, что -топология является хаусдорфовой. x ∈ X {\displaystyle x\in X} G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}}

Конвергенция сетей и фильтров

Если есть сеть в , то в -топологии на тогда и только тогда, когда для каждого или словами, тогда и только тогда, когда для каждого сеть линейных функционалов на сходится равномерно к на ; здесь для каждого линейный функционал определяется как ( y i ) i ∈ I {\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}} Y {\displaystyle Y} ( y i ) i ∈ I → 0 {\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to 0} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y} G ∈ G , {\displaystyle G\in {\mathcal {G}},} p G ( y i ) = sup g ∈ G | b ( g , y i ) | → 0 , {\displaystyle p_{G}(y_{i})=\sup _{g\in G}|b(g,y_{i})|\to 0,} G ∈ G , {\displaystyle G\in {\mathcal {G}},} ( b ( ⋅ , y i ) ) i ∈ I {\displaystyle (b(\cdot ,y_{i}))_{i\in I}} X {\displaystyle X} 0 {\displaystyle 0} G {\displaystyle G} i ∈ I , {\displaystyle i\in I,} b ( ⋅ , y i ) {\displaystyle b(\cdot ,y_{i})} x ↦ b ( x , y i ) . {\displaystyle x\mapsto b(x,y_{i}).}

Если тогда в -топологии тогда и только тогда, когда для всех y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ( y i ) i ∈ I → y {\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to y} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y} G ∈ G , {\displaystyle G\in {\mathcal {G}},} p G ( y i − y ) = sup | b ( G , y i − y ) | → 0. {\displaystyle p_{G}\left(y_{i}-y\right)=\sup \left|b\left(G,y_{i}-y\right)\right|\to 0.}

Фильтр на сходится к элементу в -топологии на , если сходится равномерно к на каждом F {\displaystyle {\mathcal {F}}} Y {\displaystyle Y} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y} F {\displaystyle {\mathcal {F}}} y {\displaystyle y} G ∈ G . {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}

Характеристики

Результаты статьи Топологии на пространствах линейных отображений могут быть применены к полярным топологиям.

Везде, это спаривание векторных пространств над полем и является непустым набором -ограниченных подмножеств ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} K {\displaystyle \mathbb {K} } G {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X . {\displaystyle X.}

Хаусдорфовость
Мы говорим, что охватывает , если каждая точка принадлежит некоторому множеству в G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} G . {\displaystyle {\mathcal {G}}.}
Мы говорим, что является тотальным в [5], если линейная оболочка плотна в G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} ⋃ G ∈ G G {\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G} X . {\displaystyle X.}

Теорема  —  Пусть — пара векторных пространств над полем и — непустой набор -ограниченных подмножеств Тогда, ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} K {\displaystyle \mathbb {K} } G {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X . {\displaystyle X.}

  1. Если покрывает , то -топология на является хаусдорфовой . [3] G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y}
  2. Если различает точки и если является -плотным подмножеством, то -топология на является хаусдорфовой. [2] X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ⋃ G ∈ G G {\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X {\displaystyle X} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y}
  3. Если - двойственная система (а не просто спаривание), то -топология на является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда диапазон плотен в [3] ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y} ⋃ G ∈ G G {\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G} ( X , σ ( X , Y , b ) ) . {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
Доказательство

Доказательство (2): Если тогда мы закончили, так что предположим иначе. Поскольку -топология на является топологией TVS, достаточно показать, что множество замкнуто в Пусть будет ненулевым, пусть будет определено для всех и пусть Y = { 0 } {\displaystyle Y=\{0\}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y {\displaystyle Y} { 0 } {\displaystyle \{0\}} Y . {\displaystyle Y.} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} f : X → K {\displaystyle f:X\to \mathbb {K} } f ( x ) = b ( x , y ) {\displaystyle f(x)=b(x,y)} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} V = { s ∈ K : | s | > 1 } . {\displaystyle V=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|>1\right\}.}

