Метод растянутой сетки

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Метод растянутой сетки» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Метод растянутой сетки ( SGM ) — это численный метод поиска приближенных решений различных математических и инженерных задач, которые могут быть связаны с поведением упругой сетки. В частности, метеорологи используют метод растянутой сетки для прогнозирования погоды ^[1] , а инженеры используют метод растянутой сетки для проектирования палаток и других растяжимых конструкций .

В последние десятилетия методы конечных элементов и граничных элементов (FEM и BEM) стали основой промышленного инженерного проектирования и анализа. Все более крупные и сложные конструкции моделируются с использованием FEM или BEM. Однако некоторые проблемы инженерного анализа FEM и BEM все еще остаются на переднем крае. Первая проблема — это надежность инженерного анализа, которая сильно зависит от качества исходных данных, полученных на этапе предварительной обработки. Известно, что методы автоматической генерации сетки элементов на этом этапе стали широко используемыми инструментами для анализа сложных реальных моделей. ^[2] С ростом популярности FEM и BEM появляется стимул для улучшения алгоритмов автоматического построения сетки. Однако все эти алгоритмы могут создавать искаженные и даже непригодные для использования элементы сетки. Существует несколько методов, которые могут взять существующую сетку и улучшить ее качество. Например, сглаживание (также называемое уточнением сетки ) является одним из таких методов, который изменяет расположение узлов, чтобы минимизировать искажение элементов. Метод растянутой сетки (SGM) позволяет очень легко и быстро получать псевдорегулярные сетки в одношаговом решении (см. ^[3] ).

Предположим, что имеется произвольная треугольная сетка, вложенная в плоский полигональный односвязный контур и полученная с помощью процедуры автосетки (см. рис. 1). Можно далее предположить, что сетка, рассматриваемая как физическая узловая система, искажена рядом искажений. Предполагается, что полная потенциальная энергия этой системы пропорциональна длине некоторого -мерного вектора, компонентами которого являются все сегменты сети.${\displaystyle \ н}$

Таким образом, потенциальная энергия принимает следующий вид

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2}}$

где

• ${\displaystyle \ н}$- общее количество сегментов в сети,
• ${\displaystyle \ R_{j}}$- Длина сегмента номера ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ D}$- произвольная константа.

Длина номера сегмента может быть выражена двумя узловыми координатами как${\displaystyle \ j}$

${\displaystyle \ R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}}}}$

Можно также предположить, что вектор координат всех узлов связан с неискаженной сетью, а вектор координат связан с искаженной сетью. Выражение для вектора можно записать как${\displaystyle \{\ X\}}$${\displaystyle \{\ X'\}}$${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ X\}=\{\ X'\}+\{\Дельта \ X\}}$

Определение вектора связано с минимизацией квадратичной формы по инкрементному вектору , т.е.${\displaystyle \{\ X\}}$${\displaystyle \ \Пи}$${\displaystyle \{\Дельта \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

где

• ${\displaystyle \ л}$- номер внутреннего узла области,
• ${\displaystyle \ к}$- число координат

После всех преобразований мы можем записать следующие две независимые системы линейных алгебраических уравнений

${\displaystyle [\ A]\{\Дельта X_{1}\}=\{\ B_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}}$

где

• ${\displaystyle [\ А]}$- симметричная матрица в ленточной форме, аналогичная глобальной матрице жесткости сборки МКЭ,
• ${\displaystyle \{\Дельта \ X_{1}\}}$и - инкрементные векторы координат всех узлов по осям 1, 2,${\displaystyle \{\Дельта \ X_{2}\}}$
• ${\displaystyle \{\ B_{1}\}}$и - правые части векторов, объединенные координатами всех узлов в осях 1, 2.${\displaystyle \{\ B_{2}\}}$

Решение обеих систем, сохраняя все граничные узлы консервативными, получает новые внутренние положения узлов, соответствующие неискаженной сетке с псевдорегулярными элементами. Например, на рис. 2 представлена ​​прямоугольная область, покрытая треугольной сеткой. Начальная автосетка имеет некоторые вырожденные треугольники (левая сетка). Окончательная сетка (правая сетка), полученная процедурой SGM, является псевдорегулярной без каких-либо искаженных элементов.

Поскольку указанные выше системы линейны, процедура очень быстро переходит к одношаговому решению. Более того, каждое конечное положение внутреннего узла удовлетворяет требованию координатного арифметического среднего узлов, окружающих его, а также удовлетворяет критериям Делоне . Таким образом, SGM имеет все положительные значения, свойственные лапласовским и другим видам сглаживающих подходов, но гораздо проще и надежнее из-за представления целочисленных конечных матриц. Наконец, описанный выше SGM прекрасно применим не только к 2D-сеткам, но и к 3D-сеткам, состоящим из любых однородных ячеек, а также к смешанным или переходным сеткам.

