Теорема Макки–Аренса

Теорема Макки–Аренса является важной теоремой в функциональном анализе , которая характеризует те локально выпуклые векторные топологии , которые имеют некоторое заданное пространство линейных функционалов в качестве своего непрерывного двойственного пространства . Согласно Наричи (2011), этот глубокий результат является центральным для теории двойственности ; теории, которая является «центральной частью современной теории топологических векторных пространств». [1]

Предпосылки

Пусть X — векторное пространство, а Y — векторное подпространство алгебраического сопряженного пространства X , разделяющее точки на X. Если 𝜏 — любая другая локально выпуклая топологическая топология Хаусдорфа векторного пространства на X , то мы говорим, что 𝜏 совместимо с двойственностью между X и Y , если, когда X снабжено 𝜏 , то оно имеет Y в качестве своего непрерывного сопряженного пространства. Если мы дадим X слабую топологию 𝜎( X , Y ) , то X 𝜎( X , Y ) — локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS), а 𝜎( X , Y ) совместимо с двойственностью между X и Y (т. е . ). Теперь мы можем задать вопрос: каковы все локально выпуклые топологии TVS Хаусдорфа, которые мы можем разместить на X , которые совместимы с двойственностью между X и Y ? Ответ на этот вопрос называется теоремой Макки–Аренса. Х σ ( Х , И ) ′ = ( Х σ ( Х , И ) ) ′ = И {\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}^{\prime }=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)^{\prime }=Y}

Теорема Макки–Аренса

Теорема Макки–Аренса [2]  —  Пусть X — векторное пространство, а 𝒯 — локально выпуклая топологическая топология Хаусдорфа векторного пространства на X. Пусть X ' обозначает непрерывное сопряженное пространство X , а 𝒯 — X с топологией 𝒯. Тогда следующие условия эквивалентны: Х Т {\displaystyle X_{\mathcal {T}}}

  1. 𝒯 идентична -топологии на X , где - покрытие < X ', состоящее из выпуклых, сбалансированных, σ( X ' , X ) -компактных множеств со свойствами, которые Г ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }} Г ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}
    1. Если тогда существует такое , что , и Г 1 ′ , Г 2 ′ ∈ Г ′ {\displaystyle G_{1}^{\prime },G_{2}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} Г ′ ∈ Г ′ {\displaystyle G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} Г 1 ′ ∪ Г 2 ′ ⊆ Г ′ {\displaystyle G_{1}^{\prime }\cup G_{2}^{\prime }\subseteq G^{\prime }}
    2. Если и — скаляр, то существует такое, что . Г 1 ′ ∈ Г ′ {\displaystyle G_{1}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} λ {\displaystyle \лямбда} Г ′ ∈ Г ′ {\displaystyle G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} λ Г 1 ′ ⊆ Г ′ {\displaystyle \lambda G_{1}^{\prime }\subseteq G^{\prime }}
  2. Непрерывный двойственный элемент идентичен X ' . Х Т {\displaystyle X_{\mathcal {T}}}

И более того,

  1. топология 𝒯 идентична топологии ε( X , X ' ) , то есть топологии равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах X ' .
  2. топология Макки τ( X , X ' ) является наилучшей локально выпуклой топологией TVS Хаусдорфа на X , которая совместима с двойственностью между X и , и Х Т ′ {\displaystyle X_{\mathcal {T}}^{\prime }}
  3. слабая топология σ( X , X ' ) является грубейшей локально выпуклой топологией TVS Хаусдорфа на X , совместимой с двойственностью между X и . Х Т ′ {\displaystyle X_{\mathcal {T}}^{\prime }}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Шефер и Вольф 1999, стр. 122.
  2. ^ Тревес 2006, стр. 196, 368–370.

Источники

  • Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mackey–Arens_theorem&oldid=1150929855"