Так как различает точки из существует некоторый (ненулевой) такой, что где (так как сюръективно), то можно предположить без потери общности , что Множество является -открытым подмножеством , которое не пусто (так как оно содержит ). Так как является -плотным подмножеством из существует некоторый и некоторый такой, что Так как так что где является суббазисной замкнутой окрестностью начала координат в -топологии на ■ X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} f {\displaystyle f} | f ( x ) | > 1. {\displaystyle |f(x)|>1.} U = f − 1 ( V ) {\displaystyle U=f^{-1}(V)} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} ⋃ G ∈ G G {\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X {\displaystyle X} G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} g ∈ G {\displaystyle g\in G} g ∈ U . {\displaystyle g\in U.} g ∈ U , {\displaystyle g\in U,} | b ( g , y ) | > 1 {\displaystyle |b(g,y)|>1} y ∉ G ∘ , {\displaystyle y\not \in G^{\circ },} G ∘ {\displaystyle G^{\circ }} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} Y . {\displaystyle Y.}

Примеры полярных топологий, индуцированных спариванием

Везде будет парой векторных пространств над полем и будет непустой коллекцией -ограниченных подмножеств ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} K {\displaystyle \mathbb {K} } G {\displaystyle {\mathcal {G}}} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X . {\displaystyle X.}

В следующей таблице не упоминается Топологии перечислены в порядке, который примерно соответствует более грубым топологиям в первую очередь и более тонким топологиям в последнюю очередь; обратите внимание, что некоторые из этих топологий могут быть не в порядке, например , и топология под ней (т. е. топология, генерируемая -полными и ограниченными дисками) или если она не является хаусдорфовой. Если в одной и той же строке в крайнем левом столбце появляется более одного набора подмножеств, то это означает, что этими наборами генерируется одна и та же полярная топология. b . {\displaystyle b.} c ( X , Y , b ) {\displaystyle c(X,Y,b)} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}

Обозначение : Если обозначает полярную топологию на , то наделенный этой топологией будет обозначаться или просто Например, если , то так что и все обозначают с наделенный Δ ( Y , X , b ) {\displaystyle \Delta (Y,X,b)} Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y} Y Δ ( Y , X , b ) , {\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},} Y Δ ( Y , X ) {\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}} Y Δ . {\displaystyle Y_{\Delta }.} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} Δ ( Y , X , b ) = σ {\displaystyle \Delta (Y,X,b)=\sigma } Y σ ( Y , X , b ) , {\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},} Y σ ( Y , X ) {\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}} Y σ {\displaystyle Y_{\sigma }} Y {\displaystyle Y} σ ( X , Y , b ) . {\displaystyle \sigma (X,Y,b).}
G ⊆ ℘ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)}
(«топология равномерной сходимости на ...»)		ОбозначениеИмя («топология...»)Альтернативное название
конечные подмножества (или -замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств ) X {\displaystyle X}
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} X {\displaystyle X} 		σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
s ( X , Y , b ) {\displaystyle s(X,Y,b)} 		точечная/простая сходимостьслабая/слабая* топология
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -компакт- диски τ ( X , Y , b ) {\displaystyle \tau (X,Y,b)} топология Макки
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -компактные выпуклые подмножества γ ( X , Y , b ) {\displaystyle \gamma (X,Y,b)} компактная выпуклая сходимость
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -компактные подмножества
(или сбалансированные -компактные подмножества) σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 		c ( X , Y , b ) {\displaystyle c(X,Y,b)} компактная сходимость
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -полные и ограниченные дискивыпуклая сбалансированная полная ограниченная сходимость
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -предкомпактные/ полностью ограниченные подмножества
(или сбалансированные -предкомпактные подмножества) σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 		предкомпактная сходимость
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} - инфраполные и ограниченные дискивыпуклая сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость
σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -ограниченные подмножества b ( X , Y , b ) {\displaystyle b(X,Y,b)}
β ( X , Y , b ) {\displaystyle \beta (X,Y,b)} 		ограниченная сходимостьсильная топология
Сильнейшая полярная топология

Слабая топология σ(И,Х)

Для любого базисного -окрестности в есть множество вида: x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} x {\displaystyle x} X {\displaystyle X}

{ z ∈ X : | b ( z − x , y i ) | ≤ r  for all  i } {\displaystyle \left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}}

для некоторого действительного и некоторого конечного множества точек в [3] r > 0 {\displaystyle r>0} y 1 , … , y n {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}} Y . {\displaystyle Y.}