Математически поверхность, вложенная в неплоскую замкнутую кривую, называется минимальной, если ее площадь минимальна среди всех поверхностей, проходящих через эту кривую. Наиболее известным образцом минимальной поверхности является мыльная пленка, ограниченная проволочным каркасом. Обычно для создания минимальной поверхности используется фиктивный конститутивный закон, который поддерживает постоянное предварительное напряжение, независимое от любых изменений деформации. ^[4] Альтернативный приближенный подход к решению задачи минимальной поверхности основан на SGM. Эта формулировка позволяет минимизировать поверхность, вложенную в неплоские и плоские замкнутые контуры.

Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать часть поверхности, вложенную в трехмерный неплоский контур, произвольной треугольной сеткой. Для сходимости такой треугольной сетки к сетке с минимальной площадью следует решить те же две системы, описанные выше. Приращения третьих узловых координат могут быть определены дополнительно аналогичной системой по оси 3 следующим образом

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{3}\}=\{\ B_{3}\}}$

Решая все три системы одновременно, можно получить новую сетку, которая будет аппроксимирующей минимальной поверхностью, вложенной в неплоскую замкнутую кривую из-за минимума функции , где параметр .${\displaystyle \ \Пи}$${\displaystyle \ j=1,2,3}$

В качестве примера поверхность катеноида , рассчитанная описанным выше способом, представлена ​​на рис. 3. Радиусы колец и высота катеноида равны 1,0. Числовая площадь катеноидальной поверхности, определенная по СГМ, равна 2,9967189 (точное значение 2,992).

Для структурного анализа конфигурация конструкции, как правило, известна априори. Это не относится к растяжимым конструкциям , таким как конструкции из натяжной ткани . Поскольку мембрана в натяжной конструкции не обладает жесткостью на изгиб, ее форма или конфигурация зависят от начального предварительного напряжения и нагрузок, которым она подвергается. Таким образом, несущая способность и форма мембраны не могут быть разделены и в целом не могут быть описаны только простыми геометрическими моделями. Форма мембраны, нагрузки на конструкцию и внутренние напряжения взаимодействуют нелинейным образом, удовлетворяя уравнениям равновесия.

Предварительное проектирование натяжных конструкций включает определение начальной конфигурации, называемой поиском формы. Помимо удовлетворения условий равновесия, начальная конфигурация должна соответствовать как архитектурным (эстетическим), так и структурным (прочность и устойчивость) требованиям. Кроме того, должны быть соблюдены требования к пространству и зазорам, главные напряжения мембраны должны быть растягивающими, чтобы избежать образования складок, а радиусы двойной кривизны поверхности должны быть достаточно малыми, чтобы выдерживать нагрузки вне плоскости и обеспечивать устойчивость конструкции (работа ^[5] ). Было разработано несколько вариантов подходов к поиску формы на основе МКЭ, чтобы помочь инженерам в проектировании натяжных тканевых конструкций. Все они основаны на том же предположении, что и для анализа поведения натяжных конструкций при различных нагрузках. Однако, как отмечают некоторые исследователи, иногда может быть предпочтительнее использовать так называемые « минимальные поверхности » при проектировании натяжных конструкций.

Физический смысл SGM заключается в сходимости энергии произвольной сетчатой ​​структуры, встроенной в жесткий (или упругий) 3D контур, к минимуму, который эквивалентен минимальной сумме расстояний между произвольными парами узлов сетки. Это позволяет решить задачу минимальной поверхностной энергии, заменив нахождение минимума суммарной энергии сетчатой ​​структуры нахождением, что дает гораздо более простую окончательную алгебраическую систему уравнений, чем обычная формулировка FEM. Обобщенная формулировка SGM предполагает возможность приложения набора внешних сил и жестких или упругих ограничений к узлам сетчатой ​​структуры, что позволяет моделировать различные внешние эффекты. Для такой формулировки SGM можно получить следующее выражение

${\displaystyle \Pi =\sum _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)}$

где

• ${\displaystyle \ н}$- общее количество сегментов сетки,
• ${\displaystyle \ м}$- общее количество узлов,
• ${\displaystyle \ R_{j}}$ - длина сегмента номер ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ D_{j}}$- жесткость сегмента номер ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ \Delta X_{ik}}$- приращение координаты узла на оси ,${\displaystyle \ к}$${\displaystyle \ я}$
• ${\displaystyle \ C_{ik}}$- жесткость упругой связи в узле на оси ,${\displaystyle \ к}$${\displaystyle \ я}$
• ${\displaystyle \ P_{ik}}$- внешняя сила в узле на оси .${\displaystyle \ к}$${\displaystyle \ я}$

После того, как найдена удовлетворительная форма, можно сгенерировать схему раскроя. Натяжные структуры сильно различаются по размеру, кривизне и жесткости материала. Аппроксимация схемы раскроя тесно связана с каждым из этих факторов. Для метода генерации схемы раскроя важно минимизировать возможную аппроксимацию и получить надежные данные о плоской ткани.

Цель состоит в том, чтобы разработать формы, описанные этими данными, как можно ближе к идеальным дважды изогнутым полосам. В общем, генерация шаблона раскроя включает два этапа. Во-первых, глобальная поверхность натяжной конструкции делится на отдельные полотна. Соответствующий шаблон раскроя на втором этапе можно найти, просто взяв каждую полосу ткани и развернув ее на плоской области. В случае идеальной дважды изогнутой поверхности мембраны подповерхность не может быть просто развернута, и ее необходимо сплющить. Например, в ^{[6] [7]} SGM использовался для решения задачи сплющивания.

Задача генерации лекал раскроя фактически подразделяется на две независимые формулировки. Это генерация плоской формы без искажений, разворачивающей каждую полоску ткани, и уплощение двоякокриволинейных поверхностей, которые нельзя просто развернуть. Внимательно изучая задачу, можно заметить, что с позиции дифференциальной геометрии обе формулировки одинаковы. Мы можем рассматривать ее как изометрическое отображение поверхности на плоскую область, которое будет конформным отображением и равноплощадным отображением одновременно из-за инвариантных углов между любыми кривыми и инвариантности любых частей области. В случае однокриволинейной поверхности, которая может быть развернута точно, равноплощадное отображение позволяет получить лекало раскроя для структуры ткани без каких-либо искажений. Второй тип поверхностей может быть равноплощадным отображением только приближенно с некоторыми искажениями линейных элементов поверхности, ограниченными свойствами ткани. Предположим, что две поверхности параметризованы так, что их первые квадратичные формы могут быть записаны следующим образом:

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+ G_{1}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

Условие конформного отображения двух поверхностей, сформулированное в дифференциальной геометрии, требует, чтобы

${\displaystyle {\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}}}$

где — коэффициент искажения поверхности вследствие конформного отображения.${\displaystyle \ \lambda }$

Известно, что первая квадратичная форма отражает расстояние между двумя точками поверхности и . Когда -ratio близко к 1, приведенное выше уравнение сходится к условию изометрического отображения и к равноплощадному отображению соответственно из-за инвариантных углов между любыми кривыми и инвариантности любых частей площади. Помня, что первый этап нахождения формы основан на треугольной сетке поверхности, и используя метод взвешенных остатков для описания изометрического и равноплощадного отображения минимальной поверхности на плоскую область, мы можем записать следующую функцию, которая определяется суммой интегралов по отрезкам криволинейных треугольников${\displaystyle \ (u,v)}$${\displaystyle \ (u+\operatorname {d} u,v+\operatorname {d} v)}$${\displaystyle \ \lambda }$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

где

• ${\displaystyle \ n}$- общее количество ячеек сетки,
• ${\displaystyle \ w_{j}}$- весовые соотношения,
• ${\displaystyle \ \Pi }$ - общий остаток картирования,
• ${\displaystyle \ D}$- константа, которая не влияет на конечный результат и может быть использована в качестве масштабного коэффициента.

Учитывая дополнительные весовые соотношения , мы можем преобразовать уравнение в приближенную конечную сумму, которая является комбинацией линейных расстояний между узлами поверхностной сетки, и записать основное условие отображения равноплощадной поверхности как минимум следующей нелинейной функции${\displaystyle \ w_{j}=1}$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

где

• ${\displaystyle \ R_{j}}$- начальная длина линейного сегмента number ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ L_{j}}$- конечная длина сегмента number ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ \lambda }$- коэффициент искажения близок к 1 и может быть разным для каждого сегмента.

Начальная и конечная длины сегмента могут быть выражены, как обычно, двумя узловыми координатами:${\displaystyle \ j}$

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}}$

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}}}$

где

• ${\displaystyle \ X_{ik}}$- координаты узлов начального участка,
• ${\displaystyle \ x_{ik}}$- координаты узлов конечного сегмента.

Согласно исходному предположению для отображения плоской поверхности можно записать выражение для векторов и с использованием термина приращения координат можно записать как${\displaystyle \ x_{32}=x_{31}=0}$${\displaystyle \{\ x\}}$${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ x\}=\{\ X\}+\{\Delta \ X\}}$

Определение вектора производится так же, как и ранее.${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

После преобразований мы можем записать следующие две независимые системы нелинейных алгебраических уравнений

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}+\{\Delta P_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}+\{\Delta P_{2}\}}$

где все части системы могут быть выражены как и ранее и являются векторами псевдонапряжений в осях 1, 2, которые имеют следующий вид${\displaystyle \{\ \Delta P_{1}\}}$${\displaystyle \{\ \Delta P_{2}\}}$

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\sum _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\}}$

где

• ${\displaystyle \ N}$- общее количество узлов, окружающих номер узла ,${\displaystyle \ t}$
• ${\displaystyle \ l}$- количество глобальных осей.

Описанный выше подход является другой формой SGM и позволяет получить две независимые системы нелинейных алгебраических уравнений, которые могут быть решены любой стандартной итерационной процедурой. Чем меньше гауссова кривизна поверхности, тем выше точность отображения на плоскость. Как правило, отображение на плоскость позволяет получить шаблон с линейными размерами на 1–2% меньше соответствующих пространственных линий конечной поверхности. Поэтому при отображении на плоскость необходимо предусматривать соответствующие отступы.

Типичный образец выреза — также называемый вырезом, клином (сегментом) или заплатой — представлен на рис. 9, 10, 11.

• Генерация сетки
• Типы сеток

• Система K3-Tent для построения и раскроя тканевых конструкций из натяжных материалов
• Корпорация Кубантент