Непрерывное сопряженное пространство есть , где точнее, это означает, что линейный функционал на принадлежит этому непрерывному сопряженному пространству тогда и только тогда, когда существует такой , что для всех [3] Слабая топология — это грубейшая топология TVS на , для которой это верно. ( Y , σ ( Y , X , b ) ) {\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))} X , {\displaystyle X,} f {\displaystyle f} Y {\displaystyle Y} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f ( y ) = b ( x , y ) {\displaystyle f(y)=b(x,y)} y ∈ Y . {\displaystyle y\in Y.} Y {\displaystyle Y}

В общем случае выпуклая сбалансированная оболочка -компактного подмножества не обязательно должна быть -компактной. [3] σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} Y {\displaystyle Y} σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)}

Если и являются векторными пространствами над комплексными числами (что подразумевает, что является комплекснозначным), то пусть и обозначают эти пространства, когда они рассматриваются как векторные пространства над действительными числами Пусть обозначают действительную часть и заметим, что является спариванием. Слабая топология на идентична слабой топологии Это в конечном итоге вытекает из того факта, что для любого комплекснозначного линейного функционала на с действительной частью тогда X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} b {\displaystyle b} X R {\displaystyle X_{\mathbb {R} }} Y R {\displaystyle Y_{\mathbb {R} }} R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Re ⁡ b {\displaystyle \operatorname {Re} b} b {\displaystyle b} ( X R , Y R , Re ⁡ b ) {\displaystyle \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right)} σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} Y {\displaystyle Y} σ ( X R , Y R , Re ⁡ b ) . {\displaystyle \sigma \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right).} f {\displaystyle f} Y {\displaystyle Y} r := Re ⁡ f . {\displaystyle r:=\operatorname {Re} f.}

f = r ( y ) − i r ( i y ) {\displaystyle f=r(y)-ir(iy)}     для всех y ∈ Y . {\displaystyle y\in Y.}

Топология Макки τ(И,Х)

Непрерывное двойственное пространство есть (точно так же, как было описано для слабой топологии). Более того, топология Макки является наилучшей локально выпуклой топологией на , для которой это верно, что и делает эту топологию важной. ( Y , τ ( Y , X , b ) ) {\displaystyle (Y,\tau (Y,X,b))} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

Поскольку в общем случае выпуклая сбалансированная оболочка -компактного подмножества не обязательно должна быть -компактной, [3] топология Макки может быть строго грубее топологии Поскольку каждое -компактное множество является -ограниченным, топология Макки грубее сильной топологии [3] σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} Y {\displaystyle Y} σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} c ( X , Y , b ) . {\displaystyle c(X,Y,b).} σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} b ( X , Y , b ) . {\displaystyle b(X,Y,b).}

Сильная топология 𝛽(И,Х)

Базис соседства (а не просто подбазис ) в начале координат топологии : [3] β ( Y , X , b ) {\displaystyle \beta (Y,X,b)}

{ A ∘   :   A ⊆ X  is a  σ ( X , Y , b ) − bounded  subset of  X } . {\displaystyle \left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.}

Сильная топология тоньше топологии Макки. [3] β ( Y , X , b ) {\displaystyle \beta (Y,X,b)}

Полярные топологии и топологические векторные пространства

В этом разделе будет топологическим векторным пространством (TVS) с непрерывным дуальным пространством и будет каноническим спариванием , где по определению векторное пространство всегда различает/разделяет точки , но может не различать точки (это обязательно произойдет, если, например, не является хаусдорфовым), в этом случае спаривание не является дуальной парой. По теореме Хана–Банаха , если является хаусдорфовым локально выпуклым пространством , то разделяет точки и, таким образом, образует дуальную пару. X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} ( X , X ′ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )} ⟨ x , x ′ ⟩ = x ′ ( x ) . {\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).} X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} ( X , X ′ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )} X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} ( X , X ′ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}

Характеристики

  • Если охватывает , то каноническое отображение из в хорошо определено. То есть, для всех функциональных оценок на значение отображение непрерывно на ⋃ G ∈ G G {\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} ( X G ′ ) ′ {\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'} x ∈ X {\displaystyle x\in X} X ′ . {\displaystyle X'.} x ′ ∈ X ′ ↦ ⟨ x ′ , x ⟩ , {\displaystyle x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,} X G ′ . {\displaystyle X'_{\mathcal {G}}.}
    • Если вдобавок разделяет точки на , то каноническое отображение из в является инъекцией. X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} ( X G ′ ) ′ {\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}
  • Предположим, что является непрерывным линейным и что и являются совокупностями ограниченных подмножеств и соответственно, каждое из которых удовлетворяет аксиомам и Тогда транспонирование является непрерывным , если для каждого существует такое , что [6] u : E → F {\displaystyle u:E\to F} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} X {\displaystyle X} Y , {\displaystyle Y,} G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}} G 2 . {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.} u , {\displaystyle u,} t u : Y H ′ → X G ′ {\displaystyle {}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}} G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} u ( G ) ⊆ H . {\displaystyle u(G)\subseteq H.}
    • В частности, транспонирование является непрерывным, если несет (соответственно, ) топологию и несет любую топологию, более сильную, чем топология (соответственно, ). u {\displaystyle u} X ′ {\displaystyle X'} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} γ ( X ′ , X ) , {\displaystyle \gamma (X',X),} c ( X ′ , X ) , {\displaystyle c(X',X),} b ( X ′ , X ) {\displaystyle b(X',X)} Y ′ {\displaystyle Y'} σ ( Y ′ , Y ) {\displaystyle \sigma (Y',Y)} γ ( Y ′ , Y ) , {\displaystyle \gamma (Y',Y),} c ( Y ′ , Y ) , {\displaystyle c(Y',Y),} b ( Y ′ , Y ) {\displaystyle b(Y',Y)}
  • Если — локально выпуклое хаусдорфово TVS над полем и — набор ограниченных подмножеств , удовлетворяющий аксиомам , то билинейное отображение, определяемое с помощью , непрерывно тогда и только тогда, когда является нормируемым, а -топология на является сильной двойственной топологией X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}} G 2 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}} X × X G ′ → K {\displaystyle X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K} } ( x , x ′ ) ↦ ⟨ x ′ , x ⟩ = x ′ ( x ) {\displaystyle (x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)} X {\displaystyle X} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X ′ {\displaystyle X'} b ( X ′ , X ) . {\displaystyle b(X',X).}
  • Предположим, что является пространством Фреше и представляет собой совокупность ограниченных подмножеств пространства , удовлетворяющую аксиомам и если содержит все компактные подмножества , то является полным. X {\displaystyle X} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}} G 2 . {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} X G ′ {\displaystyle X'_{\mathcal {G}}}

Полярные топологии на непрерывном двойственном пространстве

Везде, будет TVS над полем с непрерывным дуальным пространством и и будет связан с каноническим спариванием. Таблица ниже определяет многие из наиболее распространенных полярных топологий на X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} X ′ . {\displaystyle X'.}

Обозначение : Если обозначает полярную топологию, то наделенный этой топологией будет обозначаться (например, если то и так, что обозначает наделенный ). Если в дополнение, то этот TVS может обозначаться (например, ). Δ ( X ′ , Z ) {\displaystyle \Delta (X',Z)} X ′ {\displaystyle X'} X Δ ( X ′ , Z ) ′ {\displaystyle X'_{\Delta (X',Z)}} τ ( X ′ , X ″ ) {\displaystyle \tau (X',X'')} Δ = τ {\displaystyle \Delta =\tau } Z = X ″ {\displaystyle Z=X''} X τ ( X ′ , X ″ ) ′ {\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}} X ′ {\displaystyle X'} τ ( X ′ , X ″ ) {\displaystyle \tau (X',X'')}
Z = X {\displaystyle Z=X} X Δ ′ {\displaystyle X'_{\Delta }} X σ ′ := X σ ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{\sigma }:=X'_{\sigma (X',X)}}
G ⊆ ℘ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)}
(«топология равномерной сходимости на ...»)		ОбозначениеИмя («топология...»)Альтернативное название
конечные подмножества (или -замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств ) X {\displaystyle X}
σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} X {\displaystyle X} 		σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)}
s ( X ′ , X ) {\displaystyle s(X',X)} 		точечная/простая сходимостьслабая/слабая* топология
компактные выпуклые подмножества γ ( X ′ , X ) {\displaystyle \gamma (X',X)} компактная выпуклая сходимость
компактные подмножества
(или сбалансированные компактные подмножества)		 c ( X ′ , X ) {\displaystyle c(X',X)} компактная сходимость
σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} -компакт- диски τ ( X ′ , X ) {\displaystyle \tau (X',X)} топология Макки
предкомпактные/ полностью ограниченные подмножества
(или сбалансированные предкомпактные подмножества)		предкомпактная сходимость
полные и ограниченные дискивыпуклая сбалансированная полная ограниченная сходимость
инфраполные и ограниченные дискивыпуклая сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость
ограниченные подмножества b ( X ′ , X ) {\displaystyle b(X',X)}
β ( X ′ , X ) {\displaystyle \beta (X',X)} 		ограниченная сходимостьсильная топология
σ ( X ″ , X ′ ) {\displaystyle \sigma (X'',X')} -компакт- диски в X ″ := ( X b ′ ) ′ {\displaystyle X'':=\left(X'_{b}\right)'} τ ( X ′ , X ″ ) {\displaystyle \tau (X',X'')} топология Макки

Причина, по которой некоторые из приведенных выше наборов (в одной строке) индуцируют те же самые полярные топологии, обусловлена ​​некоторыми базовыми результатами. Замкнутое подмножество полного TVS является полным, а полное подмножество хаусдорфова и полного TVS является замкнутым. [7] Более того, в каждом TVS компактные подмножества являются полными [7] , а сбалансированная оболочка компактного (соответственно, полностью ограниченного ) подмножества снова является компактной (соответственно, полностью ограниченной). [8] Кроме того, банахово пространство может быть полным, не будучи слабо полным.

Если ограничено, то поглощает в ( обратите внимание, что поглощаемость является необходимым условием для того, чтобы быть окрестностью начала координат в любой топологии TVS на ). [2] Если является локально выпуклым пространством и поглощает в , то ограничено в Более того, подмножество слабо ограничено тогда и только тогда, когда поглощает в По этой причине принято ограничивать внимание семействами ограниченных подмножеств B ⊆ X {\displaystyle B\subseteq X} B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} X ′ {\displaystyle X'} B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} X ′ {\displaystyle X'} B {\displaystyle B} X . {\displaystyle X.} S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} S ∘ {\displaystyle S^{\circ }} X ′ . {\displaystyle X'.} X . {\displaystyle X.}

Слабая/слабая* топологияσ(X ' , X)

Топология имеет следующие свойства: σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)}

  • Теорема Банаха–Алаоглу : Каждое равностепенно непрерывное подмножествоотносительно компактно для [9] X ′ {\displaystyle X'} σ ( X ′ , X ) . {\displaystyle \sigma (X',X).}
    • отсюда следует, что -замыкание выпуклой сбалансированной оболочки равностепенно непрерывного подмножества является равностепенно непрерывным и -компактным. σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} X ′ {\displaystyle X'} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)}
  • Теорема (С. Банах): Предположим, что и являются пространствами Фреше или что они являются дуальными рефлексивными пространствами Фреше и что является непрерывным линейным отображением. Тогда является сюръективным тогда и только тогда, когда транспонирование является взаимно однозначным, а образ слабо замкнут в X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} u : X → Y {\displaystyle u:X\to Y} u {\displaystyle u} u , {\displaystyle u,} t u : Y ′ → X ′ , {\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X',} t u {\displaystyle {}^{t}u} X σ ( X ′ , X ) ′ . {\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}.}
  • Предположим, что и являются пространствами Фреше , — хаусдорфово локально выпуклое пространство и — раздельно-непрерывное билинейное отображение. Тогда — непрерывное. X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} Z {\displaystyle Z} u : X σ ′ × Y σ ′ → Z σ ′ {\displaystyle u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }} u : X b ′ × Y b ′ → Z b ′ {\displaystyle u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}}
    • В частности, любые отдельно непрерывные билинейные отображения из произведения двух сопряженных рефлексивных пространств Фреше в третье являются непрерывными.
  • X σ ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}} нормируемо тогда и только тогда, когда оно конечномерно. X {\displaystyle X}
  • Когда является бесконечномерным, топология на строго грубее, чем сильная двойственная топология X {\displaystyle X} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} X ′ {\displaystyle X'} b ( X ′ , X ) . {\displaystyle b(X',X).}
  • Предположим, что — локально выпуклое хаусдорфово пространство, а это его пополнение. Если то строго тоньше, чем X {\displaystyle X} X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} X ≠ X ^ {\displaystyle X\neq {\hat {X}}} σ ( X ′ , X ^ ) {\displaystyle \sigma (X',{\hat {X}})} σ ( X ′ , X ) . {\displaystyle \sigma (X',X).}
  • Любое равностепенно непрерывное подмножество в сопряженном к сепарабельному хаусдорфову локально выпуклому векторному пространству метризуемо в топологии. σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)}
  • Если локально выпукло, то подмножество является -ограниченным тогда и только тогда, когда существует бочка в такая, что [3] X {\displaystyle X} H ⊆ X ′ {\displaystyle H\subseteq X'} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} B {\displaystyle B} X {\displaystyle X} H ⊆ B ∘ . {\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}

Компактно-выпуклая сходимостьγ(X ' , X)

Если — пространство Фреше, то топологии X {\displaystyle X} γ ( X ′ , X ) = c ( X ′ , X ) . {\displaystyle \gamma \left(X',X\right)=c\left(X',X\right).}

Компактная сходимостьс(X ' , X)

Если — пространство Фреше или LF-пространство , то является полным. X {\displaystyle X} c ( X ′ , X ) {\displaystyle c(X',X)}

Предположим, что — метризуемое топологическое векторное пространство и что Если пересечение с каждым равностепенно непрерывным подмножеством слабо открыто, то открыто в X {\displaystyle X} W ′ ⊆ X ′ . {\displaystyle W'\subseteq X'.} W ′ {\displaystyle W'} X ′ {\displaystyle X'} W ′ {\displaystyle W'} c ( X ′ , X ) . {\displaystyle c(X',X).}

Предкомпактная сходимость

Теорема Банаха–Алаоглу : Равностепенно непрерывное подмножествоимеет компактное замыкание в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах. Более того, эта топология насовпадает стопологией. K ⊆ X ′ {\displaystyle K\subseteq X'} K {\displaystyle K} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)}

топология Маккиτ( X ' , X )

Если множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств будет иметь топологию Макки на или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных множествах , которая обозначается как и с этой топологией обозначается как G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X , {\displaystyle X,} X ′ {\displaystyle X'} X ′ {\displaystyle X'} τ ( X ′ , X ) {\displaystyle \tau (X',X)} X ′ {\displaystyle X'} X τ ( X ′ , X ) ′ . {\displaystyle X'_{\tau (X',X)}.}

Сильная двойная топологияб(Х ' , Х)

Ввиду важности этой топологии непрерывное двойственное пространство обычно обозначается просто как Следовательно, X b ′ {\displaystyle X'_{b}} X ″ . {\displaystyle X''.} ( X b ′ ) ′ = X ″ . {\displaystyle (X'_{b})'=X''.}

Топология имеет следующие свойства: b ( X ′ , X ) {\displaystyle b(X',X)}

  • Если локально выпукло, то эта топология тоньше всех других -топологий при рассмотрении только тех , множества которых являются подмножествами X {\displaystyle X} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X ′ {\displaystyle X'} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X . {\displaystyle X.}
  • Если — борнологическое пространство (например, метризуемое или LF-пространство ), то является полным. X {\displaystyle X} X b ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{b(X',X)}}
  • Если — нормированное пространство, то сильная двойственная топология на может быть определена нормой , где [10] X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} ‖ x ′ ‖ := sup x ∈ X , ‖ x ‖ = 1 | ⟨ x ′ , x ⟩ | , {\displaystyle \left\|x'\right\|:=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\left|\left\langle x',x\right\rangle \right|,} x ′ ∈ X ′ . {\displaystyle x'\in X'.}
  • Если — LF-пространство , являющееся индуктивным пределом последовательности пространств (для ), то является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все нормируемы. X {\displaystyle X} X k {\displaystyle X_{k}} k = 0 , 1 … {\displaystyle k=0,1\dots } X b ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{b(X',X)}} X k {\displaystyle X_{k}}
  • Если — пространство Монтеля , то X {\displaystyle X}
    • X b ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{b(X',X)}} обладает свойством Гейне–Бореля (т.е. каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно в ) X b ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{b(X',X)}} X b ( X ′ , X ) ′ {\displaystyle X'_{b(X',X)}}
    • На ограниченных подмножествах сильная и слабая топологии совпадают (и, следовательно, совпадают все другие топологии тоньше и грубее ). X b ( X ′ , X ) ′ , {\displaystyle X'_{b(X',X)},} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma (X',X)} b ( X ′ , X ) {\displaystyle b(X',X)}
    • Каждая слабо сходящаяся последовательность в является сильно сходящейся. X ′ {\displaystyle X'}

топология Маккиτ( X , X ' ' )

Если множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств будет иметь топологию Макки на , индуцированную топологией или топологией равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах , которая обозначается как и с этой топологией обозначается как G ′ ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}\,'\,'} X ″ = ( X b ′ ) ′ , X ′ {\displaystyle X''=\left(X'_{b}\right)',X'} X ′ {\displaystyle X'} X ″ {\displaystyle X''} X ″ {\displaystyle X''} τ ( X ′ , X ″ ) {\displaystyle \tau (X',X'')} X ′ {\displaystyle X'} X τ ( X ′ , X ″ ) ′ . {\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}.}

  • Эта топология тоньше, чем и, следовательно, тоньше, чем b ( X ′ , X ) {\displaystyle b(X',X)} τ ( X ′ , X ) . {\displaystyle \tau (X',X).}

Полярные топологии, индуцированные подмножествами непрерывного двойственного пространства

На протяжении всего будет TVS над полем с непрерывным дуальным пространством , а каноническое спаривание будет связано с и Таблица ниже определяет многие из наиболее распространенных полярных топологий на X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} X ′ . {\displaystyle X'.} X . {\displaystyle X.}

Обозначение : Если обозначает полярную топологию на , то , наделенный этой топологией, будет обозначаться через или (например, для мы имели бы так, что и оба обозначаются через , наделенный ). Δ ( X , X ′ ) {\displaystyle \Delta \left(X,X'\right)} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X Δ ( X , X ′ ) {\displaystyle X_{\Delta \left(X,X'\right)}} X Δ {\displaystyle X_{\Delta }} σ ( X , X ′ ) {\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)} Δ = σ {\displaystyle \Delta =\sigma } X σ ( X , X ′ ) {\displaystyle X_{\sigma (X,X')}} X σ {\displaystyle X_{\sigma }} X {\displaystyle X} σ ( X , X ′ ) {\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}
G ⊆ ℘ ( X ) {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)}
(«топология равномерной сходимости на ...»)		ОбозначениеИмя («топология...»)Альтернативное название
конечные подмножества (или -замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств ) X ′ {\displaystyle X'}
σ ( X ′ , Y ) {\displaystyle \sigma (X',Y)} X ′ {\displaystyle X'} 		σ ( X , X ′ ) {\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}
s ( X , X ′ ) {\displaystyle s\left(X,X'\right)} 		точечная/простая сходимостьслабая топология
равностепенно непрерывные подмножества
(или равностепенно непрерывные диски)
(или слабо-* компактные равностепенно непрерывные диски)		 ε ( X , X ′ ) {\displaystyle \varepsilon (X,X')} равностепенно непрерывная сходимость
слабые-* компакт- диски τ ( X , X ′ ) {\displaystyle \tau \left(X,X'\right)} топология Макки
слабые-* компактные выпуклые подмножества γ ( X , X ′ ) {\displaystyle \gamma \left(X,X'\right)} компактная выпуклая сходимость
слабо-* компактные подмножества
(или сбалансированные слабо-* компактные подмножества)		 c ( X , X ′ ) {\displaystyle c\left(X,X'\right)} компактная сходимость
слабо-* ограниченные подмножества b ( X , X ′ ) {\displaystyle b\left(X,X'\right)}
β ( X , X ′ ) {\displaystyle \beta \left(X,X'\right)} 		ограниченная сходимостьсильная топология

Замыкание равностепенно непрерывного подмножества является слабо-* компактным и равностепенно непрерывным, и, более того, выпуклая сбалансированная оболочка равностепенно непрерывного подмножества является равностепенно непрерывным. X ′ {\displaystyle X'}

Слабая топология𝜎( X , X ' )

Предположим, что и являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами с метризуемостью, а это линейное отображение. Тогда является непрерывным тогда и только тогда, когда является непрерывным. То есть является непрерывным, когда и несут заданные ими топологии тогда и только тогда, когда является непрерывным, когда и несут их слабые топологии. X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} u : X → Y {\displaystyle u:X\to Y} u : X → Y {\displaystyle u:X\to Y} u : σ ( X , X ′ ) → σ ( Y , Y ′ ) {\displaystyle u:\sigma \left(X,X'\right)\to \sigma \left(Y,Y'\right)} u : X → Y {\displaystyle u:X\to Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} u {\displaystyle u} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

Сходимость на равностепенно непрерывных множествах𝜀( X , X ' )

Если бы было множеством всех выпуклых сбалансированных слабо компактных равностепенно непрерывных подмножеств , то была бы индуцирована та же самая топология. G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} X ′ , {\displaystyle X',}

Если локально выпукло и хаусдорфово, то заданная топология (т.е. топология, с которой мы начали) в точности равна То есть, для хаусдорфового и локально выпуклого, если то является равностепенно непрерывным тогда и только тогда, когда является равностепенно непрерывным и, более того, для любого является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда является равностепенно непрерывным. X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} ε ( X , X ′ ) . {\displaystyle \varepsilon (X,X').} X {\displaystyle X} E ⊂ X ′ {\displaystyle E\subset X'} E {\displaystyle E} E ∘ {\displaystyle E^{\circ }} S ⊆ X , {\displaystyle S\subseteq X,} S {\displaystyle S} S ∘ {\displaystyle S^{\circ }}

Важно отметить, что набор непрерывных линейных функционалов на TVS является равностепенно непрерывным тогда и только тогда, когда он содержится в поляре некоторой окрестности начала координат в (т.е. ). Поскольку топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями начала координат, это означает, что посредством операции взятия поляры набора набор равностепенно непрерывных подмножеств «кодирует» всю информацию о топологии (т.е. различные топологии TVS на производят различные наборы равностепенно непрерывных подмножеств, и для любого такого набора можно восстановить исходную топологию TVS, взяв поляры наборов в наборе). Таким образом, равномерная сходимость на наборе равностепенно непрерывных подмножеств по сути является «сходимостью на топологии ». H {\displaystyle H} X {\displaystyle X} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} H ⊆ U ∘ {\displaystyle H\subseteq U^{\circ }} X ′ {\displaystyle X'} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}

топология Маккиτ( X , X ' )

Предположим, что — локально выпуклое хаусдорфово пространство. Если — метризуемо или бочкообразно , то исходная топология идентична топологии Макки [11] X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} τ ( X , X ′ ) . {\displaystyle \tau \left(X,X'\right).}

Топологии, совместимые с парами

Пусть будет векторным пространством и пусть будет векторным подпространством алгебраического сопряженного к , которое разделяет точки на Если есть любая другая локально выпуклая хаусдорфова топологическая топология векторного пространства на то она совместима с двойственностью между и если когда снабжена то она имеет в качестве своего непрерывного сопряженного пространства. Если задана слабая топология то есть является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS) и совместимо с двойственностью между и (т.е. ). Возникает вопрос: каковы все локально выпуклые хаусдорфовы TVS топологии, которые могут быть размещены на , которые совместимы с двойственностью между и ? Ответ на этот вопрос называется теоремой Макки–Аренса . X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.} τ {\displaystyle \tau } X , {\displaystyle X,} τ {\displaystyle \tau } X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} τ , {\displaystyle \tau ,} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} σ ( X , Y ) {\displaystyle \sigma (X,Y)} X σ ( X , Y ) {\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}} σ ( X , Y ) {\displaystyle \sigma (X,Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X σ ( X , Y ) ′ = ( X σ ( X , Y ) ) ′ = Y {\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}'=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)'=Y} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Трев 2006, стр. 195.
  2. ^ abc Treves 2006, стр. 195–201.
  3. ^ abcdefghijklmnopqr Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
  4. ^ Робертсон и Робертсон 1964, III.2
  5. ^ Шефер и Вольф 1999, стр. 80.
  6. ^ Тревес 2006, стр. 199–200.
  7. ^ ab Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
  8. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
  9. ^ Шефер и Вольф 1999, стр. 85.
  10. ^ Трев 2006, стр. 198.
  11. ↑ Трев 2006, стр. 433.
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Робертсон, А. П.; Робертсон, У. (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge University Press.
  • Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polar_topology&oldid=1249879109"